Vậy xác suất của A là:
P(A) = C
340 40 C3
+) Gọi B là biến cố "Cả 3 sinh viên được lấy ra đều là nam". Khi đó, số BCSC thuận lợi cho B là:C603
Vậy xác suất của B là:
P(B) = C
360 60 C3
100
+) Gọi C là biến cố "3 sinh viên được lấy ra có 2 nam và 1 nữ". Khi đó, số BCSC thuận lợi cho C là:C2
60×C140 40 Vậy xác suất của C là:
P(C) = C2 2 60×C1 40 C3 100
+) Gọi D là biến cố "3 sinh viên được lấy ra có ít nhất 1 nam". Khi đó, số BCSC thuận lợi cho D là:C3
100−C340 40 Vậy xác suất của D là:
P(D) = C 3 100−C3 40 C3 100 =1− C 3 40 C3 100 =1−P(D)
Nhận xét 1.33
Nếu số các kết quả có thể có là vơ hạn hoặc hữu hạn nhưng khơng đồng khả năng thì ta khơng thể tính xác suất theo Định nghĩa 1.30. Trong một số trường hợp, người ta thường định nghĩa xác suất theo kiểu khác. Sau đây chúng ta định nghĩa xác suất bằng phương pháp tần suất.
Định nghĩa 1.34 (Tần suất của một biến cố)
Giả sử phép thửG,Alà một biến cố. Thực hiệnnlần phép thử G một cách độc lập. Giả sử trongnlần đó,Axuất hiệnkn(A)lần. Khi đó tỉ số
fn(A) = kn(A) n
Mệnh đề 1.35
Có thể dễ dàng nhận thấy rằng tần suất có những tính chất sau đây 1. 06fn(A)61.
2. fn(Ω) =1.
3. Nếu AB =∅ thì fn(A∪B) =fn(A) +fn(B).
4. Khi n đủ lớn, tần suất xuất hiện biến cố A sẽ giao động chung quanh (xấp xỉ) một giá trị xác định.
Người ta nói giá trị xác định đó là xác suất xuất hiện biến cố A khi phép thử G được thực hiện.
Định nghĩa 1.36 (Định nghĩa xác suất bằng tần suất)
Xác suấtP(A)của biến cốAlà giới hạn củatần suất xuất hiện Akhi số lần thửntăng vô hạn, tức là:
P(A) = lim n→∞fn(A).
Chú ý 1.37
Từ định nghĩa xác suất bằng tần suất, để tínhP(A)người ta có thể coi
P(A)≈fn(A) = m n =
Số lần xuất hiện A Số lần thử
khi n đủ lớn. Tức là, ta chỉ tính được gần đúng xác suất của A theo Định nghĩa 1.34.
Ví dụ 1.38
Gieo một đồng xu cân đối, đồng chất. Tính xác suất xuất hiện mặt sấp (S). Dùng định nghĩa dạng cổ điển chúng ta cóP(S) =0,5.
Để tính xác suấtP(S)bằng phương pháp tần suất các nhà khoa học đã tung đồng tiền cân đối đồng chất và thu được kết quả như sau:
- GLL De Buffon (1707-1788, Bá tước người Pháp) gieo 4040 lần, thấy có 2048 lần sấp, do đó
P(S)≈ 2048
4040=0.5069.
-Karl Pearson (1857-1936, Nhà Toán học và Thống kê người Anh) gieo 12000 lần, thấy có 6019 lần sấp
P(S)≈ 6019
12000 =0.5016.
- Karl Pearson gieo đến 24000 lần, thấy có 12012 lần sấp
P(S)≈ 12012