Định nghĩa quy hoạch tuyến tính

D. Công th c tính xác su t ứ ấ

B. Trườ ng h p có nh ng tham s ợ ữ ố chưa biế t

5.1 Định nghĩa quy hoạch tuyến tính

Bài tốn quy ho ch tuy n tínhạ ế tổng quá được phát biểu như sau:

Min{f(x) = c,x | xD },

Trong đó c = (c1, c2,...,cn)T  R là tn ập lồi đa diện được xác định bởi hệ phương

trình và bất phương trình tuyến tính

ai1x1 +ai2x2 +...+ainxn = b , i Li  1 ai1x1 +ai2x2 +...+ainxn = b , i L i  2 ai1x1 +ai2x2 +...+ainxn = b , i L i  3

trong đó L1  L2 L = { 1, 2,...,l} là t3 ập các chỉ số, các hệ số a và b , i = 1,...,l, ij i j = 1,...,n là các h ng s ằ ố cho trước.

Nhắc l i r ng, trong bài toán trên, ta g i ạ ằ ọ

f(x) = c,x = c1x1 +...+cnxn là hàm m c tiêu;ụ

c , j = 1,...,n j là các h s cệ ố ủa hàm mục tiêu; x , j = 1,...,n j là xác biến;

ai,x = (, ) b , i = 1,...,l i là các ràng buộc;

Tập lồi đa diện D được gọi tập nghi m chệ ấp nhận được hay tập ràng buộc. Mỗi điểm xD được g i là mọ ột nghiệm ch p nhấ ận được hay một phương án chấp

f(x*) = c,x* f(x) =  c,x v i mớ ọi x D 

được g i là ọ nghiệm tối ưu hoặc phương án tối ưu hay lời gi i c a bài toánả ủ . Giá tr ị

tối ưu của bi toán ny được ký hi u là min {ệ c,x | xD}

Ta nói phương án 𝑥 = 𝑥( 1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛)𝑇 thỏa mã ch t ràng buặ ộc i0, i0 {1,...,l} n u  ế

∑ 𝑎 𝑥𝑖0𝑗 𝑗= 𝑏𝑖0

𝑛 𝑗=1

Một phương án thỏa mãn chặt n ràng buộc độc lập tuyến tính được gọi là một phương án cực biên. Phương án cực biên thỏa mãn chặt đúng n rng buộc được gọi là phương án cực biên không suy biến; th a m n chỏ ẵ ặt hơn n rng buộc g i là ọ

phương án cực biên suy biến.

5.2 Sự t n tồ ại nghiệm v tnh chất tập nghiệm quy hoạch tuyến tnh

5.2.1 Sự t n tồ ại nghi m ệ

Các bài toán quy ho ch tuy n tính ln có nhi u kh nạ ế ề ả ăng để ự l a ch n. Ví dọ ụ như

một cơng ty phát triển kinh doanh nhà có kế hoạc xây dựng ba kiêu nhà, có thể sử

dụng quy hoạch tuyến tính để quyết định xây dựng bao nhiêu mét vuông nhà mỗi kiểu trong iều ki n di n tích t, vđ ệ ệ đấ ốn đầ ưu t và n ng l c thi công bă ự ị giới h n. Nêạ n chăng chỉ xây d ngự toàn bộ kiểu nhà A? Hay xây dựng c ba kiêu r nhà có ả diện

tích bằng nhau? Hay xây dựng nh à mỗi kiểu sao cho t n dậ ụng h t toàn b ế ộdiện tích

đất và n ng l c thi cơng? Nói tóm lại, muă ự ốn tìm đượ ời gi i của một bài toán t i c l ả ố ưu, trước hết ta phải có cách no đó nhận biết được xem nghiệm ấy có tồn tại hay

khơng đã rồi mới đưa ra cách để tìm nó.

Ta bi t trong bài tốn tế ối ưu có hai đối tượng quan trọng: Tập ràng bu c và hàm ộ

mục tiêu xác định trên tập đó. Vì thế khi ta xét đến điều kiện để ồ ạ t n t i nghi m tệ ối ưu, ta phải quan tâm đến các điều ki n, tính ch t cệ ấ ủa hai đối tượng ấy.

Ví d , trong gi i tích c ụ ả ổ điển,định lý Weierstrass khẳng định r ng mằ ột hàm liên

tục trên một t p compact hay m r ng là m t hàm n a liên tậ ở ộ ộ ử ục dưới trên một tập

compact khác rỗng bao gi ờ cũng đạt trên tập compact giá tr l n nh t và giá tr ị ớ ấ ịnhỏ nhất . Nói cách khác, một bài tốn tối ưu có d ữkiện như vậy bao gi ờ cũng có

nghiệm tối ưu. Đối v i bài toán tớ ối ưu trơn, nếu một điểm no đó thuộc ph n trong ầ

của mi n nghi m tề ệ ối ưu thì đạo hàm của hàm s tố ại điểm ấy ph i bả ằng không. Điều

kiện như vậy được gọi l điều ki n c n tệ ầ ối ưu. Vậy muốn tìm nghiệm tối ưu của bài tốn này, ta ch c n tìm trên t p con c a mi n ràng buỉ ầ ậ ủ ề ộc m trên đó đạo hàm của

hàm s tri t tiêu. T i nhố ệ ạ ững điểm này mà ta s d ng nhử ụ ững điều ki n liên quan tệ ới đạo hàm bậc nhất để suy ra hm đạt giá trị tối ưu thì những điều kiện đó được gọi l điều kiện đủ ối ưu cấ t p một. Tiếp theo, nếu hàm s ố có đạo hàm b c hai và tậ ại

những điểm c a tủ ập con ny, đạo hàm bậc hai dương chặt (ho c âm chặ ặt) thì điểm ấy chính là nghi m tệ ối ưu của bi toán. Điều kiện ny được gọi l điều kiệu tối ưu cấp hai.

Xét bài tốn quy ho ch tuy n tính tạ ế ổng quát

min 𝑐, 𝑥 𝑥 ∈ 𝐷{〈 〉| }, (𝐿𝑃)

trong đó 𝑐 ∈ ℝ𝑛 và 𝐷 ⊂ ℝ𝑛 là tập lồi đa diện khác rỗng.

Định lý 1.1. Nếu tập nghi m ch p nhệ ấ ận được D khác r ng và bỗ ị chặn thì bài tốn quy ho ch tuy n tính (LP) ln có nghi m tạ ế ệ ối ưu.

Chứng minh. Theo định nghĩa, tậ ồi đa diệp l n là tập đóng. Thêm tính bị chặn nên ta có là t p compac. Hàm tuy n tính là hàm liên tD ậ ế ục. Theo Định lý

Trong trường h p t p nghi m ch p nhợ ậ ệ ấ ận được D khác r ng và không bỗ ị chặn, bài tồn (LP) có th khơng có nghi m. Tuy nhiên, n u hàm m c tiêu ể ệ ế ụ 𝑓(𝑥) = 〈 〉𝑐, 𝑥 bị chặn dưới trên thì bài tốn D (LP) ln có nghiêm tối ưu.

Định lý 5.2. Nếu tập ch p nhấ ận được D khác rỗng và hàm m c tiêu ụ 𝑓(𝑥) = 〈 〉𝑐, 𝑥

bị chặn dưới tên D thì bài tốn quy ho ch tuy n tính (LP) ln có nghi m tạ ế ệ ối ưu.

Chứng minh.Vì m i quy hoọ ạch tuyến tính đều có thể chuyển về d ng chu n t c ạ ẩ ắ

hoặc chính t c nên khơng gi m t ng qt ta gi thi t lắ ả ổ ả ế ập D có đỉnh. Theo Định lý biểu di n tập lễ ồi đa diện, b t kì ấ 𝑥 ∈ 𝐷 u có th đề ể được bi u diể ễn dưới dạng

𝑥 = ∑ 𝜆𝑁 𝑖𝑣𝑖 𝑖=1 + ∑ 𝜇𝑀𝑗𝑑𝑗 𝑗=1 , (1) 𝜆𝑖≥ 0, 𝑖 = 1, … , 𝑁, 𝜇𝑗≥ 0, 𝑗 = 1, … , 𝑀, ∑ 𝜆𝑖 𝑁 𝑖=1 = 1

trong đó 𝑣1, … , 𝑣𝑁l các đỉnh và 𝑑1, … , 𝑑𝑀l các phương cực biên của D. Do hàm mục tiêu 𝑓(𝑥) = 〈 〉𝑐, 𝑥 b ịchặn dưới trên D nên

〈𝑐, 𝑑𝑗〉 ≥ 0 ∀𝑑𝑗, 𝑗 = 1, … , 𝑀. (2) Thật v y, gi s t n tậ ả ử ồ ại 𝑗0∈ {1, … , 𝑀} sao cho 〈𝑐, 𝑑𝑗0〉 < 0. Vì d j0 là một phương cực biên nên

𝑥 + 𝑡𝑑𝑗0∈ 𝐷 ∀𝑥 ∈ 𝐷, ∀𝑡 ≥ 0 và

〈𝑐, 𝑥 + 𝑡𝑑𝑗0〉 = 〈𝑐, 𝑥〉 + 𝑡 𝑐, 𝑑〈 𝑗0〉 → −∞ 𝑘ℎ𝑖 𝑡 → +∞

Điều này mâu thu n với tính bị chặn dưới của hàm ẫ 𝑓(𝑥) = 〈𝑐, 𝑥〉 và chứng tỏ

Chọn một đỉnh 𝑣𝑖0 của D sao cho 〈𝑐, 𝑣𝑖0〉 = min {〈𝑐, 𝑣𝑖0〉|𝑖 = 1, … , 𝑁}. Theo (1) và (2), v i b t kớ ấ ỳ 𝑥 ∈ 𝐷, ta có 〈𝑐, 𝑥〉 = ∑ 𝜆𝑖〈𝑐, 𝑣𝑖〉 𝑁 𝑖=1 + ∑ 𝜇𝑗〈𝑐, 𝑑𝑗〉 𝑀 𝑗=1 ≥ ∑ 𝜆𝑖〈𝑐, 𝑣𝑖〉 𝑁 𝑖=1 ≥ ∑ 𝜆𝑖〈𝑐, 𝑣𝑖0〉 = 𝑁 𝑖=1 〈𝑐, 𝑣𝑖0〉

Điều đó chứng tỏ 𝑣𝑖0 là nghi m tệ ối ưu của bài toán (LP).

Chú ý 5.2. K t lu n cế ậ ủa Định lý 5.2 nói chung khơng cịn đúng đố ới v i bài toán phi tuy n. Ví dế ụ:

i) Bài tốn

inf {𝑓(𝑥) = 𝑥2|𝑥 ∈ 𝐷},

trong đó 𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ |𝑥2

1𝑥2≥ 1, 𝑥1, 𝑥2≥ 0}, có hàm m c tiêu là tuy n tính và b ụ ế ị

chặn dưới bởi 0. Tập nghiệm chấp nhận được D là t p l i khác rậ ồ ỗng nhưng không

phải t p lậ ồi đa diện. Đây không phải là bài tốn quy ho ch tuy n tính và dạ ế ễ thấy, 𝑥 = (𝑥1, 0)𝑇∉ 𝐷 v i mớ ọi 𝑥1≥ 0. Vì th bài tốn này khơng có nghi m tế ệ ối ưu

(Xem Hình 3.1(a)) và inf 𝑓(𝐷)= 0; ii) Bài tốn

min{𝑓(𝑥)= 𝑒 |𝑥 ∈ 𝐷𝑥 },

trong đó 𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≤ 0}, có tập chấp nhận được là tập lồi đa diện nhưng hm

mục tiêu là phi tuyến v cũng bị chặn dướ ởi 0. Rõ rng cũng không tồ ại b n t i một điểm 𝑥 ∈ 𝐷 để𝑒𝑥= 0 và bài toán này khơng có nghiệm tối ưu (Xem Hình 3.1(b)), giá tr tị ối ưu inf 𝑓(𝐷)= 0.

5.2.2 Tính ch t tấ ập nghi m ệ

Định lý 5.3. Nếu bài toán quy hoạch tuyến tính (LP) có nghi m tệ ối ưu th ập ì t nghiệm tối ưu của nó là m t di n c a t p lộ ệ ủ ậ ồi đa diện ch p nhấ ận được.

Chứng minh. Nhắc l i, tạ ập con l i khác rỗng ồ 𝐹 ⊂ 𝐷được gọi là một di n của t p ệ ậ

lồi đa diện D n u ế

𝑦, 𝑧 ∈ 𝐷 𝑣à 𝑥 ∈ 𝐹, 𝑥 = 𝜆𝑦 + (1 − 𝜆 𝑧, 0 < 𝜆 < 1 ⟹ 𝑦 ∈ 𝐹, 𝑧 ∈ 𝐹) Ký hi u t p nghi m tệ ậ ệ ối ưu của bài toàn (LP) là 𝐹∗= 𝑎𝑟𝑐𝑚𝑖𝑛{ 𝑐, 𝑥 |𝑥 ∈ 𝐷}〈 〉 . Cho 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐷, 𝑥 ∈ 𝐹∗ với , 𝑥 =𝜆𝑦 + (1 − 𝜆)𝑧 và 0 < 𝜆 < 1. Ta ph i ch ng minh ả ứ

𝑦 ∈ 𝐹∗, 𝑧 ∈ 𝐹∗. Gi s ả ử〈𝑐, 𝑦〉 ≥ 𝑐, 𝑧〈 〉. Khi đó

〈𝑐, 𝑥〉 = 𝜆 𝑐, 𝑦〉 + (1 − 𝜆 𝑐, 𝑧〉 ≥ 𝜆 𝑐, 𝑧〉 + (1 − 𝜆 𝑐, 𝑧〉 = 𝑐, 𝑧 . (3)〈 )〈 〈 )〈 〈 〉 Vì 𝑧 ∈ 𝐷 và 𝑥 ∈ 𝐹∗, tức x là một nghiệm tối ưu của bài toán (LP), nên

〈𝑐, 𝑥〉 ≤ 𝑐, 𝑧 . (4)〈 〉 Từ (3) và (4) suy ra 〈𝑐, 𝑥〉 = 𝑐, 𝑧〈 〉, hay 𝑧 ∈ 𝐹∗. Hơn nữa ta có

Do đó 〈𝑐, 𝑦〉 = 𝑐, 𝑥〈 〉. hay 𝑦 ∈ 𝐹∗. Theo định nghĩa, 𝐹∗ là m t diộ ện của D.

Hệ quả 1.1 Nếu một quy ho ch tuy n tính có nghiạ ế ệm tối ưu và tập lồi đa diện

ràng buộc có đỉnh thì nghi m tệ ối ưu phải đạ ạt t i ít nh t mấ ột đỉnh, tức đạ ạt t i ít nhất

một phương án cực biên.

Chứng minh.Theo định nghĩa, phương án cực biên chính là một đỉnh của tập lồi đa

diện ch p nhấ ận được của bài tốn quy ho ch tuyến tính. H ạ ệquả được suy tr c tiự ếp

từ nh lý 5.3 và s Đị ựkiện l đỉnh của một diễn c a mủ ột t p lậ ồi đa diện cũng chính l đỉnh của t p lồi đa diện đó (Hệ quả 5.3). ậ

Định lý 5.4. Nếu x là nghi m t* ệ ối ưu địa phương của bài toán quy ho ch tuy n tính ạ ế

(LP) thì x *cũng là nghiệm tối ưu toàn cục. Chứng minh.

Giả sử 𝑥∗∈ 𝐷 là nghi m tệ ối ưu địa phương cả bài toán (LP). Thẹo định nghĩa, tồn tại một hình c u mầ ở 𝐵(𝑥 , 𝜀)∗ sao cho

〈𝑐, 𝑥∗〉 ≤ 〈 〉𝑐, 𝑥 ∀𝑥 ∈ 𝐵(𝑥∗, 𝜀) ∩ 𝐷.

Giả sử phản ch ng r ng x không ph i nghi m tứ ằ * ả ệ ối ưu ton cục c a bài toán (LP). ủ

tức t n tồ ại 𝑥 ∈ 𝐷 tho mãn ả 〈𝑐, 𝑥〉 < 〈𝑐, 𝑥∗〉. Do D là t p lậ ồi đa diện nên nó ch a c ứ ả đoạn th ng nối ẳ 𝑥∗ và 𝑥. Lấy điểm x n0 ằm trong đoạn th ng này và ẳ 𝑥0∈ 𝐵(𝑥∗, 𝜀), tức 𝑥0= 𝜆𝑥∗+ (1 − 𝜆)𝑥 𝑣ớ𝑖 0 < 𝜆 < 1. Ta có

〈𝑐, 𝑥0〉 = 𝜆 𝑐, 𝑥〈 ∗〉 + (1 − 𝜆 𝑐, 𝑥 < 𝜆 𝑐, 𝑥)〈 〉 〈 ∗〉 + (1 − 𝜆 𝑐, 𝑥)〈 ∗〉 = 〈𝑐, 𝑥∗〉.

Điều này mâu thu n v i tính c c tiẫ ớ ự ểu đia phương của x* và ch ng t ứ ỏgiảthiết phản

chứng là sai.

5.3 Giải bài tốn quy ho ch tuy n tính hai bi n bạ ế ế ằng phương pháp hình

học

Một bài tốn lập trình tuy n tính ch có hai bi n trình bày mế ỉ ế ột trường hợp đơn giản giải pháp có th ể thu được b ng cách s d ng mằ ử ụ ột phương pháp hình học khá cơ

bản. Riêng bi t t ệ ừgiải pháp, phương pháp đồ ọa đưa ra mộ h t bức tranh vật lý về hình h c nhọ ất định đặc điểm c a các bài tốn l p trình tuy n tính. Ví d ủ ậ ế ụ sau được

coi là minh hđể ọa phương pháp đồ ọ h a của giải pháp.(Lan, 2015)

+Ví d : ụ

Một lò g m hàng ng s n xu t hai m t hàng cao cố ày ả ấ ặ ấp là ôn sđ ứ Đ( ) và bình bơng (B). Sản lượng được gi i h n là t s ớ ạ đấ ét trắng và s ốthợ lành nghề. Số đát s và s ét ố lao động hàng ngày đưuọc cung c p lấ ần lượt là 240kg và 100 giờ. Để m được đôn là sứ, cần 4kg đôn sứ và 2 gi côờ ng lao động. Để là được bình bơng cần 3kh đất s ét và 1 gi công. ờ Đơn giá cho n s là đơ ứ 70000 đồng và bìn bơng là 50000 đồng. Vậy