2.3. Thiết kế bài giảng rèn luyện kỹ năng giải bài tập về phương trình đường
2.3.2. Các bài tốn về hình chữ nhậ t
Kiên thức bơ trợ. Khai thác các tính chất của hình chừ nhật A B C D(hình 2.23). + AB L BC,BC L C D , C D -L DA,DA -L AB A D + AB = CD,AD - BC. + AB / /CD; AD / /BC. + A C n B D = I , IA = IB = IC = ID. ỉ là tâm B c đổi xứng của hình. Hĩnh 2.23 + CĨ AC - BD.
Ví dụ 2.28. (ĐH - CĐ Khối A - 2009). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đề các vng góc Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có tâm /(6; 2) là giao điêm
hai đường chéo AC và B D . Đường thăng AB đi qua điêm M{ 1;5) và đường thắng + đi qua trung điếm E của cạnh C D . Viết PT đường thăng A B .
Phán tích.
- Giả thiết cho biết tọa độ tâm / của hình chừ nhật. Cho biết tọa độ điêm M
thuộc đường thang A B. Do tính chất đối xứng tâm / , ta tìm được tọa độ điêm M ' thuộc CD đơi xứng với M qua 1 (hình 2.24).
- Tham sơ hóa điêm E thuộc đường thăng A theo một ân. Do E là trung
điếm của CD nên ta có ỈE L C D hay I E Ả - E M ' , từ đó sử dụng tích vô hướng của vectơ IE và E M' ta tìm được tọa độ điếm E .
- Như vậy PT đường thắng AB đi qua điếm M và vng góc với IE hay
nhận vectơ IE làm VTPT.
Lời giải. Gọi điếm M ' đối xứng với M (l;5)qua điếm / ( 6;2), suy ra / là trung điểm M M ' . Suy ra M \ \ 1;-1) thuộc đường thẳng C D .
Gọi tọa độ điêm E thuộc đường thăng A :x + > '- 5 = 0 là E(a\ 5 - a ) .
Suy ra ỈE = ( a - 6;3 - a ) ; M 'E = (a - \ 1;6- a ) .
Vì E là trung điểm của CD nên ta có 1E _L CD hay IE _L E M '. Suy ra Ỉ E . M ' E = 0.
Khi đó (a - 6)(a -1 1 ) + (3 - a)(6 - ữ) = 0,
Suy ra l a 1 - 26ữ + 84 = 0, do đó
a - 6 a = 7.
Như vậy tọa độ điểm E (6 ;- l) hoặc E (7 ;-2 ). + Với E (6 ;-\) =>7Ẽ = (0 ;-3 ) = > A B : y - 5 = 0. + Với E(7;-2 ) => ĨẼ = (l;-4 ) => A B: X - 4 y +19 = 0.
Ví dụ 2.29. Trong mặt phang với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật A B C D .
Các đường thắng AC và AD lần lượt có PT là x + 3 j = 0 và x->> + 4 = 0.
Đi êm M
3;1 năm trên đường thăng B D . Tìm tọa độ các đỉnh B,C,D của hình chừ nhật.
Phân tích. Dễ dàng tìm được tọa độ điêm A bằng cách giải hệ PT gôm PT
đường thẳng AC và A D .
+ Bài toán này cho biết tọa độ điểm M , và biết PT đường thăng A D, do đó ta kẻ đường thẳng MN đi qua M và song song với AD và điêm N thuộc
A C . Dễ dàng viết được PT đường thẳng MN đi qua M và song song với
AD (hình 2.25).
+ Mặt khác, ta lại biết PT đường thẳng A C, vì thế ta tìm được ngay tọa độ điểm N , do AC n M N - {7V}. Giải hệ PT gồm PT đường thẳng MN và AC
ta tìm được tọa độ điếm N .
+ Ta hoàn toàn viết được PT đường thẳng d là đường trung trực của đoạn
M N , tức là ĐT d đi qua trung điểm E của MN và nhận vectơ M N làm
VTPT.
+ Theo tính chất của hình chữ nhật thì khi đường thắng d cẳt AC tại / thì /
là tâm của hình chữ nhật và khi d cắt đường thắng AD tại K thì K là trung điểm của đoạn AD .
+ Bằng cách giải hệ PT gồm PT đường thẳng d và AC hoặc AD ta tìm được
tọa độ điểm I hoặc K . Do / là trung điểm AC ta tìm được tọa độ điểm c . Do K là trung điểm của A D, ta cũng tìm được tọa độ D, và / là trung điếm của BD nên ta tìm được tọa độ điêm B .
Lời giai. Ta có A = AC n AD suy ra tọa độ điêm A là nghiệm của hệ PT
\x + 3y = 0
x - ^ + 4 = 0 nên /l(-3 ;l).
Gọi điêm N thuộc AC sao cho MN song song với A D . Suy ra PT đường thăng MN đi qua M
A - ' ,
là
MN-.X + — V +1 = 0 hay PT MN : x - y + - = 0.
3 3
Ta có N = AC n M N, suy ra tọa độ điếm N là nghiệm của hệ PT
X + 3y — 0 4 X - y + — = 0.
3 Suy ra tọa độ điểm N
í 11 \
Gọi đưịng thẳng d là đường trung trực của đoạn M N, suy ra đường thắng d
đi qua trung điểm E
3 ’ 3 của đoạn M N và vng góc với M N, tức là nhận vectơ MN - \ -3 J J ( _2 _ 2 a 3 ’ 3 làm VTPT. Ta có d 3 x + - y - = 0 hay PTĐT d : x - y = 0. Gọi / = AC n d , suy ra tọa độ điêm / là nghiệm của hệ PT
rx + 3y = 0 x - y = 0. Suy ra / (0 ;0 ).
Gọi K = A D n d , suy ra tọa độ điêm K là nghiệm của hệ PT ' x - y + 4 = 0
i x - y = 0.
Do đó K ( -2;2).
Ta có K là trung điêm của đoạn AD mà A ( -3;l) suy ra D (-l;3 ). Lại có / là trung điêm đoạn BD suy ra Z?(l;-3).
Vậy tọa độ 5 ( l;- 3 ) , c ( 3 ; - l ) , D (-l;3 ).
Bài tập tương tự.
1. Cho ABCD là hình chữ nhật có đỉnh Ẩ(2 ; - l ) . Gọi G là trọng tâm của tam
giác A B C, hình chiếu vng góc của G lên cạnh BC là //(6 ; 5), đỉnh D có
hồnh độ âm và thuộc đường thăng d \x + 2 y - 3 = Q. Tìm tọa độ đỉnh c của hình chữ nhật.
2. Cho ABCD là hình chữ nhật có AD = 2AB. Đoạn AD,BC lần lưọt có
trung điểm là M , N . Điểm AT(5; —1) đối xứng với M qua N . PT đường thẳng chứa cạnh AC là 2x + y - 3 = 0. Điểm A có tung độ dương. Gọi s là tơng các hồnh độ của bốn điểm A , B , C , D . Tìm s .