2.2. Thiết kế bài giảng rèn luyện kỹ năng giải một số bài tập về phương
2.2.1. Bài tập liên quan đến phương trình đường cao của tam giác
a) Bài toán. Cho tam giác ABC biết tọa độ một đỉnh và PT của hai đường cao
xuất phát từ hai đỉnh còn lại. Viết PTĐT của cạnh AB ,BC ,C A .
Phán tích. Giả sử tam giác ABC ta biết tọa độ đỉnh A và PT của hai đường
cao kẻ từ hai đỉnh còn lại là BH và CK . Đe bài yêu cầu viết PTĐT của cạnh
AB,BC ,C A .
- Khi cho học sinh vẽ hình bài tốn, giáo viên khơi gợi hướng giải quyết cho học sinh, cụ thế giáo viên có thế đặt câu hởi vấn đáp như sau.
+ PT ĐT AC,A B có đặc điểm gì? Học sinh sẽ nhận ra PTĐT AC đi qua điếm A và vng góc với đường thăng BH . Tương tự PTĐT AB cũng vậy,
đi qua điêm A và vng góc với đường thăng CK.
+ Khi học sinh nhận ra đặc điếm của đường thăng A B , A C . Giáo viên cân nhấn mạnh cách viết PTĐT đó là ĐT cần đi qua một điểm và biết VTPT hoặc VTCP. Giáo viên hỏi học sinh đường thẳng AB,AC có đi qua điếm nào đã
biết tọa độ không, và khi biết đường thẳng AC vng góc với đường thăng
B H ,AB vng góc với CK thì có tìm được VTPT hoặc VTCP của đường thăng A B,AC khơng, nếu có tìm được thì tìm như thế nào?
- Như vậy ở dạng bài này, giáo viên cần rèn luyện cho học sinh:
+ Biết cách vẽ hình, khai thác giả thiết, nêu được đặc điểm các yếu tổ trong tam giác.
+ Viết được PTĐT đi qua một điếm và vng góc với đường thẳng cho trước, cụ thề học sinh viết được đường thẳng AB đi qua A và vng góc với C K, nghĩa là học sinh nhận ra được do đường thắng AB vng góc với CK nên
đường thẳng AB nhận VTPT của đt CK làm VTCP. Từ đó học sinh hồn
toàn viết được PTĐT A B , A C . b) Phương pháp sơ đơ hóa.
v ẫn giả sử bài toán là: Cho tam giác ABC biết tọa độ đỉnh A và phương
trình của 2 đường cao BH,CK (hình 2.7). Viết PTĐT AB,BC,CA . Theo phân tích trên thì học sinh dễ dàng nêu được các bước giải theo sơ đồ hóa như sau
A
Ví dụ 2.19. Cho tam giác ABC có A[ 1;2) và phương trình hai đường cao lần
lượt là BH : X + y +1 = 0 và CK : 2x + y - 2 = 0. Viết PTĐT các cạnh của tam giác A B C .
Lời giải. + Cạnh AB đ i qua A( 1;2) và vng góc với CK :2x + y - 2 = 0 nên đường thẳng AB có VTPT là « = (l;-2 ) suy ra đường thắng AB có
phương trình
l ( x - l ) - 2 ( ^ - 2 ) = 0 hay AB : x - 2y + 3 = 0.
+ Ta có AC _L BH nên đường thẳng AC đi qua à( 1;2) và có VTPT
« = ( 1;-1) nênPTĐ T Clà
l ( x - l ) - l ( j - 2 ) = 0 hay / Í C : x - _ y + 1 = 0.
+ Ta có AB n BH = B nên toạ độ điểm B là nghiệm của hệ
x - 2 ^ + 3 = 0
x + y + l = 0.
r 5 2 a
Suy ra tọa độ đíêm B
3 ’ 3
+ Vì AC n CẢT = c nên toạ độ điểm c là nghiệm của hệ
' x - y + \ = 0
2x + j / - 2 = 0.
Do đó tọa đ ộ đ iêm c
+ Vectơ u = AB -
' ì . í '
v 3 ; 3 y
8 4
là VTCP của đường thăng AB suy ra n = ( l;- 2 )
3 ’ 3, là vectơ pháp tuyến ĐT AB .
Vậy PTĐT A B : \ ị x - \ ) - 2 { y - 2 ) = ữ hay AB :X -2y + 3 = 0.
là VTCP của đường thẳng AC suy ra vectơ
n - ( l ; - l ) là VTPT của đường thẳng /4C . Vậy PTĐT / 4 C : l . ( x - l ) - l ( _ y - 2 ) = 0 hay AC : x - y + \ = 0. + Đường thẳng BC có VTCP u = z ? c =( 2) suy ra có VTPT n = , ’~2(2 ì V 3 , y Vậy PTĐT 5 C : - , 3 V 3y - 2 = 0 hay £ C :3 x + 9y + l l = 0.
Ví dụ 2.20. Cho tam giác ABC vuông tại A có tọa độ A(4;8), trung điêm cạnh huyền BC là M (4; 3), PT đường cao kẻ từ đỉnh /í là
AH : 4x - 3>’ + 8 = 0. Viết PT các cạnh AB, BC,CA của tam giác. Phân tích.
^(4;8)
Hình 2.8
- Giáo viên hướng dẫn học sinh vẽ hình và ghi chú thích vê kí hiệu góc vng, kí hiệu bằng nhau, viết tọa độ điêm vào hình nhăm mục đích năm rõ giả thiết của đề bài (hình 2.8).
- Cũng theo bài toán đưa ra ở trên, ở ví dụ này cho biết PT đường cao AH
nên ta có AH L B C, mà BC đi qua điếm M (4;3). Do đó ta hồn tồn viết được PT đường thẳng BC đi qua M và vng góc với A H tức nhận VTCP
của AH làm VTPT.
- Giáo viên tiếp tục khơi gợi cho học sinh mối quan hệ giữa đường trung tuyến trong tam giác vng và cạnh huyền. Có AM là đường trung tuyến
trong tam giác vuông ABC nên độ dài A M bằng nửa cạnh huyền, tức là
A M = BM = CM.
- Điếm A , điếm M đã biết tọa độ, do đó đê tìm tọa độ điêm B hoặc c , ta sẽ
tham số hóa điểm B hoặc c thuộc PT đường thẳng BC theo một ân và sử
dụng cơng thức tính đoạn Ả M = BM = CM đê giải.
- Giáo viên có thế hưóng dẫn học sinh cách tham số hóa một điếm thuộc một đường thắng đã biết PT nhằm giảm sổ lượng ấn cho bài tốn. Cụ thê cách tham số hóa một điếm thuộc đường thẳng như sau: Nếu đường thăng d có PT
tơng qt d \ Ax + By + C = 0. Ta rút X theo y hoặc y theo X, rói gọi tọa độ đỉêm M thuộc đường thăng d theo một ân.
Ví dụ: Phương trình d : 2x + 7>y - 6 = 0. Ta suy ra
6 - 3 y 3y x =---- — = 3 - - ^ -
2 2
Khi đó với điêm M thuộc đường thăng d , ta tham sơ hóa đỉêm M băng
( 3y ì
cách goi toa đô M 3 - — ;y hoăc M ( 3 - 3 m ; 2 m ) .
V 2
Lời giải. (Hình 2.8). PT BC đi qua M (4;3) và vng góc với AH nên PT
BC đi qua M (4;3) sẽ có VTPT «(3;4) là: 3 ( x - 4 ) + 4(>>-3) = 0 hay B C :3 x + 4 y - 2 4 = 0.
Gọi B ( 4 a ; 6 - 3 a ) e B C : 3 x + 4 y - 2 4 = 0.
Vì tam giác ABC vuông tại A , A M là đường trung tuyến nên AM - - B C
nên A M - BM .
Suy ra Vo2 + 52 = yj(4a - 4)2 + (6 - 3a - 3)2 . Tương đương với
y Ị 2 5 ( a - \) 2 = 5 o | ứ - l | = l. Suy ra
a - \ = \ a - \ = - \ .
Do đó B(8;0) hoặc B(0;6).
+ Với £(8;0) suy ra C(0;6)do đó PTĐT A B : 2x + y -1 6 = 0;
A C : x - 2 y + \2 = 0.
+ Với B(0; 6) suy ra C(8;0) do đó PTĐT AB : x - 2 y + ]2 = 0] AC :2x + y - \ 6 = 0 .
Bài tập tương tự.
1. Cho tam giác A B C, biết PT đường thẳng A B : x - 3 y + 11 = 0, đường cao A H : 3x + l y -1 5 = 0, đường cao B K : 3x - 5y +13 = 0. Tìm phương trình hai
đường thăng chứa hai cạnh cịn lại của tam giác.
2. Cho tam giác ABC có đỉnh B { -6;4); PT cạnh A C : x - y - 2 = 0 , PT đường cao kẻ từ A là A H : 7 j c - j + 4 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh A, c của tam giác.
2.2,2. Bài tập liền quan đến phương trình đường trung tuyến của lam giác
Bài toán. Cho tam giác t^ABC biết tọa độ đỉnh A , biết PT hai đường trung
tuyến xuất phát từ hai đỉnh còn lại là B M , C N . Tìm tọa độ B , c và viết PT các cạnh của tam giác.
A
Phân tích. (Hình 2.9). Bài toán đã cho biết tọa độ đỉnh A , biết phưong trình
hai trung tuyến xuất phát từ hai đỉnh còn lại là B M , C N . Do vậy, chúng ta
nghĩ đến giao điếm của BM ,C N chính là trọng tâm G của tam giác.
- Khi có tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC mà điêm A đã biêt tọa độ. Đê
sử dụng công thức liên quan đến trọng tâm G ta cần biết tọa độ của điêm B
và c . Vì B thuộc B M , c thuộc CN nên ta sẽ tham số hóa điểm B theo
PTĐT của BM và tham số hóa điểm c theo PTĐT của c .
-T ừ công thức về trọng tâm G ta dễ dàng tìm được tọa độ điêm B,c . Khi đó ta hồn tồn viết được PT các cạnh của tam giác.
Tóm tăt hướng giải băng sơ đơ hóa sau
Với bài toán này, giáo viên rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải bài tập đó là
- Học sinh tìm được tọa độ giao điêm của hai đưòng thăng (G - B M n C N ,
diêm G là trọng tâm của tam giác) và tìm mối liên hệ giữa điêm đó với các
yếu tổ của tam giác.
- Học sinh biết cách tham số hóa một điếm thuộc đường thắng nhằm giảm số ân của bài toán.
- Học sinh biết sử dụng công thức về trọng tâm G của tam giác đế tìm tọa độ
điêm B , c . Khi đó học sinh rèn luyện thêm kỹ năng viết PTĐT đi qua hai điểm đã biết tọa độ.
Ví dụ 2.21. Cho tam giác ABC có A ( -2;3) và hai đường trung tuyến
BM : X - 2y +1 = 0 và CN :x + y - 4 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh B , c của tam giác ABC.
Lời giai. Gọi G = BM n CN suy ra G là trọng tâm của tam giác A B C . Ta có
2 x - y + 1 = 0
x + ^ - 4 = 0. Suy ra tọa độ điểm G .
v3 3)
Tham số hóa tọa độ điếm là B { 2 y B - .
Tương tự gọi C (xc ;4 - JCC) thuộc đường thăng CN .
7 —2 + 2 y ỊỊ — 1 + Xq
3 = 3
5 = 3 + y B + 4 - x c
3 3
Tương đương với
2 y B + x c =10
<
Ta có vectơ
u = AB 7 17
3 ’ 3
suy ra vectơ n = ( l 7;—7) là VTPT của đường thẳng ,45. Do đó
^ S : 1 7 ( j c - 2 ) - 7 ( j / + 3) = 0 hay A B: 1 7 * - 7 ^ - 5 5 = 0.
Phương trình đường thắng AC đi qua A (2 ;-3 ) có VTCP
ũ = AC =/ 8 7^
3 ; 3
suy ra có VTPT n - (7 ;-8 ). Cho nên phương trình
^ C :7 ( x - 2 ) - 8 ( > > + 3) = 0 hay AC :1 x - < ề y = 0
Lại có vectơ
u = =/ 1 10N
suy ra vectơ n - (lO;l) là VTPT của đường thẳng B C . Do đó phương trình
BC: 10. X —13^1+ 1. y- = 0 hay 5 C : 30jc + 3^ —138 = 0
2.2.3. Bài tập liên quan đến phương trình hai đường phân giác trong của tam giác. tam giác.
Bài toán. Cho tam giác ABC biết tọa độ đỉnh A, phương trình hai đường phân giác trong của góc B và góc c lần lượt là BD và C E . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác và viết PT các cạnh của tam giác.
Phân tích. Trước hết, giáo viên cần trang bị cho học sinh thêm kiến thức,
luyện thêm kỹ năng về bài tốn tìm điểm đối xứng của một điếm qua một đường thắng, phần này đã được đề cập đến ở phần 2.1.3 của luận văn.
- Khi gặp bài toán cho biết PT đường phân giác trong của một góc trong tam giác thì chúng ta nên sử dụng tính chất có liên quan đến đường phân giác như sau: Cho tam giác ABC đã biêt PT đường phân giác trong AD của góc A .
Giả sử điêm M năm trên cạnh A B . Nêu M ' là điêm đôi xứng của điềm M qua đưịng thăng AD thì ta ln chứng minh được M ' thuộc cạnh AC (hình 2.10).
Hình 2.10
- ơ bài tốn này, chúng ta đã biết PT hai đường phân giác trong của góc B,c
lân lượt là BD và C E . Theo tính chất trên thì nếu ta gọi điếm M , N lần lưọt là các điếm đối xứng với điếm A qua đường phân giác trong BD,CE thì ta sẽ
có điểm M , N thuộc đường thẳng BC (hình 2.11). Á
Hình 2.11
- Như vậy, giáo viên hướng dẫn học sinh tìm được tọa độ điếm M , N lần lưọt là các điếm đối xứng với điếm A qua đường thẳng B D , C E . Khi đó điểm
M , N thuộc đường thẳng B C , ta hoàn toàn viết được PTĐT BC đi qua điểm M , N vừa tìm được.
- Khi có PT đường thẳng B C , ta tìm được tọa độ điểm B,c nhờ vào việc tìm giao của hai đường thắng. Từ đó dễ dàng viết được PT các cạnh của tam giác.
Từ PT hai đường phân giác trong BD,CE
—7—^
ỵ
Tìm tọa độ điểm M đối Tìm tọa độ điêm N đơi xứng với A qua BD xứng với A qua CE
Điêm M thuộc đường thẳng BC
Điểm N thuộc đường thăng BC
Viết PT đường thẳng BC
đi qua điểm M và N
Tìm ra được tọa
đ ộ điểm B và c
Ví dụ 2.22. Tìm tọa độ các đỉnh B , c của tam giác ABC biết đỉnh A (2 ; - l )
và phương trình hai đường phân giác trong của góc B là dB : X - 2 y +1 = 0 và của góc c là dc :2 x - 3 > ’ + 6 = 0, xem [3; tr. 124].
Lời giải. Gọi điểm đổi xứng của A qua d B : x - 2 y + 1 = 0 là điêm M . Vì
A M _L dB và đi qua điểm A nên A M có phương trình 2 ( x - 2 ) + l(_y + l) = 0 hay A M :2x + y - 3 = 0.
Ta có dB n A M = / và AM nên tọa độ điêm I là nghiệm của hệ
Suy ra tọa độ điểm / (l; 1) và I là trung điểm của A M nên M (0;3).
Gọi điểm đôi xứng của A qua dc : 2x - 3ỵ + 6 = 0 là điêm N .
Phương trình đường thẳng A N qua A và vng góc với dc có dạng
/47V :3(x-2) + 2(_y + l) = 0 hay AN : 3 x + 2 y - 4 - 0 .
Lại có dc n A N = J nên tọa độ điếm J là nghiệm của hệ
2x + y - 3 = 0
X — ' l y + 1 = 0.
: 3x + 2 y - 4 = 0
2 x - 3 y + 6 = 0. Do đó tọa độ của y (0 ;2 ).
Suy ra toạ độ của 7V(-2;5).
Khi đỏ điêm M , N năm trên đường thăng BC.
Vậy phương trình cạnh BC hay MN là
# C : l ( x - 0 ) + l(_y-3) = 0 hay B C : x + y - 3 = 0.
Vì B = B C r \ d B; c = B Cn dc nên dễ dàng tìm được tọa độ điểm B
tọa độ điểm c 3 \2^
5 ’ 5
Bài tập tương tự.
1. Viết phương trình các cạnh A B,BC của AABC biết đỉnh A (2 ;- l) và
phương trình hai đường phân giác trong của góc B , c lân lưọt là
B D : 2x - 3y + 4 = 0, C E: X - 5y + 3 = 0.
2. Tìm tọa độ điểm B , c của AABC biết ẩ (4 ;- l) và PT hai đưòng phân giác trong B D: X - 1 = 0 ; C N : X - y - 1 = 0.
2.2.4. Bài tập liên quan đến p hư ơng trình hai đường thẳng bất kì trong các
đường trung luyến, đường phân giác trong vờ đường cao của tam giác.
Bài toán 1. Cho tam giác, biết tọa độ một đỉnh và P T đường cao, PT đường trung tuyến xuất phát từ hai đinh còn lại. Lập P T các cạnh của tam giác đó.
Ta đặt tên cụ thể cho bài toán 1. Cho tam giác ABC biết tọa độ đỉnh A ,
phương trình đưịng cao BH và trung tuyến kẻ từ c là CK . Xác định tọa độ đỉnh B và c . Viết PT các cạnh của tam giác.
Phán tích. (Hình 2.12). Giáo viên hướng dần học sinh đọc kĩ đề bài, nghiên
cứu các dữ kiện bài toán đã cho và vẽ hình kèm các kí hiệu góc vng, độ dài bằng nhau nhằm dễ dàng nhìn hình, nhận biết các giả thiết bài tốn đã cho.
A
c Hình 2.12
- Cụ thể, bài toán cho biết PT đường cao BH suy ra BH _L A C , mà tọa độ điếm A đã biết. Như vậy ta hoàn toàn viết được PT đường thăng AC đi qua điếm A và vng góc với đường thẳng BH tức là đường thăng AC đi qua
A và có VTPT là VTCP của đường thẳng BH .
- Khi đã viết được PT đưòng thẳng A C, ta nhận thấy tọa độ điếm c là giao của hai ĐT AC và CK . Giải hệ hai PT ta tìm được tọa độ của điểm c .
- Mục đích tiếp theo ià tìm tọa độ điếm B , khi có điểm B thì bài tốn đã coi
như giải quyết xong. Đe tìm B , ta bám vào vị trí điếm B đang thuộc đường
thẳng BH . Vì B thuộc đường thắng BH nên ta tham số hóa điểm B .
- Đe sử dụng công thức K là trung điểm của đoạn A B, ta tham số hóa điêm
K thuộc đường thẳng CK . Giải hệ ta tìm được tọa độ điếm K và B .
-T a hoàn toàn viết được PT các cạnh của tam giác.