9. Cấu trúc luận văn
2.3.1. Phát hiện vấn đề trong bài toán “Tổ hợp và xác suất”
Để có thể phát hiện vấn đề, GV cần định hướng cho HS để phân tích tình huống đặt ra nhằm nhận biết được vấn đề. Trong q trình phân tích, HS nhận biết được vấn đề thể hiện được ở việc HS xác định được các thông tin đề bài đưa ra và hiểu được câu hỏi trong bài. Có thể giải thích và chính xác hóa đề bài bằng ngơn ngữ của mình. Dựa trên cơ sở đó để hình thành hướng giải quyết bài tốn.
Cho bài toán sau: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 3 chữ số đôi một khác nhau không chia hết cho 9.
Sau khi HS phân tích đề bài GV yêu cầu HS đưa ra mục tiêu giải quyết vấn đề và các nội dung kiến thức sẽ sử dụng để giải quyết bài toán.
“ Để thực hiện được yêu cầu bài toán chúng ta cần thực hiện như thế nào và sử dụng kiến thức nào để thực hiện được?”
HS: Đề bài cho chúng ta các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 để lập thành một số có 3 chữ số đơi một khác nhau sao cho số được chọn không chia hết cho 9.
Để thực hiện được chúng ta cần tới các quy tắc về tổ hợp, chỉnh hợp và biến cố đối.
Để giúp HS định hướng được quy tắc hoán vị, hay tổ hợp, hay chỉnh hợp sẽ được sử dụng trong bài toán, GV giúp HS phân biệt bằng cách đặt câu hỏi như sau: “ Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có cần sắp xếp thứ tự khơng? Nếu có thì sắp xếp bao nhiêu phần tử?”
2.3.2. Tìm giải pháp cho vấn đề trong bài toán “ Tổ hợp và xác suất”
Trong bước tìm giải pháp cho vấn đề trong bài tốn thì nhiệm vụ chính của chúng ta là tìm ra các phương án khác nhau để giải quyết vấn đề. Các phương án đã tìm ra cần được sắp xếp và hệ thống hóa để đưa tới xử lý ở bước tiếp theo. Khi gặp khó khăn hoặc khơng đưa được ra phương án giải quyết thì HS cũng như GV cần trở lại bước phát hiện vấn đề để kiểm tra lại việc nhận biết và hiểu vấn đề.
GV dẫn dắt HS tìm giải pháp cho bài tốn: “Theo đề bài, số có 3 chữ số cần tìm phải thỏa mãn các điều kiện gì?”
“Có những cách nào để tìm được các số có 3 chữ số khác nhau, thoả mãn đề bài?” “ Chọn 3 chữ số khác nhau từ 0, 1, 2, 3, 4, 5 ta sử dụng quy tắc nào?”.
“ Sự sắp xếp các chữ số có gì cần lưu ý khơng?”
HS dựa vào các câu hỏi gợi ý để trình bày các hướng làm khả thi. Các HS khác nhận xét ưu và nhược điểm của từng hướng làm. Chọn phương án tối ưu.
HS: Chọn 3 chữ số từ 5 chữ số ta có 𝐶1) cách. Sắp xếp 3 chữ số đó ta có 𝑃)) cách
Cách thực hiện:
Tìm số các số có 3 chữ số đơi một khác nhau lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 Tìm số các cặp 3 số có tổng khác 9. Ta có (0, 1, 2), (0, 1, 3), …
Nhận thấy các nhóm 3 số khơng chia hết cho 9 có nhiều nhóm. Ta đi tìm nhóm 3 số chia hết cho 9, đó là (0, 4, 5); (2, 3, 4); (1, 3, 5)
2.3.3. Trình bày giải pháp cho bài tốn “ Tổ hợp và xác suất”
GV: HS lên bảng trình bày lời giải theo hướng đã phân tích. Cả lớp tự trình bày vào vở. HS: Gọi 𝑎𝑏𝑐rrrrr là số có 3 chữ số cần tìm (𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑍, 0 ≤ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ≤ 9). Có 5 cách chọn 𝑎 Có 5 cách chọn 𝑏 Có 4 cách chọn 𝑐 Số các số có 3 chữ số có thể lập được từ đề bài là: 5.5.4 = 100 số Các bộ 3 số có tổng bằng 9 lập được từ tập đề cho là: (0, 4, 5); (2, 3, 4); (1, 3, 5) TH1: Chọn bộ số (0, 4, 5) ta lập được: 2.2.1 = 4 số thoả mãn đề bài
TH2: Chọn bộ số (1, 3, 5) ta lập được: 3.2.1 = 6 số thoả mãn đề bài TH3: Chọn bộ số (2, 3, 4) ta lập được: 3.2.1 = 6 số thoả mãn đề bài
Suy ra, số các số chia hết cho 9 có thể lập được là: 6 + 6 + 4 = 16 số Vậy có 100 − 26 = 84 số thoả mãn đề bài
GV yêu cầu các HS khác nhận xét bài làm của bạn và chính xác hố bài làm.
2.3.4. Mở rộng vấn đề cho các bài toán “ Tổ hợp và xác suất’’
Để mở rộng vấn đề và phát triển tư duy cho HS, GV đề xuất những vấn đề mới bằng cách đặt ra các vấn đề tương tự hoặc khái quát hoá, lật ngược vấn đề… GV đặt ra câu hỏi: “Nếu thay đổi đề bài như sau: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 3 chữ số đôi một khác nhau khơng chia hết cho 3 thì bài tốn thay đổi thế nào?”
“Em hãy đưa ra hướng giải quyết bài toán này.”, “Cách làm này đã tối ưu chưa?”, “Em hãy thử tìm thêm cách giải khác cho bài tốn.”
HS: Số các cặp số có tổng giá trị chia hết cho 3 tăng lên Cách làm: Ta tiến hành chia trường hợp như sau
TH1: Tổng các chữ số bằng 3 TH2: Tổng các chữ số bằng 6 TH3: Tổng các chữ số bằng 9 TH4: Tổng các chữ số bằng 12
Với mỗi trường hợp ta tìm các nhóm 3 số thoả mãn, lập các số có 3 chữ số từ các số đó rồi cộng từng trường hợp lại.
Sau khi HS phân tích bài và đưa ra hướng làm chính xác, GV u cầu HS trình bày lời giải cụ thể.
Từ các ví dụ đã được thực hiện như trên, GV yêu cầu HS tổng quát lên một dạng bài và đưa ra phương pháp chung để giải quyết dạng bài đó
HS: dạng tốn sắp xếp các số cho trước ( có chữ số 0) thoả mãn một số điều kiện kèm theo.
2.4. Thiết kế một số kế hoạch dạy học chủ đề “ Tổ hợp và xác suất” có sử dụng các biện pháp đã đề xuất nhằm rèn luyện kĩ năng giải quyết vấn dụng các biện pháp đã đề xuất nhằm rèn luyện kĩ năng giải quyết vấn đề cho học sinh
2.4.1. Thiết kế bài giảng: Quy tắc đếm
CHƯƠNG II: TỔ HỢP – XÁC SUẤT BÀI 1: QUY TẮC ĐẾM
I. MỤC TIÊU
1. Kiến thức
- Ghi nhớ và phân biệt được 2 quy tắc đếm.
- Áp dụng được quy tắc đếm vào từng bài tốn cơ bản có liên quan.
2. Năng lực
- NL giải quyết vấn đề, NL tự học, NL tự quản lí, NL giao tiếp, NL hợp tác.
3. Phẩm chất
- Cẩn thận chính xác
- Chủ động trong quá trình học tập trên lớp và tự học - Tích cực tham gia các hoạt động
- Năng động, trung thực sáng tạo trong quá trình tiếp cận tri thức mới ,biết quy lạ về quen, có tinh thần hợp tác xây dựng cao.
- Lập luận chặt chẽ, logic.
II. THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU
- Bảng phụ. - Phiếu học tập.
III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC 1. HOẠT ĐỘNG 1: MỞ ĐẦU
a) Mục tiêu: Học sinh tiếp cận với khái niệm “quy tắc cộng”
b) Nội dung: GV hướng dẫn, tổ chức học sinh ơn tập, tìm tịi các kiến thức liên quan
bài học đã biết
H1- Chọn ngẫu nhiên 1 hình trong số các hình sau đây. Có bao nhiêu cách chọn khác nhau?
H2 - Sơ đồ sau đây cho thấy các con đường nối từ thành phố X tới thành phố Y và từ thành phố Y tới thành phố Z. có bao nhiêu cách đi từ thành phố X tới thành phố Z mà chỉ đi qua Y đúng một lần?
H3- Hãy chỉ ra sự khác nhau trong việc chọn 1 hình vẽ ở câu hỏi 1 và chọn 1 đường đi ở câu hỏi 2?
c) Sản phẩm:
Câu trả lời của HS
L1- Số cách chọn một hình trịn là: Số cách chọn một hình vng là: Số cách chọn một hình vng hoặc trịn là : 8 4 8 4 12+ =
L2 - Để đi từ thành phố X đến thành phố Z, ta phải thực hiện đầy đủ cả hai hành
động: Đi từ X đến Y và đi từ Y đến Z.
+ Đi từ X đến Y có: 4 cách.
+ Ứng với mỗi cách đi từ X đến Y ta có 3 cách đi từ Y đến Z. Vậy có: 4.3 = 12 cách đi từ X đến Z mà chỉ qua Y một lần.
L3- Việc chọn 1 hình vẽ ở câu hỏi 1 là các hành động độc lập, việc chọn đường đi ở câu hỏi hai là hành động tương ứng phụ thuộc lẫn nhau.
d) Tổ chức thực hiện:
Chuyển giao GV nêu câu hỏi
HS: trả lời
Thực hiện HS suy nghĩ độc lập
Báo cáo thảo luận
- GV gọi lần lượt 3 hs, lên bảng trình bày câu trả lời của mình - GV mời HS nhận xét và bổ sung cho bạn
Đánh giá, nhận xét, tổng hợp
- GV đánh giá thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận và tổng hợp kết quả.
- Dẫn dắt vào bài mới. Nêu tình huống sau đây
Đặt vấn đề: Một cơ gái có 2 cái mũ màu xanh khác nhau, 3 cái
mũ màu vàng khác nhau. Cô gái muốn chọn một cái mũ để đội đi dạo phố với người u. Hỏi cơ gái có mấy cách chọn?
2. HOẠT ĐỘNG 2: HÌNH THÀNH KIẾN THỨC MỚI I. QUY TẮC CỘNG
a) Mục tiêu: Hình thành quy tắc cộng, HS nắm được quy tắc cộng và vận dụng
H1: Ví dụ 1: Có bao nhiêu cách chọn 1 viên bi từ trong 1 hộp chứa 6 viên bi
trắng và 3 viên bi đen?
H2: Ví dụ 2: Đi từ thành phố A tới thành phố B có thể đi bằng đường thuỷ hoặc
đường bộ. Có 2 tuyến đường thuỷ khác nhau và 3 tuyến đường bộ khác nhau. Có bao nhiêu cách đi từ thành phố A tới thành phố B?
H3: Ví dụ 3: Có bao nhiêu hình vng trong hình dưới đây:
H4: Ví dụ 4: Trong một cuộc thi tìm hiểu về đất nước Việt Nam, ban tổ chức
công bố danh sách các đề tài gồm: 8 đề tài lịch sử khác nhau, 7 đề tài thiên nhiên khác nhau, 10 đề tài văn hoá khác nhau, 6 đề tài con người khác nhau. Hỏi mỗi thí sinh có bao nhiêu cách lựa chọn một đề tài để thuyết trình biết rằng mỗi thí sinh chỉ được chọn một đề tài?
c) Sản phẩm:
Quy tắc cộng: Một cơng việc được hồn thành bởi một trong hai phương án. Nếu
phương án này có 𝑚 cách thực hiện, phương án kia có 𝑛 cách thực hiện khơng trùng với bất kì cách nào của phương án thứ nhất thì cơng việc đó có 𝑚 + 𝑛 cách thực hiện.
FChú ý:
1. + Số phần tử của tập hữu hạn X được ký hiệu là 𝑛(𝑋) hoặc |𝑋|.
1
cm
+ Quy tắc cộng có thể được phát biểu như sau: Nếu 𝐴 và 𝐵 là các tập hợp hữu hạn khơng giao nhau, thì
𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵)
+ Đặc biệt: Nếu 𝐴 và 𝐵 là hai tập hữu hạn bất kì thì 𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)
2. Mở rộng quy tắc cộng:
+ Giả sử một cơng việc có thể được thực hiện theo một trong 𝑘 phương án 𝐴0, 𝐴&, … , 𝐴L. Có 𝑛0 cách thực hiện phương án 𝐴0, 𝑛& cách thực hiện phương án 𝐴&,…, và 𝑛L cách thực hiện phương án 𝐴L. Khi đó cơng việc có thể được thực hiện bởi 𝑛0+ 𝑛&+ ⋯ + 𝑛L cách.
+ Nếu 𝐴0+ 𝐴&+ ⋯ + 𝐴L là 𝑘 tập hợp hữu hạn đôi một khơng giao nhau thì số phần tử của 𝐴0 ∪ 𝐴&∪ … ∪ 𝐴L là: |𝐴0∪ 𝐴&∪ … ∪ 𝐴L| = |𝐴0| + |𝐴&| + ⋯ + |𝐴L| . VD1. B A
+ Có 6 cách chọn 1 viên bi trắng + Có 3 cách chọn 1 viên bi đen
Vậy, có 6 + 3 = 9 (cách ) chọn ra 1 viên bi từ trong hộp.
VD2.
+ Đi theo đường bộ có: 3 cách. + Đi theo đường thuỷ có: 2 cách. Vậy có: cách đi từ A đến B.
VD3.
Cạnh 1 cm: 10 hình
Cạnh 2 cm: 4 hình
Vậy có tất cả số hình vng là: 10 + 4 = 14 (hình vng)
VD4. Mỗi thí sinh có 8 + 7 + 10 + 6 = 31 cách chọn 1 đề tài để thuyết trình.
d) Tổ chức thực hiện
Chuyển giao GV: Chiếu (nêu) bài tập VD1, VD2, VD3, VD4 HS: Tìm hiểu đề, suy nghĩ tìm lời giải
Thực hiện GV: - GV chia lớp thành 4 nhóm tương ứng thực hiện 4 ví dụ
trên 3 2 5+ =
1
cm
- GV hướng dẫn HS tìm hiểu đề bài, dẫn dắt HS tìm ra và phát biểu quy tắc cộng.
HS: Đọc, nghe, nhìn, trao đổi hoạt động nhóm. Phát biểu quy
tắc cộng
Báo cáo thảo luận
- Các nhóm HS trình bày kết quả thảo luận lên bảng phụ - GV gọi lần lượt 4 HS bất kỳ (mỗi HS thuộc một nhóm), lên bảng trình bày câu trả lời của nhóm mình .
- HS đặt câu hỏi cho các nhóm bạn để hiểu hơn về câu trả lời, đồng thời nêu ý kiến bổ sung để hoàn thiện câu trả lời.
- GV quan sát, điều hành.
Đánh giá, nhận xét, tổng hợp
- GV nhận xét về các phương diện sau: Thái độ làm việc nhóm, kết quả thực hiện nhiệm vụ nhóm, thuyết trình kết quả, đóng góp bổ sung hoặc phản biện kết quả của các nhóm khác. - Dẫn dắt HS chuẩn bị cho nhiệm vụ tiếp theo
II. QUY TẮC NHÂN
a) Mục tiêu: Hiểu được khái niệm quy tắc nhân và phân biệt được quy tắc cộng
và quy tắc nhân
b) Nội dung:
H1: Học sinh làm bài toán
Bài toán . Một cơ gái có 3 cái áo khác nhau và 2 cái quần khác nhau. Cô gái muốn
chọn một bộ đồ (1 áo và 1 quần) để đi dạo phố với người yêu. Hỏi cơ gái có mấy cách chọn?
H2: Định nghĩa quy tắc nhân
H3: VD1: Bạn Hồng có hai quyển sách khác nhau và ba bút khác nhau. Hỏi Hồng
có bao nhiêu cách chọn một bộ gồm một quyển sách và một cái bút?
VD2: Có 3 con đường đi từ thành phố A tới thành phố B, từ thành phố B tới thành
phố C có 4 con đường. Tính số cách đi từ thành phố A tới thành phố C mà đi qua thành phố B đúng một lần?
c) Sản phẩm:
Bài toán. Một cơ gái có 3 cái áo khác nhau và 2 cái quần khác nhau. Cô gái muốn
chọn một bộ đồ (1 áo và 1 quần) để đi dạo phố với người u. Hỏi cơ gái có mấy cách chọn?
Thảo luận và trả lời
– HĐ1: Chọn 1 cái quần có: 2 cách.
– HĐ2: Chọn 1 cái áo có: 3 cách.
+ Mỗi cách chọn 1 cái quần có tương ứng 3 cách chọn 1 cái áo để có một bộ đồ. Vậy ta có: cách chọn 1 bộ đồ.
Qui tắc nhân
Một cơng việc được hồn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có 𝒎 cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có 𝒏 cách thực hiện hành động thứ hai thì có 𝒎. 𝒏 cách hồn thành cơng việc đó.
Chú ý: Qui tắc nhân có thể áp dụng cho nhiều hành động liên tiếp.
VD1: Bạn Hồng có hai quyển sách khác nhau và ba bút khác nhau. Hỏi Hồng có
bao nhiêu cách chọn một bộ gồm một quyển sách và một cái bút?
Giải
+ Có 2 cách chọn sách.
+ Với mỗi quyển sách đã chọn, có 3 cách chọn bút. Þ Có 2.3 = 6 cách chọn bộ sách và bút
VD2: Có 3 con đường đi từ thành phố A tới thành phố B, từ thành phố B tới thành
phố C có 4 con đường. Tính số cách đi từ thành phố A tới thành phố C mà đi qua thành phố B đúng một lần?
Hai hành động:
– HĐ1: Có 3 cách chọn đường đi từ thành phố A tới thành phố B – HĐ2: Có 4 cách chọn đường đi từ thành phố B tới thành phố C
Áp dụng quy tắc nhân, ta có 3.4 = 12 cách đi từ thành phố A đến thành phố C, qua thành phố B.
d) Tổ chức thực hiện
Chuyển giao
- GV đưa ra câu hỏi và trình chiếu bài tốn 1 ® đặt vấn đề cho