2.3. Thiết kế bài giảng rèn luyện kỹ năng giải bài tập về phương trình đường
2.3.3. Các bài toán về hình tho i
Kiên thức bơ trợ.
Khai thác các tính chất của hình thoi ABCD (hình 2.26).
+ Có 4 cạnh bên bằng nhau AB = BC = CD = DA
+ Có C D / / A B ; B C / /A D .
+ Có hai đường chéo vng góc với nhau A C _L B D .
+ Hai đường chéo cắt nhau tại trung điếm mỗi đường, tức là có AC n BD - I
, / là trung điểm của AC,BD .
+ Hai đường chéo AC,BD là các đường trung trực của nhau.
c
Hình 2.26
Ví dụ 2.30. Trong mặt phang với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có A C - 2 B D . Biết đường thẳng AC có PT 2 x - y - \ = 0 ; đỉnh /í(3;5)và
điểm B thuộc đường thẳng d :x + y - 1 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh B , c , D của
hình thoi A B C D .
Phân tích. Gọi 1 - AC n BD (hình 2.26).
+ Điêm B thuộc đường thăng d nên ta tham sơ hóa điêm B theo một ân t .
+ Mặt khác do / thuộc AC nên ta tham số hóa điểm / theo một ẩn a. Như vậy đế tìm ấn t và a, ta lập hệ hai PT đại sổ.
+ Hai PT đó được khai thác từ giả thiết cho đó là AC - 2BD suy ra AI = 2Bỉ . Lại có AI _L BI suy ra tích vơ hướng AI .BI - 0. Lập hệ PT sau đó tìm được tọa độ điểm I , B . Do I là trung điểm của A C,B D nên tìm được tọa độ điểm
C , D .
Lời giải. Gọi / = AC n B D . Do / thuộc phương trình ẢC : 2 x - y - \ = 0 nên
gọi điêm / ( ứ ;2 a - 1 ).
+ Vì B thuộc đường thẳng d : JC + y - 1 = 0 nên gọi tọa độ điếm B là B(t\ 1 - 1)
+ Ta có AI = ( í - 3 ; 2 / - 6 ) = ( / - 3 ; 2 ( / - 3 ) ) .
+ Do AI _L BI nên AI .Bỉ = 0 hay t - X + 2{2t + X — 2) = 0. Do đó 5t + X - 4 = 0 suy ra X = 4 - 51, Suy ra BI - (t - 4 + 5t\2t + 4 - 5/ - 2) = (6t - 4 ;-31 + 2). + Vì y4C = 2BD nên AI = 2B I , Suy ra 5 ( í - 3 ) 2 = 4 .5 .( 2 -3 0 2 do đó (t - 3)2 = 4.(2 - 3t)2. Suy ra '> - 3 = 2 ( 2 - 3 0 í - 3 = -2 (2 — 30- Vậy nên t - 1 hoặc t - —.
5 + Với / = 1 suy ra /( l;l);5 ( - l;2 ) ;C ( -l;- 3 ) ;D ( 3 ;0 ). + Với t = - ị do đó / 5 ^ 1 -3 ì „ 13 31 „ 13 4 J Ì ; 5 ( 3 ; - 2 ) ; C ( ~ ; - y ) ; Z 5 ( - y ; | ) . 5 ’ 5
Ví dụ 2.31. Cho hình thoi ABCD có PT cạnh AC \ x + 1 y-3>\ = 0 và diện
tích của hình thoi bằng 75. Cho PT các đường thẳng d ị : x + y - 8 = 0 v ằ d 2 : x - 2 y + 3 - 0 . Biết tọa độ đỉnh A có hồnh độ âm và hai đỉnh B,D lần
lượt nằm trên đường thắng dv d^, tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi.
Phân tích. (Hình 2.26).
Tham số hóa điểm B,D theo ẩn b,t như sau : B ( b ' , 8 - b ) e d ] ;
D ( 2 t - 3;t) e d2.
+ Đe tìm ra b,t ta lập hai PT đại số, PT đại số thứ nhất là sử dụng tính chất của hình thoi AC _L BD suy ra BD.AC = 0 suv ra BD.uịC = 0 (đường thăng
AC có u AC là một vectơ chỉ phương).
+ PT đại số thứ hai là ta tìm tọa độ điếm / ỉà trung điếm của BD và tọa độ
điểm I thỏa mãn PT đường thang AC .
+ Từ hai PT đại sổ trên, giải hệ ta tìm được tọa độ điêm B,D và / .
+ Ta viết PT đường thẳng BD đi qua hai điểm B,D hoặc đi qua một điểm B
và vng góc với đường thăng AC .
+ Tham sổ hóa điếm A thuộc đường thắng AC theo một ân a. Ta có AỈ = d(A ;B D ).
+ Vì giả thiết cho diện tích hình thoi nên ta sử dụng cơng thức tính diện tích hình thoi là Suy ra S = -.AC.BD, 2 s = —.BD.2AỈ, 2 Do đó S = BD.d(A;BD).
Giải ra tìm được tọa độ điểm A ,I là trung điểm AC hồn tồn tìm được tọa
độ điểm c .
Lời giải. Tham số hóa các điểm B,D lần lượt thuộc các đường thắng í/, :x + y - 8 = 0 và d2 : x - 2 y + 3 = 0 theo ẩn b,t là : B(b;8-b)<Edỉ ;
D ( 2 t - 3 ự ) e d 2.
+ Suy ra tọa độ trung điếm / của đoạn BD là / r b + 2 t - 3 8- b + t^
2 và
vectơ BD - { lt - 3 - bự - 8 + b)
+ Vì AC _L BD nên BD.AC = 0 suy ra BD.U4C= 0 mà đường thẳng AC có VTCP u AC = (7 ;-l) Suy ra ta có PT
7 ( 2 í - 3 - 6 ) - ( f - 8 + 6) = 0 hay 13í — 80 — 13 = 0. + Lại có điếm / thuộc đường thăng AC nên ta có
3 í - 2 ố - 3 = 0. + Suy ra Do đó '13^ — 8 0 -1 3 = 0 3 t - 2 b - 3 = 0. t = \ [0 = 0. L I 2 ; 2 Suy ra tọa độ điểm Z?(0;8);D(-1;1);7
+ Ta có PT đường thẳng BD là B D: I x - y + 8 = 0 + Gọi A{1>\- la \a ) G A C , ta có
/4C = 2d (A;B D ) = 2 J 5Q^ - 225I . 4 Diện tích hình thoi bằng 75 suy ra
1 và độ dài đoạn BD = \Í5Õ. Do đó Cho nên Suy ra s = —.AC.BD = 75. 2 1 .2 .l5 0 a - 225U = 75 2 yj50 5 0 ữ -2 2 5 = 75 50a - 225 = -75. a ~ 6 a - 3. Vì thế y4(-l 1;6) hoặc ^(10;3). 77
Mà đỉnh A có hồnh độ âm nên chọn A ( -11;6), / là trung điếm /4C nên C(10;3).
Vậy tọa độ các đỉnh của hình thoi là Ẩ ( - ỉ 1;6),£(0;8),C (10;3),D (-1;1).
Bài tập tương tự.
1. Cho hình thoi ABCD biết AB :x + ?>y + \ - 0 \ B D \ x - y + 5 - O . Đường thắng AD đi qua điếm M ( 1;2). Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi.
Đáp số £ (-4 ;l);D (0 ;5 ).
2. Cho hình thoi ABCD có AC :x + y - \ = 0. Điểm £ (9 ;4 ) nằm trên đường thẳng A B, điểm F (-2 ;- 5 )n à m trên đường thẳng CD và ẨC = 2V2 . Xác định tọa độ các đỉnh của hình thoi ABCD biết điếm c có hồnh độ âm.
Đáp số ^4(0; 1), B(-3; 0), c (-2;3), Z)(l; 4).