4) P(A/B) =1 − P(A/B)
1.3.2 Sự độc lập của các biến cố
Định nghĩa 1.44
- Hai biến cốA,B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố nay không ảnh hưởng đến khả năng xảy ra của biến cố còn lại.
- Dãy các biến cốA1,A2,· · ·,Anđược gọi là độc lập nếu việc xãy ra hay không xãy ra của k biến cố này không ảnh hưởng đến khả năng xãy ra của các biến cố còn lại.
Nhận xét 1.45
+)A,B độc lập khi và chỉ khiP(A/B) =P(A)hoặcP(B/A) =P(B).
+)A,B độc lập khi và chỉ khiP(AB) =P(A)P(B).
+) Nếu dãy các biến cố A1,A2,· · · ,An độc lập. Khi đó,
Ví dụ 1.46
Hai xạ thủ bắn vào mục tiêu một cách độc lập.Alà biến cố " Xạ thủ thứ nhất bắn trúng mục tiêu".B là biến cố "Xạ thủ thứ hai bắn trúng mục tiêu". Khi đó,AvàB là hai biến cố độc lập.
Nhận xét 1.47
+) Nếu hai biến cốA,B độc lập thì i)A,B độc lập. ii)A,B độc lập iii)A,B độc lập
+)Tổng quát:Nếu các biến cốA1,A2, . . .An độc lập thìB1,B2, . . .Bn cũng độc lập, trong đóBk làAk hoặcAk
Ví dụ 1.48
Ba xạ thủ cùng bắn vào mục tiêu một cách độc lập. Xác suất bắn trúng mục tiêu của mỗi người lần lượt là 0,6; 0,7; 0,8.Tính xác suất để:
a) Cả 3 xạ thủ bắn trúng mục tiêu. b) Có 1 xạ thủ bắn trúng mục tiêu. c) Có 2 xạ thủ bắn trúng mục tiêu.
d) Có ít nhất một xạ thủ không bắn trúng mục tiêu. Giải
GọiAi là biến cố "Xạ thủ thứ i bắn trúng mục tiêu".i=1,3.Suy ra A1,A2,A3 là các biến cố độc lập. - Gọi H là biến cố "Cả ba xạ thủ bắn trúng mục tiêu" ta có
H=A1A2A3⇒P(H) =P(A1A2A3)
- Gọi K là biến cố "Có 1 xạ thủ bắn trúng mục tiêu" ta có K =A1A2A3∪A1A2A3∪A1A2A3
⇒P(K) =P(A1A2A3∪A1A2A3∪A1A2A3)
=P(A1A2A3) +P(A1A2A3) +P(A1A2A3)
=P(A1)P(A2)P(A3) +P(A1)P(A2)P(A3) +P(A1)P(A2)P(A3) =0,6×0,3×0,2+0,4×0,7×0,2+0,4×0,3×0,8=0,188
- Gọi M là biến cố "Có 2 xạ thủ bắn trúng mục tiêu" ta có M =A1A2A3∪A1A2A3∪A1A2A3
⇒P(M) =P(A1A2A3∪A1A2A3∪A1A2A3)
=P(A1A2A3) +P(A1A2A3+P(A1A2A3)
=P(A1)P(A2)P(A3) +P(A1)P(A2)P(A3) +P(A1)P(A2)P(A3) =0,4×0,7×0,8+0,6×0,3×0,8+0,6×0,7×0,2=0,452
- Gọi N là biến cố "Có ít nhất một xạ thủ bắn trượt mục tiêu" ta có N=A1A2A3⇒P(N) =1−P(H) =0,644
Ví dụ 1.49
Hai bóng đèn điện có xác suất hỏng tương ứng là 0.1 và 0.2; việc chúng hỏng là độc lập với nhau. Tính xác suất để mạch khơng có điện do bóng hỏng nếu:
a) Chúng được mắc song song. b) Chúng được mắc nối tiếp.
Giải
GọiAi là biến cố “bóng điện thứi hỏng”,i =1,2. Khi đóA1,A2độc lập vàP(A1) =0.1,P(A2) =0.2.
a) Nếu hai bóng mắc song song thì mạch khơng có điện khi và chỉ khi cả hai bóng hỏng. Do đó xác suất cần tính là
P(A1A2) =P(A1)P(A2) =0.1×0.2=0.02.
b) Nếu hai bóng mắc nối tiếp thì mạch khơng có điện khi và chỉ khi có ít nhất một bóng hỏng. Do đó xác suất cần tính là
P(A1∪A2) =P(A1) +P(A1)−P(A1A2) =P(A1) +P(A1)−P(A1)P(A2) =0.1+0.2−0.1×0.2=0.28.