Kiểm định giả thi t tham s ế ố

D. Công th c tính xác su t ứ ấ

4.2 Kiểm định giả thi t tham s ế ố

4.2.1 Kiểm định á kì vgi trị ọng của ân phph ối chu n ẩ

i. Giả s t ng th có trung bình (k v ng) . M u có kích ử ổ ể ỳ ọ μ ẫ thước n, trung bình mẫu 𝑥, ph ng sai mươ ẫu hiệu chỉnh 2. Hãy kiểm định giảthiết H0:μ=μ0 với mức ý nghĩa α

A. Trường hợp 1:

 2 đã biết, H1:μ≠μ0

Tiêu chu n kiẩ ểm định:𝑍 =𝑋−𝜇0 √𝑛

Ta th y n u gi thuy t H ấ ế ả ế 0 đúng thì thống kê 𝑍0=𝑋−𝜇0 √𝑛 có phân ph i chuố ẩn N(0; 1), đồng thời X là một ước lượng không ch ch cho . ệ μ

Từ ta có quy t c kiđó ắ ểm định sau :

Tìm 𝑍𝛼 từ h ệthức 2𝛷 𝑍( 𝛼) = 1 − 𝛼

Nếu 𝑍0≤ 𝑍𝛼, thì chấp nhận H. Nếu 𝑍0> 𝑍𝛼 ì bác b H th ỏ

Nếu giá tr ị đó thuộc vào mi n tiêu chu n thì ta bác b ề ẩ ỏgiả thuy t, k t lu n k v ng ế ế ậ ỳ ọ

của bi n X th c s khác ế ự ự μ0. Ngượ ại, n u giá trc l ế ị đó nằm trong mi n ề chấp nhận

thì ph i k t lu n k v ng c a X không khác mả ế ậ ỳ ọ ủ μ0 ột cách có ý nghĩa.

+Ví d : ụ

Điểm trung bình n m nay c a 100 h c sinh là 5.9 ă ủ ọ điểm tốn cuối kì, có lđộ ệch

chuẩn là 1.21. Điểm trung bì mnh ới v a ừ thay đổ để đại t danh hiệu thi đua c a mơn ủ

tốn n m ngo là 5.72. V i mă ái ớ ức ý ngh a 1% có ĩ phả điểi m trung b h n m nay có ìn ă đạt tiêu chu n năm ngo ông? ẩ ái kh

Giải: Gi ảthiết H0:μ=μ0 =5.72 ( điểm n m naă y bằng năm trước)

2𝛷 𝑍( 𝛼) = 1 − 𝛼 = 1 − 0. => 𝑍01 𝛼= 2.58 𝑍0=|𝑋 − 𝜇 0|√𝑛 =|5.9 − 5.72|1.21 √100 = 1.49

Vì 𝑍0< 𝑍𝛼 nên ch p ấ nhận H 0. Vậy điểm mơn tốn n m nay không cao h n nă ơ ăm trước với mức ý ngh a ĩ 1%, nên không đạt được êu chu n nh n danh hi u thi ua. ti ẩ ậ ệ đ

B.Trường hợp 2  2 đã biết, H1:μ>μ0

Tiêu chu n kiẩ ểm định:𝑍 =𝑋−𝜇0 √𝑛

Ta th y n u gi thuy t H ấ ế ả ế 0 đúng thì thống kê 𝑍0=𝑋−𝜇0 √𝑛 có phân ph i chuố ẩn N(0; 1), đồng thời X là một ước lượng không ch ch cho . ệ μ

Từ ta có quy t c kiđó ắ ểm định sau : 𝑃 (𝑋 − 𝜇0 √𝑛 > 𝑍𝛼) = 1 − 𝛼 Tìm 𝑍𝛼 từ h ệthức 2𝛷 𝑍( 𝛼) = 1 − 𝛼 Nếu 𝑍0> 𝑍𝛼 ì th chấp nhận H. C.Trường hợp 3  2 đã biết, H1:μ<μ0 Tiêu chu n kiẩ ểm định:𝑍 =𝑋−𝜇0 √𝑛

Ta th y n u gi thuy t H ấ ế ả ế 0 đúng thì thống kê 𝑍0=𝑋−𝜇0 √𝑛 có phân ph i chuố ẩn N(0; 1), đồng thời X là một ước lượng không ch ch cho . ệ μ

Từ ta có quy t c kiđó ắ ểm định sau :

𝑃 (𝑋 − 𝜇0 √𝑛 < 𝑍𝛼) = 1 − 𝛼

Tìm 𝑍𝛼 từ h ệthức 2𝛷 𝑍( 𝛼) = 1 − 𝛼

Nếu 𝑍0> 𝑍𝛼 ì bác b H th ỏ

ii. Giả s t ng th có trung bình (kử ổ ể ỳ vọng) μ. Mẫu có kích thước n, trung bình mẫu 𝑥, phương sai mẫu hiệu chỉnh 2 chưa biết. Hãy kiểm định

giả thiết H0:μ=μ0 v i mứớ c ý nghĩa α

 2 chưa biết, H1:μ≠μ0

Tiêu chu n kiẩ ểm định:𝑇 =𝑋−𝜇0

 √𝑛

Ta th y n u gi thuy t H ấ ế ả ế 0 đúng thì thống kê 𝑇0=𝑋−𝜇0 √𝑛 có phân ph i Student ố

T(n-1), đồng thời X là một ước lượng không ch ch cho . ệ μ

Từ ta có quy t c kiđó ắ ểm định sau :

𝑃 (|𝑋 − 𝜇0| √𝑛 ≤ 𝑇𝛼(𝑛 − 1) = 1 − 𝛼)

Tìm 𝑇𝛼 t bừ ảng phân ph i Student ố

Nếu 𝑇0≤ 𝑇𝛼, thì chấp nhận H. Nếu 𝑇0> 𝑇𝛼 ì bác b H th ỏ

+Ví d : ụ

Một vưịn ươm cây gi ng, theo quy ố định khi n cây cao trung bình trên 1m thì ào

đem ra tr ng. ồ Đongẫu nhiên 25 cây, đượ ốc s liệu:

Chiều cao 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3

Số c ây 1 2 9 7 4 2

Với mức ý nghĩa 5%, có thể em cây ra trđ ồng khơng, g i thi t chi u cao c a câả ế ề ủ y theo lu t phân ph i chuậ ố ẩn.

Giải:

Gọi à chiμ l ều cao trung bình c a câủ y trong vườn. Từ mẫu ta có:

-𝑇𝛼= 𝑇0.05(24) = 2.064

-𝑇0=|1.068 |−1

0.122 √25 = 2.787

Vì 𝑇0> 𝑇𝛼 ì bác b H, nên ta k t th ỏ ế luận nên đem c ra trây ồng

B.Trường hợp 2  2 chưa biết, H1:μ>μ0

Tiêu chu n kiẩ ểm định:𝑇 =𝑋−𝜇0 √𝑛

Ta th y n u gi thuy t H ấ ế ả ế 0 đúng thì thống kê 𝑇0=𝑋−𝜇0 √𝑛 có phân ph i Student ố

T(n-1), đồng thời X là một ước lượng không ch ch cho . ệ μ

Từ ta có quy t c kiđó ắ ểm định sau : 𝑃 (𝑋 − 𝜇0 √𝑛 > 𝑇𝛼(𝑛 − 1) = 1 − 𝛼) Tìm 𝑇𝛼 t bừ ảng phân ph i Student ố Nếu 𝑇0> 𝑇𝛼, thì chấp nhận H. C. Trường hợp 3  2 chưa biết, H1:μ<μ0 Tiêu chu n kiẩ ểm định:𝑇 =𝑋−𝜇0 √𝑛

Ta th y n u gi thuy t H ấ ế ả ế 0 đúng thì thống kê 𝑇0=𝑋−𝜇0 √𝑛 có phân ph i Student ố

Từ ta có quy t c kiđó ắ ểm định sau :

𝑃 (𝑋 − 𝜇0 √𝑛 < 𝑇𝛼(𝑛 − 1) = 1 − 𝛼) Tìm 𝑇𝛼 t bừ ảng phân ph i Student ố

Nếu 𝑇0> 𝑇𝛼, thì bác b H. ỏ

4.2.2 Kiểm định so sánh hai trung bình

Cho hai bi n ngế ẫu nhiên độ ập X v Y, trong đó X có phân phốc l i chuẩn 𝑁(𝜇1; 𝜎12) mẫu kích thước n1,biến Y có phân ph i chuố ẩn 𝑁(𝜇 ; 𝜎2 22) m u kí ẫ ch thước n . Ta có 2 giả thi t Hế 0:𝜇1= 𝜇2, ta có các d ng b toán: ạ ài

i. Trường hợp 𝜎12; 𝜎22 đãbiết: chia th h 3 i thuy t Hàn đố ế 1:μ1>μ2 ;H1:μ1<μ2

;H1:μ1≠μ2

Ta có quy t c kiắ ểm định như sau:

Tìm 𝑍𝛼 từ h ệthức 2𝛷 𝑍( 𝛼) = 1 − 𝛼;Tính th ng kê ố 𝑍𝛼= |𝑋 − 𝑌| √𝜎12 𝑛1+ 𝜎2 2 𝑛2 Nếu 𝑍0≤ 𝑍𝛼, thì chấp nhận H. Nếu 𝑍0> 𝑍𝛼 ì bác b H th ỏ

ii. Trường h p ợ 𝜎12; 𝜎22chưabiết: chia th h 3 i thuy t Hàn đố ế 1:μ1>μ2

- Trong th ng kê, bài toán Behrens-ố Fisher, được đặt theo tên của Walter Behrens v Ronald Fisher, l bi toán ước lượng khoảng thời gian và kiểm định giả thuyết liên quan đến sự khác biệt gi a giá trị trung bình c a hai ữ ủ

quần th phân b chuể ố ẩn khi phương sai của hai qu n thầ ể không được gi ả định là b ng nhau , d a trên hai mằ ự ẫu độc lập.

- Các gi i pháp cho vả ấn đề Behrens-Fisher đã được trình bày sử dụng quan điểm cổ điển hoặc suy luận Bayes và một trong hai gi i pháp s không hợp ả ẽ

lệ v m t hình thề ặ ức được đánh giá theo quan điểm khác. N u vi c xem xét ế ệ

chỉ bị giới h n trong suy lu n th ng kê cạ ậ ố ổ điển, thì có th tìm ki m các giể ế ải

pháp cho vấn đề suy lu n d áp dậ ễ ụng theo nghĩa thự ế, ưu tiên sự đơn giản c t

ny hơn bất kỳ sự khơng chính xác nào trong các câu xác suất tươngứng.

Khi yêu cầu độ chính xác c a các mủ ức ý nghĩa của các th nghi m th ng kê, ử ệ ố

có th có yêu c u b sung r ng th t c ph i s d ng tể ầ ổ ằ ủ ụ ả ử ụ ối đa thông tin thống kê

trong t p dậ ữ liệu. Ai cũng biế ằt r ng có thể đạt được m t th nghi m chính ộ ử ệ

xác b ng cách lo i bằ ạ ỏ ngẫu nhiên dữ liệ ừ ậu t t p dữ liệ ớn hơn cho đếu l n khi

các kích thước mẫu bằng nhau, tập hợp dữ liệu theo từng cặp và lấy chênh

lệch, sau đó sử dụng phân phối Student thơng thường để kiểm tra sự độ

chênh lệch giữa hai k v ng bỳ ọ ằng 0 rõ rng điều này s không ẽ phải là "tối ưu" theo bất kỳ nghĩa no.

- Nhiệm vụ chỉ định ước lượng khoảng thời gian cho vấn đề này là một nhiệm vụ mà cách ti p c n theo suy lu n Frenquentist không cung c p gi i pháp ế ậ ậ ấ ả

chính xác, m c dù có s n mặ ẵ ột số phép gần đúng. Các phương pháp tiếp c n ậ

Bayes tiêu chuẩn cũng khơng đưa ra được câu tr l i có thả ờ ể được bi u th ể ị dưới dạng các công thức đơn giản, nhưng các phương pháp tính tốn hiện đại của phân tích Bayes cho phép tìm ra các gi i pháp chính xác vả ề cơ bản. giữa phương pháp tiếp cận thường xuyên v Bayes để ước lượng khoảng thời gian.

Ta có quy t c kiắ ểm định như sau: Tìm 𝑇𝛼= 𝑇𝛼/2(𝑛1+ 𝑛2− 2) t b ng phân ph i Student ừ ả ố Tính th ng kê ố 𝑇0= |𝑋−𝑌| √𝜎12𝑛1+𝑛2𝜎22 Nếu 𝑇0≤ 𝑇𝛼, thì chấp nhận H. Nếu 𝑇0> 𝑇𝛼 ì bác b H th ỏ +Ví d : ụ

Có hai ph ng pháp s n ươ ả xuất . Ph ng án 1ươ thử 6 m u thì trung bình c n 2.5 ẫ ầ

nguyên liệu,với phương sai là 0.1. Phương án 2 thử 5 m u thì trung bình c n 3.3 ẫ ầ

nguyên li u , v i ệ ớ phương sai là 195. C n 0. ầ chọn ph ng án nào phù h p, v i mươ ợ ớ ức

ý ngh a 0.05? ĩ

Giải: H0:𝜇1= 𝜇2(số trung bình các đơn v nguyên li u c n thi t s n xu t ra ị ệ ầ ế để ả ấ

một s n ph m c a hai ph ng pháp là bả ẩ ủ ươ ằng nhau) -𝑇𝛼= 𝑇0.025(9) = 2.26

-𝑇0= |2.5−3.3|

√0.16+0.1955 = 3.39

Vì 𝑇0> 𝑇𝛼 thì bác b H, nêỏ n số trung bình các đơn vị nguyên li u s n xu t ra ệ để ả ấ

một s n ph m là ông bả ẩ kh ằng nhau

4.2.3 Kiểm định phương sai

A.Kiểm định phương sai (A chi-square test)

i. Phép th ử chi bình phương (Cochran, 1989)có th ể đượ ử ụng đểc s d kiểm

tra xem phương sai của một tập h p có b ng m t giá tr ợ ằ ộ ị xác định hay khơng. Th nghi m này có th là th nghi m hai phía ho c th nghiử ệ ể ử ệ ặ ử ệm

một phía. ép thPh ử hai ph ía kiểm tra phương án thay thế ằng phương sai r thực nhỏ hơn hoặ ớn hơn giá trịc l được ch nh. ỉ đị Phép thử ộ m t phía ch ỉ

kiểm tra theo một hướng. Vi c l a ch n ki m tra hai phía hay m t phía là ệ ự ọ ể ộ

do vấn đề quyết định.

ii. Giả s t ng th có ử ổ ể phân ph i chu n, ph ng sai , M u có kích ố ẩ ươ 2 ẫ thước n, trung bình mẫu n, phương sai mẫu hi u ệ chỉnh s2. Hãy kiểm định giảthiết H0:=0 v i mớ ức ý nghĩ αa Nếu H đúng thì:(Huy, 2019) (𝑛 − 1 𝑆) 2 𝜎12 ~𝝌𝟐(𝒏 − 𝟏) 𝑃 (𝝌𝟐 𝟏−𝜶𝟐(𝒏 − 𝟏) ≤(𝑛 − 1)𝑆𝜎 2 02 ≤ 𝝌𝟐𝜶 𝟐(𝒏 − 𝟏 ) = 𝟏 − 𝜶) Từ ta có quy t c kiđó ắ ểm định: Tìm 𝝌𝟐𝜶 𝟐(𝒏 − 𝟏) và 𝝌𝟐 𝟏−𝜶𝟐(𝒏 − 𝟏) từ b ng phân ph i ả ố 𝝌𝟐 Tính th ng kê ố 𝜒2=(𝑛−1)𝑆𝜎02 2 Nếu 𝜒2 1−𝛼2< 𝜒2< 𝜒2 𝛼 2 thì ch p nhấ ận H; Nếu 𝜒2 1−𝛼2> 𝜒2ℎ𝑜ặ𝑐𝜒2> 𝜒2 𝛼 2 thì bác b H ỏ +Ví d : ụ

Một ki m tra chi-ể bình phương đã được thực hiện cho t p d ậ ữliệu. Phương sai quan

là 0,0063). Chúng tôi s ẽkiểm tra gi thuy t r ng v i ân phả ế ỗ ớ ph ối chuẩn v i ớ phương

sai th c b ng 0,01 và mự ằ ức ý ngh a là 5%. ĩ

Giải: G i Họ 0: = 0 =0.01( giả thi t ế phương sai hi n t i bệ ạ ằng phương sai thực)

Ta có N-1=99, α=0.05 Cận dưới 𝜒2𝛼

2(𝑛 − 1) = 73 361. ;Cận trên, 𝜒2

1−𝛼2(𝑛 − 1) = 128.422  𝜒2=(𝑛−1)𝑆𝜎02 2=99×0.000039690.01 = 0.393

 Giá tr ịthống kê kiểm định 0,393 nh ỏ hơn nhiều so với giá tr t i h n thị ớ ạ ấp hơn, vì vậy chúng tơi bác b ỏgiả thuyết không và k t lu n rế ậ ằng phương sai

không b ng 0,01. ằ

B.So sánh phương sai ( F-test)

Cho hai bi n ngế ẫu nhiên độc lập X v Y, trong đó X có phân phối chuẩn

𝑐ó 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑠𝑎𝑖 𝜎12 mẫu kích th c n , bi n Y có phân phướ 1 ế ối chuẩn

𝑐ó 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑠𝑎𝑖 𝜎22 m u kích ẫ thước n . Ta có 2 giả thiết H0:𝜎1= 𝜎2

Xét th ng kê ố : 𝐹 =𝑆1𝑆222Khi đó thống kê F có phân ph i Fisher v i n -1 và n -1 bố ớ 1 2 ậc

tự do, n u gi thuy t H ế ả ế 0l đúng thì: