2.2. Thiết kế bài giảng rèn luyện kỹ năng giải một số bài tập về phương
2.2.4. Bài tập liên quan đến phương trình hai đường thẳng bất kì trong các
đường trung luyến, đường phân giác trong vờ đường cao của tam giác.
Bài toán 1. Cho tam giác, biết tọa độ một đỉnh và P T đường cao, PT đường trung tuyến xuất phát từ hai đinh còn lại. Lập P T các cạnh của tam giác đó.
Ta đặt tên cụ thể cho bài toán 1. Cho tam giác ABC biết tọa độ đỉnh A ,
phương trình đưịng cao BH và trung tuyến kẻ từ c là CK . Xác định tọa độ đỉnh B và c . Viết PT các cạnh của tam giác.
Phán tích. (Hình 2.12). Giáo viên hướng dần học sinh đọc kĩ đề bài, nghiên
cứu các dữ kiện bài toán đã cho và vẽ hình kèm các kí hiệu góc vng, độ dài bằng nhau nhằm dễ dàng nhìn hình, nhận biết các giả thiết bài tốn đã cho.
A
c Hình 2.12
- Cụ thể, bài toán cho biết PT đường cao BH suy ra BH _L A C , mà tọa độ điếm A đã biết. Như vậy ta hoàn toàn viết được PT đường thăng AC đi qua điếm A và vng góc với đường thẳng BH tức là đường thăng AC đi qua
A và có VTPT là VTCP của đường thẳng BH .
- Khi đã viết được PT đưòng thẳng A C, ta nhận thấy tọa độ điếm c là giao của hai ĐT AC và CK . Giải hệ hai PT ta tìm được tọa độ của điểm c .
- Mục đích tiếp theo ià tìm tọa độ điếm B , khi có điểm B thì bài toán đã coi
như giải quyết xong. Đe tìm B , ta bám vào vị trí điếm B đang thuộc đường
thẳng BH . Vì B thuộc đường thắng BH nên ta tham số hóa điểm B .
- Đe sử dụng công thức K là trung điểm của đoạn A B, ta tham số hóa điêm
K thuộc đường thẳng CK . Giải hệ ta tìm được tọa độ điếm K và B .
-T a hoàn toàn viết được PT các cạnh của tam giác.
Tóm tăt hướng giải trên băng sơ đơ sau (hình 2.12).
Ví dụ 2.23. Xác định tọa độ của các đỉnh B,c của ỀsABCbxầi A(4 ; - l ) , PT
đường cao BH : 2 x - 3y = 0 và PT đường trung tuyến CK :2x + 3y - 0.
Lời giải. Theo bài ra AC đi qua A{ 4 ;- l) và vng góc với BH : 2 x - 3 y = 0
nên phương trình cạnh AC là: 3 ( x - 4) + 2(_y + 1) = 0 hay 3x + 2 y - 1 0 = 0.
Vì AC n CK = c nên ta có
3x + 2 y - 1 0 = 0
2x + 3y - 0.
Suy ra tọa độ của điêm c ( 6 ;-4 ).
2
Giả sử B [xB\ yB) ta có: 2xẼ - 3yB = 0 nên y B = —x B . Suy ra B
\
XB’ ^ XB
XK = XA + XB y K= y Ẩ± y A do đó 4 + x t **=■ l x K -1 +
Tương đương với
2x k - x B - 4 4x k + 2x b = 3.
Suy ra tọa độ điêm B ( 1 . - 1 )
V 6
Bài toán 2. Cho tam giác, biết tọa độ một đỉnh và PT đường cao, PT đường phản giác xuất phát từ hai đỉnh còn lại. Viết PT các cạnh của tam giác đó.
Ta đặt tên cụ thể cho bài toán hai. Cho AABC biết tọa độ đỉnh A , phương trình đường cao BH và đường phân giác trong kẻ từ đỉnh c là CK . Lập PT các cạnh AB,BC,CA của tam giác.
Phản tích. Cũng như bài toán thứ nhất, ở bài toán hai vẫn cho biết tọa độ đỉnh A , phương trình đường cao BH nên ta viết được PT đường thẳng AC đi qua
A và vng góc với BH , tức là đường thẳng AC đi qua A và nhận VTCP
của đường thẳng BH làm VTPT.
- Vì điểm c là giao của hai ĐT AC và CK nên ta giải hệ hai PT tìm được
tọa độ của điêm c .
- Giáo viên hướng dẫn học sinh khai thác giả thiết bài toán cho PT đường phân giác trong CK , nên ta sử dụng tính chất liên quan đến đường phân giác
trong đó là: nếu ta gọi điêm M đối xứng với điêm A qua đường phân giác trong CK thì điêm M thuộc đường thăng BC (hình 2.13).
- Vậy ta tìm tọa độ điểm M đối xứng với điếm A qua đường phân giác trong
CK theo bài toán 2.1.3 của luận văn.
- Khi tìm được tọa độ điếm M , ta viết PT đường thắng BC đi qua điêm M
và c . Đen đây dễ dàng tìm được tọa độ điếm B , c và viết được PT các cạnh của tam giác.
Ví dụ 2.24. Cho tam giác ABC biết z?(2 ;-l), đường cao
A H : 3x - 4y + 27 = 0. Đường phân giác trong của góc c nằm trên đường thẳng A : 2 x - y + 5 = 0. Lập PT các cạnh BC,AC của tam giác, xem
[3 ;tr.l3 1].
Lời giải. Ta có BC _L AH . Vậy phương trình
Kh cạnh B C : 4 ( x - 2) + 3[y +1) = 0 hay , / ) B C : 4x + 3y - 5 = 0. \ Vì BC n A = c nên ta có ỉ / ' 1_>X Do đó tọa độ điểm c ( - l ; 3 ) .
Gọi điếm đối xứng của B qua đường phân giác C D : 2 x - y + 5 = 0 là điêm
K
Khi đó PTĐT B K : l ( x - 2 ) + 2 ( y + l) = 0 hay B K : x + 2 y = 0.
Gọi BK n CD = I suy ra / là trung điểm của đoạn BK .
Suy ra ta có hệ
Ị x + 2y - 0 [2x-_y + 5 = 0. Do đó tọa độ điểm / ( —2 ;l) .
Cho nên suy ra tọa độ điểm Ẩ '(-6 ;3 )v à điểm K thuộc đường thẳng A C .
Vậy phương trình AC chính là phương trình CK : 0(x + 6 ) - 5 ( v - 3 ) = 0 nên PT A C : y -3 = 0.
Bài toán 3: Cho tam giác, biết tọa độ một đỉnh và PT đưòng trung tuyến, PT đường phàn giác xuất phát từ hai đinh còn lại. Viết PT các cạnh của tam giác đó.
Hĩnh 2.14
Ta đặt tên cụ thể cho bài toán 3. Cho tam giác ABC biết tọa độ đỉnh A,
phương trình đường trung tuyến BM và đường phân giác trong kẻ từ đỉnh c
là CK . Tìm tọa độ các đỉnh B,c của tam giác.
Phân tích. (Hình 2.15). Cũng giống như bài toán hai, khi ta biết PT đường
phân giác trong CK và biết tọa độ điêm A , ta đi tìm tọa độ điếm E đôi xứng
với điêm A qua đường thăng CK , suy ra điêm E thuộc cạnh B C .
- Khai thác giả thiết cho PT đường trung tuyến BM , đế sử dụng công thức về trung điếm M của đoạn AC mà điếm A đã biết, ta tham số hóa điêm M
theo phương trình B M, tham số hóa điếm c theo PT đường C K . Ta hoàn tồn giải hệ và tìm được tọa độ điếm c .
- Viết PT đường thẳng BC đi qua hai điểm c và E . Từ đó ta tìm được tọa độ điếm B và dễ dàng viết được PT các cạnh của tam giác.
Tóm tăt hướng giai trên băng sơ đơ sau.
Ví dụ 2.25. Tam giác ABC biết c ( 4 ;3 ) ; đường phân giác trong và đưòng
trung tuyến của góc A là có phương trình lần lượt là A D \ x + 2 y - 5 = ữ và
A M :4x + 13_y-10 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh A,B và lập phương trình các
cạnh AB,BC,CA của tam giác.
Lời giải. (Hình 2.16). Do AD n A M = A nên ta có
ị x + 2 y - 5 = 0
[4x + 13^ -10 = 0.
Suy ra tọa độ điểm A (9 ;-2 ).
Phương trình cạnh AC là: l ( x - 4 ) + l(_y-3) = 0 hay AC :x + y - 7 = 0. Gọi điểm đối xứng với c qua phân giác AD là N . Ta có N E AB
Dễ dàng tìm được phương trình đường thắng CN là: 2x - y - 5 = 0.
Vì CN n A D = I nên ta có
Hình 2.16
Suy ra tọa độ điểm /(3 ; 1). Từ đó tìm được 7V (2;-l). Mà N e AB nên đường thắng AB có phương trình là
l ( x - 9 ) + 7 (7 + 2) = 0 hay AB :x + l y + 5 = 0. Đoạn BC có trung điêm M nên có
' _ X B + X C xb + 4
M 2 2
.. _ y B + y c = y B + 3
y„ 2 2 •
Gọi tọa độ điểm B ( x B;y g) e AB và M e AM nên ta có
X B + l y B + 5 = 0 Í * * + 4 Ì + 13( y ° + 3 ] 1 o II o V 2 J V 2 J suy ra 'X B + 1yB = ~5 4xs + 13_ys = -35. Do đó tọa độ điểm z ? (-1 2 ;l).
Bài tập tương tự.
1. Trong mặt phang Oxy cho tam giác ABC biết c(-l;3); đường trung tuyến hạ từ B có phương trình là 3x + y - 4 = 0; đường phân giác trong hạ từ đỉnh
A có PT là 4x +13y - 1 0 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh A, B của tam giác.
2. Trong mặt phang Oxỵ cho tam giác ABC biết A{A\À)\ PT đường trung
tuyến BM : 3x - 4 V +1 = 0, đường phân giác trong của góc c có phương trình CD : 3 x - 2 y + 4 = 0. Viết PT các cạnh AB, BC, CA của tam giác.
Như vậy ở các bài toán liên quan đen PT hai đường thăng bất kì trong các đưòng trung tuyến, đường phân giác trong và đường cao của tam giác, giáo viên rèn luyện cho học sinh một số kỹ năng giải bài tập như sau
- Học sinh đọc kỹ đề bài, phân tích giải thiết kết luận của bài tốn, vẽ hình tương đối chính xác, ghi các kí hiệu theo giả thiết vào hình vẽ.
- Học sinh biết cách phân tích và khai thác các dữ kiện của bài toán, cụ thê như sau
+Khi cho tam giác biết PT đường cao, giả sử đường cao BH kẻ từ đỉnh B, ta suy ra BH 1 . A C.Ta viết PT đường thẳng AC có đặc điểm đi qua một điểm và vng góc với BH tức PT đường thăng AC nhận VTCP của đường
thẳng BH làm VTPT (hình 2.17).
A
+ Khi cho tam giác biết PT đường trung tuyến, giả sử đường trung tuyến BM
kẻ từ đỉnh B , ta suy ra M là trung điếm của AC (hình 2.18).
Ta tìm cách tham sơ hóa các điêm M , A , C theo các phương trình chứa các điêm đó, sau đó sử dụng tính chât về trung điêm M
XA + x c 2 yA+yc = XM ~ yM' A Hình 2.18
+ Khi cho tam giác biết PT đường phân giác trong, giả sử đường phân giác trong BK kẻ từ đỉnh B (hình 2.19). Gọi điếm M đối xứng với điểm A qua
đường phân giác trong BK thì điêm M thuộc đường B C . Cách tìm điêm đơi xứng của một điếm qua một đường thắng được nêu ở phần 2.1.3. của luận văn.
A
Hình 2.19
- Khi học sinh đã biết cách khai thác giả thiết cho về các đường cao, đưòng trung tuyến, đường phân giác trong của tam giác thì việc tìm tọa độ các đỉnh và viết PT các cạnh của tam giác trớ nên dễ dàng.