9. Cấu trúc luận văn
1.5.3. Kết quả điều tra
Tổng hợp kết quả điều tra dành cho giáo viên
Câu 1: Khi dạy học chủ đề Tổ hợp – Xác suất Thầy (Cơ) có quan tâm tới việc tổ
chức hoạt động nhằm rèn luyện kĩ năng giải quyết vấn đề cho HS không?
Tổng Đánh giá Số GV chọn Tỉ lệ (%)
20 a. Thường xuyên quan tâm 2 10
b. Có quan tâm 7 35
c. Ít quan tâm 6 30
d. Chưa quan tâm 4 20
e. Không quan tâm 1 5
Câu 2: Thầy (Cô) thấy việc tổ chức hoạt động dạy học nhằm rèn luyện kĩ năng giải
quyết vấn đề cho HS có quan trọng hay khơng?
Tổng Đánh giá Số GV chọn Tỉ lệ (%)
20 a. Rất quan trọng 5 25
b. Quan trọng 15 75
c. Không quan trọng
Câu 3: Cách thức mà Thầy (Cô) tổ chức hoạt động dạy học nhằm rèn luyện kĩ
năng giải quyết vấn đề cho HS là gì?
Tổng Đánh giá Số GV chọn Tỉ lệ (%)
20 a. Hoạt động nhóm 2 10
b. Hoạt động cá nhân 4 20
c. Hoạt động ngoài lớp 1 5
e. Kết hợp các hoạt động trên
13 65
Câu 4: Thầy (Cô) đánh giá thế nào về mức độ tham gia vào việc học tập theo
phương pháp dạy học nhằm rèn luyện kĩ năng giải quyết vấn đề cho HS mà Thầy (Cơ) đã sử dụng trong q trình dạy học?
Tổng Đánh giá Số GV chọn Tỉ lệ (%)
20 b. Đa số học sinh tham gia 10 50
c. Nhiều học sinh tham gia 8 40
d. Ít học sinh tham gia 2 10
e. Học sinh không tham gia 0 0
Câu 5: Thầy (Cô) thường tổ chức cho HS rèn luyện kĩ năng giải quyết vấn đề theo
hình thức nào? Tổng Đánh giá Số GV chọn Tỉ lệ (%) 20 a. Học lí thuyết 2 10 b. Giải bài tập 3 15 c. Xây dựng tình huống học tập có thể vận dụng thực tế 1 5 d. Kết hợp các hình thức trên 14 70
Câu 6: Thầy (Cô) đánh giá như thế nào về hiệu quả khi tổ chức các hoạt động
nhằm rèn luyện kĩ năng giải quyết vấn đề cho HS?
Tổng Đánh giá Số GV chọn Tỉ lệ (%)
20 a. Rất hiệu quả 1 5
c. Tương đối hiệu quả 3 15
d. Kém hiệu quả 3 15
e. Không hiệu quả 0 0
Câu 7: Tổ hợp – Xác suất là nội dung có tỉ trọng khơng nhiều và ít xuất hiện trong
các kì thi quan trọng nên giáo viên thường ít đầu tư nội dung này.
Tổng Đánh giá Số GV chọn Tỉ lệ (%)
20 a. Rất đồng ý 2 10
b. Đồng ý 5 25
c. Không đồng ý 13 65
Câu 8: Dạy học chủ đề Tổ hợp – Xác suất theo các phương pháp nhằm rèn luyện
kĩ năng giải quyết vấn đề cho HS sẽ mất nhiều thời gian.
Tổng Đánh giá Số GV chọn Tỉ lệ (%)
20 a. Rất đồng ý 5 25
b. Đồng ý 15 75
c. Không đồng ý 0 0
Câu 9: Mục tiêu của thầy cô khi dạy học chủ đề Tổ hợp – Xác suất là gì?
Tổng Đánh giá Số GV chọn Tỉ lệ (%)
20 a. Học sinh giải được bài tập 14 70 b. Học sinh yêu thích mơn học 0 0 c. Học sinh biết vận dụng kiến
thức vào thực tiễn cuộc sống
0 0
d. Học sinh vượt qua được kì thi
Tổng hợp kết quả điều tra dành cho học sinh
Câu 1: Em có thích học chủ đề Tổ hợp – Xác suất không?
Tổng Đánh giá Số HS chọn Tỉ lệ (%) 80 a. Rất thích 13 16,25 b. Thích 32 40 c. Khơng thích lắm 17 21,25 d. Khơng thích 15 18,75 e. Chưa thích 3 3,75
Câu 2: Em cảm thấy việc học tốt chủ đề Tổ hợp – Xác suất có cần thiết khơng?
Tổng Đánh giá Số HS chọn Tỉ lệ (%)
80 a. Rất cần thiết 26 32,5
b. Cần thiết 43 53,75
c. Không cần thiết 11 13,75
Câu 3: Theo em các bài tốn Tổ hợp – Xác suất có nhiều ứng dụng trong thực tế
hay không? Tổng Đánh giá Số HS chọn Tỉ lệ (%) 80 a. Rất nhiều ứng dụng thực tế 37 46,25 b. Nhiều ứng dụng thực tế 38 47,5 c. Ít ứng dụng thực tế 5 6,25 d. Khơng có ứng dụng thực tế 0 0
Câu 4: Trong quá trình học chủ đề Tổ hợp – Xác suất, em thích hình thức học nào? Tổng Đánh giá Số HS chọn Tỉ lệ (%) 80 a. Học theo nhóm 40 50 b. Học theo cá nhân 20 25 c. Tự học 3 3,75 d. Học thực hành 7 8,75
e. Tuỳ từng nội dung 10 12,5
Câu 5: Theo em đâu là phần nội dung khó nhất trong quá trình học chủ đề Tổ hợp
– Xác suất? Tổng Đánh giá Số HS chọn Tỉ lệ (%) 80 a. Hai quy tắc đếm 5 6,25 b. Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp 13 16,25 c. Nhị thức Niu – tơn 43 53,75 d. Xác suất cổ điển 19 23,75
Câu 6: Các công thức tổ hợp rất khó hiểu và khó nhớ.
Tổng Đánh giá Số HS chọn Tỉ lệ (%)
80 a. Hoàn toàn đồng ý 5 6,25
b. Đồng ý 37 46,25
c. Chưa đồng ý 17 21,25
d. Không đồng ý 21 26,25
Câu 7: Kĩ năng giải quyết vấn đề có quan trọng trong việc học chủ đề Tổ hợp –
Tổng Đánh giá Số HS chọn Tỉ lệ (%)
80 a. Rất quan trọng 36 45
b. Quan trọng 40 50
c. Không quan trọng 4 5
Câu 8: Em có thích các phương pháp dạy học nhằm rèn luyện kĩ năng giải quyết
vấn đề mà GV đưa ra không? Tổng Đánh giá Số HS chọn Tỉ lệ (%) 80 a. Rất thích 20 25 b. Thích 45 46,25 c. Khá thích 15 18,75 d. Khơng thích 0 0
Câu 9: Sử dụng máy tính bỏ túi giúp việc tính tốn trong khi học Tổ hợp – Xác
suất hiệu quả hơn.
Tổng Đánh giá Số HS chọn Tỉ lệ (%) 80 a. Hoàn toàn đồng ý 77 96,25 b. Đồng ý 3 3,75 c. Chưa đồng ý 0 0 d. Không đồng ý 0 0 1.5.4. Kết luận
Về phía GV, GV đánh giá cao tầm quan trong của việc tổ chức hoạt động dạy học TH – XS theo định hướng rèn luyện kĩ năng giải quyết vấn đề cho HS. Các hình thức tổ chức được GV sử dụng là tổ chức làm bài tập cá nhân và hoạt động nhóm. Tuy vậy một bộ phận GV chưa đầu tư nhiều thời gian và sự chuẩn bị cho
nội dung này do TH – XS là một nội dung có tỉ trọng khơng nhiều trong kì thi THPT Quốc gia. Hơn nữa việc dạy học rèn luyện kĩ năng giải quyết vấn đề cho HS được đánh giá là tốn nhiều thời gian hơn so với việc dạy học truyền thống.
Về phía HS: Việc dạy học TH – XS theo hướng rèn luyện kĩ năng giải quyết vấn đề cho HS diễn ra chưa nhiều. Các HS khá giỏi thì khá thích thú với các nội dung TH – XS tuy nhiên với đa số HS thì nội dung này là khó và trừu tượng. Do đó mà sự tham gia của HS trong quá trình học chưa đạt đến mức độ tuyệt đối. HS gặp khó khăn do các cơng thức TH – XS tương đối nhiều và dễ nhầm lẫn, khơng có phương pháp chung để giải quyết mà địi hỏi HS cần có thái độ học tập đúng đắn, tư duy mạnh lạc.
Qua kết quả khảo sát, trao đổi cùng với GV và HS trường THPT Chuyên Nguyễn Trãi tôi rút ra nhận xét rằng GV nhận thấy tầm quan trọng của việc rèn luyện kĩ năng giải quyết vấn đề cho HS và mong muốn tổ chức được các hoạt động. Tuy nhiên việc tổ chức hoạt động còn chưa phù hợp, sự tham gia của HS chưa nhiều, HS cịn gặp khó khăn khi học TH – XS, một số cách tổ chức cịn mang tính hình thức. Việc khảo sát này là cơ sở để tôi đưa ra các biện pháp để khắc phục những hạn chế này.
KẾT LUẬN CHƯƠNG 1
Trong chương 1 tơi đã nghiên cứu về kĩ năng, kĩ năng tốn học và kĩ năng giải quyết vấn đề Toán học. Quá trình hình thành và phát triển kĩ năng cũng như phân loại kĩ năng.
Tôi cũng hệ thống lại nội dung chương TH – XS ở sách Đại số và Giải tích lớp 11, cũng như tìm hiểu về nội dung TH – XS trong kì thi THPT Quốc Gia để nhận định chính xác nhất về mức độ và yêu cầu cần đạt của HS khi học chủ đề TH – XS. Việc nghiên cứu lí luận và thực tiễn các vấn đề trên là cơ sở để tôi đưa ra các biện pháp sư phạm phù hợp ở chương 2.
CHƯƠNG 2
DẠY VÀ HỌC CHỦ ĐỀ “TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT” THEO HƯỚNG RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
2.1. Đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện kĩ năng giải quyết vấn đề cho học sinh thông qua dạy học chủ đề “ Tổ hợp và xác suất “ vấn đề cho học sinh thông qua dạy học chủ đề “ Tổ hợp và xác suất “ trong chương trình đại số lớp 11
Các biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện kĩ năng giải quyết vấn đề cho học sinh cần chú trọng đến các yêu cầu sau:
- Hệ thống các biện pháp phải gỡ bỏ được các rào cản của học sinh trong q trình học như: khó ghi nhớ cơng thức, khơng biết cách áp dụng,…
- Các biện pháp phải có tính khả thi và áp dụng được trong quá trình dạy và học
Từ các yêu cầu trên tôi xin đề xuất một số biện pháp sư phạm như sau: Biện pháp 1: Tổng hợp kiến thức cơ bản về chủ đề “ Tổ hợp và xác suất” cho học sinh.
Biện pháp 2: Xây dựng hệ thống các bài toán về tổ hợp và xác suất nhằm rèn luyện một số kĩ năng giải quyết vấn đề cụ thể.
Biện pháp 3: Chỉ ra các sai lầm thường gặp trong các bài toán “Tổ hợp và xác suất”.
2.2. Một số biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện kĩ năng giải quyết vấn đề cho học sinh thông qua dạy học chủ đề “ Tổ hợp và xác suất “ trong cho học sinh thông qua dạy học chủ đề “ Tổ hợp và xác suất “ trong chương trình đại số lớp 11
2.2.1. Tổng hợp kiến thức cơ bản về chủ đề “ Tổ hợp và xác suất” cho học sinh
Dựa vào yêu cầu và kiến thức và kĩ năng đối với nội dung Tổ hợp và xác suất, GV cần tổng hợp lại các nội dung cơ bản sau đây cho học sinh để đảm bảo học sinh
nắm vững các lí thuyết cũng như cơng thức quan trọng, làm tiền đề cho việc phát triển kĩ năng giải quyết vấn đề Tổ hợp và xác suất.
• Hai quy tắc đếm cơ bản
Quy tắc cộng: Một cơng việc có thể được thực hiện theo phương án A hoặc
phương án B. Phương án A có 𝑛0 cách thực hiện và phương án B có 𝑛& cách thực hiện thì cơng việc đó có thể thực hiện bởi 𝑛0 + 𝑛& cách.
Tổng quát: Một cơng việc có thể được thực hiện theo 1 phương án trong k
phương án 𝐴0, 𝐴&, … , 𝐴L. Có 𝑛0 các thực hiện phương án 𝐴0, 𝑛& cách thực hiện phương án 𝐴&, … và có 𝑛L cách thực hiện phương án 𝐴L. Vậy tổng cộng có 𝑛0 + 𝑛&+ ⋯ + 𝑛L cách thực hiện cơng việc đó.
Quy tắc nhân:
Tổng quát: Giả sử một cơng việc nào đó bao gồm 𝑘 công đoạn
𝐴0, 𝐴&, … , 𝐴L. Có 𝑛0 cách thực hiện phương án 𝐴0, có 𝑛& cách thực hiện phương án 𝐴&, … và 𝑛L cách thực hiện phương án 𝐴L. Vậy có 𝑛0𝑛&… 𝑛L cách thực hiện cơng việc đó.
• Hốn vị, chỉnh hợp, tổ hợp
Hốn vị:
Định nghĩa: Cho tập A có 𝑛(𝑛 ≥ 1) phần tử. Khi sắp xếp 𝑛 phần tử này
theo một thứ tự, ta được một hoán vị các phần tử của tập hợp 𝐴 (gọi tắt là hoán vị của tập A ).
Định lý: Số các hốn vị của một tập hợp có 𝑛 phần tử là:
𝑃A = 𝑛! = 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2) … 1
Chỉnh hợp:
lấy ra 𝑘 phần tử của 𝐴 và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập 𝑘 của 𝑛 phần tử của tập A (gọi tắt là một chỉnh hợp chập 𝑘 của A ).
Định lý: Số các chỉnh hợp chập 𝑘 của một tập hợp có 𝑛 phần tử với
(1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛) là:
𝐴AL = 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2) … (𝑛 − 𝑘 + 1)
Chú ý:
- Hoán vị của tập 𝑛 phần tử là một chỉnh hợp chập 𝑛 của tập đó nên 𝐴AL = 𝑃A = 𝑛!.
Với 0 < 𝑘 < 𝑛 thì ta có thể viết cơng thức của chỉnh hợp dưới dạng 𝐴AL = A!
(AEL)!. - Ta quy ước 0! = 1 và 𝐴A> = 1.
Tổ hợp:
Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử và số nguyện k với 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛. Mồi
tập con của 𝐴 có 𝑘 phần tử được gọi là một tổ hợp chập 𝑘 của 𝑛 phần tử của 𝐴 (gọi tắc là một tổ hợp chập k của A), ký hiệu 𝐶AL
Định lý: Số các tổ hợp chập 𝑘 của một tập hợp có 𝑛 phần tử (1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛) là 𝐶AL = 𝐴A L 𝑘! = 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2) … (𝑛 − 𝑘 + 1) 𝑘! Chú ý:
- Với 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛, ta có thể viết cơng thức tính tổ hợp dưới dạng 𝐶AL = 𝑛!
𝑘! (𝑛 − 𝑘)!
- Ta quy ước 𝐶A> = 1, ta coi 𝐶A> là một tổ hợp chập 0 của một tập hợp có 𝑛 phần tử.
Tính chất cơ bản của số 𝐶AL :
Cho hai số tự nhiên 𝑛 và 𝑘 với 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛. Khi đó : 𝐶AL = 𝐶AAEL và 𝐶AT0L = 𝐶AL + 𝐶ALE0 • Nhị thức Niu – tơn
Công thức thức nhị thức Niu – tơn
(𝑎 + 𝑏)A = 𝐶A>𝑎A+ 𝐶A0𝑎AE0𝑏 + ⋯ + 𝐶AL𝑎AEL𝑏L + ⋯ + 𝐶AA𝑏A = W A LY> 𝐶AL𝑎AEL𝑏L (quy ước 𝑎> = 𝑏> = 1 ). • Xác suất cổ điển
Định nghĩa cổ điển của xác suất: Giả sử phép thử T có khơng gian mẫu W
là một tập hữu hạn và các kết quả của T là đồng khả năng. Nếu A là một biến cố liên quan đến phép thử T và WA là tập hợp các kết quả thuận lợi cho A thì xác suất của A là một số, kí hiệu là P(A), được cho bởi cơng thức
𝑃(𝐴) = |Ω\| |Ω| Chú ý:
0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1
𝑃(Ω) = 1, 𝑃(𝜙) = 0
2.2.2. Xây dựng hệ thống các bài toán về Tổ hợp và xác suất nhằm rèn luyện một số kĩ năng giải quyết vấn đề cụ thể
Các bước vận dụng 2 quy tắc đếm vào giải quyết vấn đề
- Bước 1: Phân tích thành các phương án 𝐴0, 𝐴&, … , 𝐴L độc lập với nhau - Bước 2: Nếu:
Phương án 𝐴0 có thể làm bằng 𝑛0 cách. Phương án A& có thể làm bằng n& cách. …
Phương án 𝐴L có thể làm bằng 𝑛L cách.
- Bước 3: Khi đó, cả cơng việc có thể thực hiện theo 𝑛0+ 𝑛&+ ⋯ + 𝑛L cách. Các bước vận dụng quy tắc nhân vào giải quyết vấn đề thực hiện theo sau: - Bước 1: Phân tích một hành động 𝐻 thành 𝑘 công việc nhỏ liên tiếp:
𝐴0, 𝐴&, … , 𝐴L. - Bước 2: Nếu:
𝐴0 có 𝑛0 cách thực hiện khác nhau. ⋯
𝐴L có 𝑛L cách thực hiện khác nhau.
- Bước 3: Khi đó, ta có tất cả 𝑛0. 𝑛&… 𝑛L cách.
Định nghĩa (Quy tắc bù trừ): Đối tượng 𝑥 cần đếm được chứa trong một đối tượng 𝑋 gồm 𝑥 và 𝑥‾ đối lập nhau. Nếu 𝑋 có 𝑚 cách chọn, 𝑥‾ có 𝑛 cách chọn thì 𝑥 có (𝑚 − 𝑛) cách chọn.
Một số bài tập ví dụ.
Bài tập 1 (Bài 3 trang 46/SGK Đại số 11): Dưới thành phố A, B, C, D được nối
Hỏi: a) Có bao nhiêu cách đi từ 𝐴 đến 𝐷 mà qua 𝐵 và 𝐶 chỉ một lần?
b) Có bao nhiêu cách để Nam đi từ thành phố A đến D rồi quay trở lại A ?
Lời giải:
a) Việc đi từ 𝐴 đến 𝐷 là cơng việc được hồn thành bởi ba hành động liên tiếp: Số cách đi từ A đến B: 4 cách
Số cách đi từ B đến C: 2 cách Số cách đi từ C đến D: 3 cách
⇒ Áp dụng quy tắc nhân: Có 4.3.2 = 24 con đường đi từ A đến D mà chỉ đi qua B và C 1 lần.