9. Cấu trúc luận văn
2.2.1.Tổng hợp kiến thức cơ bản về chủ đề “Tổ hợp và xác suất” cho học
2.2. Một số biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện kĩ năng giải quyết vấn đề cho
2.2.1.Tổng hợp kiến thức cơ bản về chủ đề “Tổ hợp và xác suất” cho học
Dựa vào yêu cầu và kiến thức và kĩ năng đối với nội dung Tổ hợp và xác suất, GV cần tổng hợp lại các nội dung cơ bản sau đây cho học sinh để đảm bảo học sinh
nắm vững các lí thuyết cũng như cơng thức quan trọng, làm tiền đề cho việc phát triển kĩ năng giải quyết vấn đề Tổ hợp và xác suất.
• Hai quy tắc đếm cơ bản
Quy tắc cộng: Một cơng việc có thể được thực hiện theo phương án A hoặc
phương án B. Phương án A có 𝑛0 cách thực hiện và phương án B có 𝑛& cách thực hiện thì cơng việc đó có thể thực hiện bởi 𝑛0 + 𝑛& cách.
Tổng quát: Một cơng việc có thể được thực hiện theo 1 phương án trong k
phương án 𝐴0, 𝐴&, … , 𝐴L. Có 𝑛0 các thực hiện phương án 𝐴0, 𝑛& cách thực hiện phương án 𝐴&, … và có 𝑛L cách thực hiện phương án 𝐴L. Vậy tổng cộng có 𝑛0 + 𝑛&+ ⋯ + 𝑛L cách thực hiện cơng việc đó.
Quy tắc nhân:
Tổng quát: Giả sử một cơng việc nào đó bao gồm 𝑘 công đoạn
𝐴0, 𝐴&, … , 𝐴L. Có 𝑛0 cách thực hiện phương án 𝐴0, có 𝑛& cách thực hiện phương án 𝐴&, … và 𝑛L cách thực hiện phương án 𝐴L. Vậy có 𝑛0𝑛&… 𝑛L cách thực hiện cơng việc đó.
• Hốn vị, chỉnh hợp, tổ hợp
Hốn vị:
Định nghĩa: Cho tập A có 𝑛(𝑛 ≥ 1) phần tử. Khi sắp xếp 𝑛 phần tử này
theo một thứ tự, ta được một hoán vị các phần tử của tập hợp 𝐴 (gọi tắt là hoán vị của tập A ).
Định lý: Số các hốn vị của một tập hợp có 𝑛 phần tử là:
𝑃A = 𝑛! = 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2) … 1
Chỉnh hợp:
lấy ra 𝑘 phần tử của 𝐴 và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập 𝑘 của 𝑛 phần tử của tập A (gọi tắt là một chỉnh hợp chập 𝑘 của A ).
Định lý: Số các chỉnh hợp chập 𝑘 của một tập hợp có 𝑛 phần tử với
(1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛) là:
𝐴AL = 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2) … (𝑛 − 𝑘 + 1)
Chú ý:
- Hoán vị của tập 𝑛 phần tử là một chỉnh hợp chập 𝑛 của tập đó nên 𝐴AL = 𝑃A = 𝑛!.
Với 0 < 𝑘 < 𝑛 thì ta có thể viết cơng thức của chỉnh hợp dưới dạng 𝐴AL = A!
(AEL)!. - Ta quy ước 0! = 1 và 𝐴A> = 1.
Tổ hợp:
Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử và số nguyện k với 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛. Mồi
tập con của 𝐴 có 𝑘 phần tử được gọi là một tổ hợp chập 𝑘 của 𝑛 phần tử của 𝐴 (gọi tắc là một tổ hợp chập k của A), ký hiệu 𝐶AL
Định lý: Số các tổ hợp chập 𝑘 của một tập hợp có 𝑛 phần tử (1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛) là 𝐶AL = 𝐴A L 𝑘! = 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2) … (𝑛 − 𝑘 + 1) 𝑘! Chú ý:
- Với 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛, ta có thể viết cơng thức tính tổ hợp dưới dạng 𝐶AL = 𝑛!
𝑘! (𝑛 − 𝑘)!
- Ta quy ước 𝐶A> = 1, ta coi 𝐶A> là một tổ hợp chập 0 của một tập hợp có 𝑛 phần tử.
Tính chất cơ bản của số 𝐶AL :
Cho hai số tự nhiên 𝑛 và 𝑘 với 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛. Khi đó : 𝐶AL = 𝐶AAEL và 𝐶AT0L = 𝐶AL + 𝐶ALE0 • Nhị thức Niu – tơn
Công thức thức nhị thức Niu – tơn
(𝑎 + 𝑏)A = 𝐶A>𝑎A+ 𝐶A0𝑎AE0𝑏 + ⋯ + 𝐶AL𝑎AEL𝑏L + ⋯ + 𝐶AA𝑏A = W A LY> 𝐶AL𝑎AEL𝑏L (quy ước 𝑎> = 𝑏> = 1 ). • Xác suất cổ điển
Định nghĩa cổ điển của xác suất: Giả sử phép thử T có khơng gian mẫu W
là một tập hữu hạn và các kết quả của T là đồng khả năng. Nếu A là một biến cố liên quan đến phép thử T và WA là tập hợp các kết quả thuận lợi cho A thì xác suất của A là một số, kí hiệu là P(A), được cho bởi cơng thức
𝑃(𝐴) = |Ω\| |Ω| Chú ý:
0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1
𝑃(Ω) = 1, 𝑃(𝜙) = 0
2.2.2. Xây dựng hệ thống các bài toán về Tổ hợp và xác suất nhằm rèn luyện một số kĩ năng giải quyết vấn đề cụ thể
Các bước vận dụng 2 quy tắc đếm vào giải quyết vấn đề
- Bước 1: Phân tích thành các phương án 𝐴0, 𝐴&, … , 𝐴L độc lập với nhau - Bước 2: Nếu:
Phương án 𝐴0 có thể làm bằng 𝑛0 cách. Phương án A& có thể làm bằng n& cách. …
Phương án 𝐴L có thể làm bằng 𝑛L cách.
- Bước 3: Khi đó, cả cơng việc có thể thực hiện theo 𝑛0+ 𝑛&+ ⋯ + 𝑛L cách. Các bước vận dụng quy tắc nhân vào giải quyết vấn đề thực hiện theo sau: - Bước 1: Phân tích một hành động 𝐻 thành 𝑘 công việc nhỏ liên tiếp:
𝐴0, 𝐴&, … , 𝐴L. - Bước 2: Nếu:
𝐴0 có 𝑛0 cách thực hiện khác nhau. ⋯
𝐴L có 𝑛L cách thực hiện khác nhau.
- Bước 3: Khi đó, ta có tất cả 𝑛0. 𝑛&… 𝑛L cách.
Định nghĩa (Quy tắc bù trừ): Đối tượng 𝑥 cần đếm được chứa trong một đối tượng 𝑋 gồm 𝑥 và 𝑥‾ đối lập nhau. Nếu 𝑋 có 𝑚 cách chọn, 𝑥‾ có 𝑛 cách chọn thì 𝑥 có (𝑚 − 𝑛) cách chọn.
Một số bài tập ví dụ.
Bài tập 1 (Bài 3 trang 46/SGK Đại số 11): Dưới thành phố A, B, C, D được nối
Hỏi: a) Có bao nhiêu cách đi từ 𝐴 đến 𝐷 mà qua 𝐵 và 𝐶 chỉ một lần?
b) Có bao nhiêu cách để Nam đi từ thành phố A đến D rồi quay trở lại A ?
Lời giải:
a) Việc đi từ 𝐴 đến 𝐷 là cơng việc được hồn thành bởi ba hành động liên tiếp: Số cách đi từ A đến B: 4 cách
Số cách đi từ B đến C: 2 cách Số cách đi từ C đến D: 3 cách
⇒ Áp dụng quy tắc nhân: Có 4.3.2 = 24 con đường đi từ A đến D mà chỉ đi qua B và C 1 lần.
b) Vì số con đường đi từ A đến D và ngược lại là giống nhau, nên cũng có 24 con đường đi từ D đến A.Việc đi từ 𝐴 đến 𝐷 rồi lại quay lại 𝐴 là công việc được hoàn thành bởi 2 hành động liên tiếp:
Đi từ A đến D: Có 24 cách . Đi từ D về A: Có 24 cách
⇒ Áp dụng quy tắc nhân, ta tính được số cách đi từ A đến D rồi quay lại A là: 24.24 = 576 cách đi.
Ở bài tập này HS cần có kĩ năng mơ hình hố tốn học, mơ tả các dữ kiện thực tế trong bài bằng ngơn ngữ tốn học và áp dụng đúng công thức Tổ hợp xác suất vào tính tốn.
Bài tập 2: Số HS khối 10 ở trường THPT Chuyên Nguyễn Trãi là 300 học sinh
sinh thành phố. Có bao nhiêu cách chọn?
b) Nhà trường cần chọn hai học sinh khối 11 trong đó có một nam và một nữ đi dự đại hội của học sinh tiêu biểu thành phố. Có bao nhiêu cách chọn?
Lời giải:
a) Để chọn 1 học sinh đi dự đại hội của học sinh thành phố ta có thể chọn học sinh nam và học sinh nữ:
Nếu chọn một học sinh nam ta có 300 cách. Nếu chọn một học sinh nữ ta có 320 cách.
→ Vậy theo qui tắc cộng, ta có 300 + 320 = 620 cách chọn.
b) Để lựa chọn 2 học sinh trong đó có một nam và một nữ đi đại hội của học sinh tiêu biểu thành phố ta cần thực hiện 2 hành động liên tiếp sau:
Chọn 1 học sinh Nam trong 270 học sinh: có 270 lựa chọn Chọn 1 học sinh Nữ trong 325 học sinh: có 325 lựa chọn → Vậy theo quy tắc nhân: Có 270.325 = 87750 cách.
Ở bài tập này HS cần có kĩ năng mơ hình hố tốn học, mơ tả các dữ kiện thực tế trong bài bằng ngơn ngữ tốn học và áp dụng đúng cơng thức Tổ hợp xác suất vào tính tốn.
Bài tập 3:
Mẹ mua 1 bó hoa gồm 5 bơng hồng khác màu, 4 bông cúc khác màu, 3 cành lan khác màu. Mẹ cần chọn ra 4 bơng để cắm ở phịng khách, hỏi có bao nhiêu cách chọn hoa để số hoa trong lọ có đủ 3 loại.
Lời giải:
Bài toán xảy ra 3 trường hợp.
- Chọn 1 bơng cúc có 4 cách - Chọn 1 bơng lan có 3 cách
Áp dụng quy tắc nhân, ta tính đuợc số cách chọn 4 bơng hoa là: 5.4.4.3 = 240 cách (1)
TH2: Số hoa được chọn là: 1 bông hồng, 2 bông cúc, 1 cành lan - Chọn 1 bơng hồng có 5 cách
- Chọn 2 bơng cúc có 4.3 cách - Chọn 1 bơng lan có 3 cách
Áp dụng quy tắc nhân, ta tính được có 5.4.3.3 = 180 cách (2) TH3: Số hoa được chọn là: 1 bông hồng, 1 bông cúc, 2 cành lan - Chọn 1 bơng hồng có 5 cách
- Chọn 1 bơng cúc có 4 cách - Chọn 2 cành lan có 3.2 cách
Áp dụng quy tắc nhân, ta tính được có 5.4.3.2 = 120 cách (3)
Từ (1), (2), (3), áp dụng quy tắc cộng tính được số cách chọn 4 bơng hoa thoả mãn bài tốn là: 240 + 180 + 120 = 540 cách.
Ở bài tập này HS cần có kĩ năng mơ hình hố tốn học, mơ tả các dữ kiện thực tế trong bài bằng ngôn ngữ tốn học và áp dụng đúng cơng thức Tổ hợp xác suất vào tính tốn. Bên cạnh đó HS cũng cần có năng lực tư duy và lập luận tốn học thể hiện ở việc HS phân tích bài tốn để đưa ra các trường hợp chọn được 4 bơng hoa theo đúng u cầu của bài tốn.
Bài tập 4:
Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 thoả mãn mỗi trường hợp sau:
Lời giải:
a) Gọi số tự nhiên có 4 chữ số thỏa mãn yêu cầu bài toán là 𝑎𝑏𝑐𝑑rrrrrrr với (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ 𝑁, 𝑎 ≠ 0) - Vì 𝑎𝑏𝑐𝑑rrrrrrr là số chẵn nên có 3 cách chọn 𝑑 - Vì 𝑎 ≠ 0 nên có 5 cách chọn 𝑎 - Có 6 cách chọn 𝑏 - Có 6 cách chọn 𝑐 Áp dụng quy tắc nhân có: 3.5.6.6 = 540 (số).
b) Gọi số tự nhiên thỏa yêu cầu bài toán là: 𝑎𝑏𝑐𝑑rrrrrrr với (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ 𝑁, 𝑎 ≠ 0) Trường hợp 1: Nếu 𝑑 = 0
Áp dụng quy tắc nhân ta tính được có: 1.5.4.3 = 60 (số) (∗) Trường hợp 2: Nếu 𝑑 ≠ 0, có 2 cách chọn 𝑑
Áp dụng quy tắc nhân ta tính được có: 2.4.4.3 = 96 (số) (∗∗) Áp dụng quy tắc cộng ta có 60 + 96 = 156 (số)
Ở bài tập này HS cần có kĩ năng mơ hình hố tốn học, mơ tả các dữ kiện thực tế trong bài bằng ngơn ngữ tốn học và áp dụng đúng công thức Tổ hợp xác suất vào tính tốn. Bên cạnh đó HS cũng cần có năng lực tư duy và lập luận toán học thể hiện ở việc HS phân tích bài tốn để đưa ra các trường hợp khác nhau khi lựa chọn chữ số tận cùng.
Bài tập 5: Tại một buổi tiệc có 13 đơi vợ chồng tới tham dự. Mỗi người đàn ông
đều bắt tay với mọi người trừ vợ mình, cịn phụ nữ thì khơng bắt tay với nhau. Tính số cái bắt tay ở buổi tiệc hơm đó.
Lời giải: Buổi lễ có 13 cặp vợ chồng tương ứng với 26 người.
Do 𝐴0 khơng bắt tay với vợ mình và khơng bắt tay vói chính mình nên 𝐴0 có 26 − 2 = 24 cái bắt tay với 24 người còn lại.
Vi 𝐴& khơng bắt tay với vợ mình, khơng bắt tay với chính mình và đã bắt tay với 𝐴0 nên 𝐴& có 26 − 3 = 23 cái bắt tay với 23 người cịn lại.
Vì 𝐴) khơng bắt tay với vợ mình, khơng bắt tay với chính mình và đã bắt tay với 𝐴0 và 𝐴& nên 𝐴) có 26 − 4 = 22 cái bắt tay với 22 người cịn lại.
Tương tự như vậy ta có: 𝐴* có 21 cái bắt tay. 𝐴1 có 20 cái bắt tay. …
𝐴0& có 13 cái bắt tay. 𝐴0) có 12 cái bắt tay.
Theo quy tắc cộng, ta có 12 + 13 + 14 + ⋯ + 24 = 234 cái bắt tay trong buổi lễ. Ở bài tập này HS cần có kĩ năng mơ hình hố tốn học, mô tả các dữ kiện thực tế trong bài bằng ngơn ngữ tốn học và áp dụng đúng công thức Tổ hợp xác suất vào tính tốn. Bên cạnh đó HS cũng cần có kĩ năng giao tiếp tốn học thể hiện ở việc HS sử dụng ngơn ngữ tốn học để trình bày, giải thích ý tưởng của mình thành lời giải hợp lí cho bài tốn.
Bài tập 6: Một người có 12 quyển sách khác nhau, gồm 5 quyển sách toán, 4
quyển sách lý và 3 quyển sách hóa. Người ấy muốn chọn ra 1 quyển sách toán, 1 quyển sách lý và 1 quyển sách hóa từ 12 quyển sách ở trên để tặng một người bạn. Tính xác suất để 3 quyển sách được chọn đôi một khác nhau
Lời giải: Để chọn được một bộ sách tặng bạn, người ấy phải thực hiện liên tiếp ba
cơng việc sau:
• Công việc thứ 2: Chọn 1 trong 4 quyển sách lý, có 4 cách chọn. • Cơng việc thứ 3: Chọn 1 trong 3 quyển sách hóa, có 3 cách chọn. Theo quy tắc nhân ta có 5 ´ 4 ´ 3 = 60 cách chọn theo yêu cầu bài tốn.
• Chọn quyển sách thứ nhất: có 12 cách • Chọn quyển sách thứ hai: có 11 cách • Chọn quyển sách thứ ba: có 10 cách
Số cách chọn 3 quyển sách ngẫu nhiên là: 12.11.10 = 1320 cách Vậy xác suất để 3 quyển sách được chọn đôi một khác nhau là:
𝑃 = 60 1320 =
1 22
Ở bài tập này HS cần có kĩ năng mơ hình hố tốn học, mơ tả các dữ kiện thực tế trong bài bằng ngơn ngữ tốn học và áp dụng đúng cơng thức Tổ hợp xác suất vào tính tốn.
Bài tập 7: Tính xác suất chọn được một số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau mà
không bắt đầu bởi 12?
Lời giải:
Gọi 𝑎rrrrrrrrrrrrrrr là số cần lập. 0𝑎&𝑎)𝑎*𝑎1
Để lập được số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau, ta thực hiện các bước lần lượt: • Chọn 𝑎0 có 9 cách.
• Chọn 𝑎& có 9 cách. • Chọn 𝑎) có 8 cách. • Chọn 𝑎* có 7 cách.
• Chọn 𝑎1 có 6 cách.
Áp dụng quy tắc nhân ta tính được có 9.9.8.7.6. = 27216 số có năm chữ số khác nhau.
Để lập được số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau bắt đầu bằng 12 , ta thực hiện các bước lần lượt:
• Chon 𝑎0𝑎& có 1 cách. • Chon 𝑎) có 8 cách. • Chọn 𝑎* có 7 cách. • Chọn 𝑎1 có 6 cách.
Do đó có 1.8.7.6 = 336 số có năm chữ số khác nhau. Theo quy tắc bù trù, có 27216 − 336 = 26880 số có năm chữ số khác nhau khơng bắt đầu bởi 12 . Tổng số các số có 5 chữ số là: 9.10.10.10.10 = 90 000 số
Vậy xác suất chọn được một số có 5 chữ số thoả mãn đề bài là 𝑃 = 26880
90000 = 112 375
Ở bài tập này HS cần có kĩ năng mơ hình hố tốn học, mơ tả các dữ kiện thực tế trong bài bằng ngôn ngữ tốn học và áp dụng đúng cơng thức Tổ hợp xác suất vào tính tốn. Bên cạnh đó HS cũng cần có năng lực tư duy và lập luận toán học thể hiện ở việc HS phân tích bài tốn và xử lí bằng cách giải quyết 2 bài tốn đơn giản hơn. Cùng với đó là kĩ năng giao tiếp tốn học được thể hiện ở việc HS trình bày lời giải một cách có trình tự và có logic hợp lí.
Một số bài tập tự luyện rèn kĩ năng vận dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân