2.3. Thiết kế bài giảng rèn luyện kỹ năng giải bài tập về phương trình đường
2.3.4. Các bài tốn về hình thang,hình bình hành
Kiên thức bơ trợ.
Khai thác các tính chất của hình thang ABCDÌ^AB / /CD) (hình 2.27).
+ Hình thang ABCD có 1 cặp cạnh đáy
song song với nhau là CD / /A B .
+ AC n BD = / , theo định lý Ta-let ta . , IA IB AB có tỷ lệ : —— = — = — IC ID CD c Hình 2.27
Khai thác các tính chất của hình thang cân ABCD(AB / /CD) (hình 2.28).
Ngồi các tính chất của một hình thang thì hình thang cân A B C D ị C D/ / AB)
có thêm tính chất sau :
+ AD = B C; [ỒAB = ỤỈBC; @CD = 0D C
+ Kẻ AH _L CD;BK 1 CD thì suy ra AADH = ABCK .
A B
Hĩnh 2.28 •S Khai thác tính chất của hình thang
có đáy CD,AB (hình 2.29).
Ngồi các tính chất của một hình thang thì hình thang vng
ABCD[AB / /CD) có thêm tính chất AB ± A D , A D ± C D .
s Khai thác tính chất của hình bình hành ABCD (hình 2.30).
+ Hình bình hành ABCD có hai cặp cạnh ỵị
đáy song song và bằng nhau là
C D / / A B - B C / / AD ;
CD = AB; BC = A D .
+ B D n A C - Ị , I là trung điếm của đoạn A C , B D .
+ Các góc Ba o = @CZ), $ B C = LẨDC
Ví dụ 2.32. Trong mặt phăng tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD [AB / /CD,AB <CD) có diện tích bằng — . PT đường thẳng chứa
vuông tại A,D của hình thang ABCD
Hình 2.29
cạnh CD ỉà x - 3 _ y -3 = 0 hai đường chéo AC và BD vng góc với nhau
tại /(2 ;3 ). Viết PT đường thẳng chứa cạnh BC biết c có tung độ dương.
Phân tích. (Hình 2.31). Khai thác tính chất của hình thang ABCD cân là có
A C = BD,ỈA = ỈB,IC = ỈD.
+ Giả thiết cho AC _L BD do đó AJAB,AICD vng cân tại I .
A H B
Hĩnh 2.31
+ Kẻ IH 1 AB-ỈK 1 CD thì suy ra IH = - A B ; IK = - CD = d ự , C D ) .
+ Viết PT HK đi qua / và vng góc với đường thắng C D .
+ Ta dễ dàng tìm được tọa độ điểm K là nghiệm của hệ gồm PT đường thắng CD và HK . Từ đó tính độ dài IK , độ dài C D .
+ Tham số hóa điểm c thuộc đường thẳng CD, sử dụng độ dài đoạn C K = ị-CD ta tìm được tọa độ điểm c có tung độ dương và tọa độ điểm D .
2
+ Ta có
S = - H K . ( A B + CD).
Suy ra ta có
s = (1H + I K ý .
Sử dụne định lý Talet do AB / / C D, ta tìm được quan hệ giữa 1B và ID theo
độ dài và chuyển sang quan hệ theo vecto, từ đó ta tìm được tọa độ của điêm
Lời giải. Do ABCD là hình thang cân ( AB / ICD ) nên suy ra
AC - BD,ỈA - ỈB, ỈC - I D . Mà AC,BD vng góc với nhau tại / nên AIAB, AỈCD vuông cân tại I .
+ Gọi trung điểm của AB,CD lần lượt là H , K . Suy ra
1H = - A B , IK = ~ C D = d (I,C D )= l ^ ~ 3 3 ~ 3l =7i õ .
2 2
+ Phương trình đường thẳng IK đi qua điếm /(2;3) và vng góc với đường
thẳng C D: X - 3y - 3 = 0 là 3(x - 2) + y - 3 = 0. Ta có
Ỉ K : 3 x + y - 9 = 0.
+ Ta có K = IK n C D, tọa độ điểm K là nghiệm của hệ
ị x - 3 y - 3 = 0 \ ỉ x + y - 9 = 0.
Suy ra K (3 ;0 ),d o đ ó ỈK=ylĩÕ.
+ Gọi tọa độ điểm c thuộc CD là C(3c + 3;c), ta có CK = —CD = IK = V ũ ) . Do đó
7(3 c f + c 2 =VĨÕ.
Suy ra
c = 1 c = - \ .
Cho nên C(6;l)hoặc C (0;-1).
Mà c có tung độ dưong nên C(6;l) và D (0 ;-1 ).
+ Theo phân tích ở trên ta có diện tích của hình thang là
S = ự H + Ỉ K) 2.
Suy ra
( / / / + VĨÕ)2 = — . Do đó 2 + Lại có U L - Ỉ Ề . - Ì . I K ~ Ỉ D ~ 2 ' Từ đó suy ra I B - - —1D và tính được i?(3;5).
+ Vậy PT đường thẳng BC đi qua ổ (3 ;5 ),C (6 ;l) là B C: Ax + 3 y - 27 = 0. Ví dụ 2.33. Cho hình bình hành ABCD có PT hai cạnh là X- 5y +11 = 0 và
2x - y - 5 = 0. PT một đường chéo là X + y -1 = 0 . Tìm PT hai cạnh cịn lại của hình bình hành.
Phân tích.{ Hình 2.30).
+ Từ PT hai cạnh của hình bình hành, la xem hai đường thẳng đó có quan hệ như thế nào để đặt tên cho PT. Ớ ví dụ này, PT hai cạnh của hình bình hành
khơng song song với nhau nên ta gọi cạnh A B: X - 5>> +11 = 0 ;
A D : 2x - y - 5 = 0, từ đó ta giải hệ tìm được tọa độ điểm A(4;3).
+ Nhận thấy tọa độ điểm A không thỏa mãn PT đường chéo X + y -1 = 0 nên
PT đường chéo đó là PT đường thăng B D .
+ Như vậy ta tìm tọa độ điếm B là giao của AB và BD, tọa độ điếm D là
giao của AD và B D .
+ Hoàn toàn viết được PT hai cạnh còn lại là BC đi qua B , song song với
AD và phương trình CD đi qua D và song song với AB .
Lời giải. Vì PT hai cạnh của hình bình hành khơng song song với nhau nên ta
gọi cạnh AB : x - 5 y +11 = 0 ; A D : 2x - y - 5 = 0 suy ra tọa độ điêm A là
ị x - 5y + 11 = 0
[ 2 x -_ y - 5 = 0. Do đó tọa độ điếm A (4;3).
+ Thay tọa độ điếm A vào PT đường chéo của hình bình hành khơng thỏa
mãn, do đó PT đường chéo B D : X + y - 1 = 0.
+ Ta có B = AB n B D, tọa độ điểm B là nghiệm của hệ
Jx-5>> + 11 = 0
Ịx + _y-l = 0. Do đó tọa độ điểm B [ -1;2).
PT đường thẳng BC đi qua B và song song với A D : 2 x - y - 5 = 0 có VTPT là n = (2 ;-l)su y ra PT đường thăng .
B C: 2(x + 1 ) - ( 7 - 2 ) = 0 hay B C : 2 x - y + 4 = 0.
+ Tương tự, ta có B - AD n B D, suy ra tọa độ điêm D (2 ;-l) , PT đường thăng C D : X - Sy - 7 = 0.
Vậy PT hai cạnh cịn lại của hình bình hành là 2x - y + 4 = 0 ; x - 5 y - 7 = 0.
Bài tập tương tự.
1. Cho hình bình hành ABCD có Ả(\;2), phương trình đường thẳng B D : 2 x + y + ì - 0 . Gọi M là một điểm nằm trên đường thẳng AD sao cho A nằm giữa M và D , A M = A C . Đường thắng M C: X + y - 1 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh cịn lại của hình bình hành.
Đáp sơ S ( i ; - 2 ) ,C ( - 7 ,8 ) ,D ( - y ; 1 2 ) .
2. Cho hình thang cân ABCD có hai đường chéo vng góc với nhau và
AD = 3B C . Đường thẳng BD có PT X + 2 y - 6 = 0 và tam giác ABD có trực
tâm H ( -3;2). Tìm tọa độ các đỉnh C , D .
Đáp số C (-l;6 ) và D(4;1) hoặc D { -8;7).
Qua các ví dụ về phần PT đường thẳng có liên quan đến hình thang, hình bình hành, giáo viên rèn luyện cho học sinh một số các kĩ năng sau:
v' Học sinh đọc và phân tích được đề bài, ghi nhớ các dữ kiện đề bài cho và các u cầu cần tìm của bài tốn.
S Học sinh ghi nhớ và biết cách khai thác, sử dụng được các tính chất cơ bản của hình thang hoặc hình bình hành.
Kết luận chương 2
Mục đích và nội dung trong chương hai xoay quanh vấn đề mà luận văn hướng đến đó là rèn luyện kỹ năng giải bài tập PT đường thăng trong mặt phăng cho học sinh lóp 10. Tác giả đã đề cập đến các kỹ năng viết PT đưòng thăng cơ bản trong mặt phăng như viêt PT đường thăng khi biêt tọa độ một điêm và phưong của đường thăng cụ thê như viết PTĐT đi qua một điêm và biết tọa độ VTCP hoặc VTPT của đường thẳng. Viết PTĐT đi qua hai điểm đã biết tọa độ. Viết PTĐT đi qua một điểm và biết hệ sổ góc của nó. Viết PTĐT d đi qua một điếm A và song song hoặc vng góc với một đường
thăng A . Ngoài ra giáo viên cịn hưóng dẫn học sinh kỹ năng viết PT đường thắng theo đoạn chan, kỹ năng làm một số bài tập về điếm đổi xứng với nhau qua đường thắng, hoặc đối xứng của đường thẳng với đường thắng qua một điểm. Hướng dẫn học sinh một số kỹ năng giải bài tập liên quan đến khoảng cách từ một điếm đến một đường thắng, liên quan đến góc giữa hai đường thắng. Đặc biệt trong chương này, luận văn hướng tới phân tích hướng giải, sơ đồ hóa lời giải từ đó rèn luyện kỹ năng giải một số bài toán liên quan đến PT đường thắng trong tam giác như đường trung tuyến, đường cao, đường phân giác trong của một góc trong tam giác, hay các bài tốn về hình vng, hình chữ nhật, hình thoi, hình thang, hình bình hành trong mặt phăng.
Với hệ thống kiến thức bố trợ, ví dụ minh họa kèm theo sự phân tích hướng giải cùng lời giải chi tiết và các bài tập tương tự cho mỗi dạng nêu trên sẽ rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh một cách bài bản, có hệ thống, có tư duy logic, chặt chẽ và đầy đủ. Do đó học sinh vừa được trang bị về tri thức, phương pháp, vừa được rèn luyện kỹ năng giải toán.
Dựa vào các nội dung đã xây dựng ở chương hai này, chương 3 tiếp theo của luận văn sẽ trình bày về việc tiến hành thực nghiệm sư phạm đê bước đầu kiêm chứng, đánh giá tính hiệu quả và tính khả thi của q trình nghiên cứu.
CHƯƠNG 3
THỤC NGHIỆM su PHẠM