D. Công th c tính xác su tứ ấ
B. Trường hp có nh ng tham ữố chưa biết
4.4.1 Bảng tương quan
Trong th ng kê, b ng t ng quan ố ả ươ (còn được g i là b ng chéo ho c b ng chéo) là ọ ả ặ ả
một lo i bạ ảng ởđịnh dạng ma tr n hiậ ển thị phân b tố ần suất (đa biến) c a các bi n. ủ ế Chúng được sử dụng nhiều trong nghiên cứu khảo sát, kinh doanh thông minh, kỹ
thuật và nghiên cứu khoa h c. Chúng cung c p m t bọ ấ ộ ức tranh cơ bản v mề ối tương
quan gi a hai bi n và có th giúp tìm ra mữ ế ể ối tương tác giữa chúng. B ng thu t ng ả ậ ữ
tương quan lần đầu tiên được s d ng b i Karl Pearson trong "On the Theory of ử ụ ở
Contingency and Its Relation to Association and Normal Correlation"(Karl Pearson, 1904), m t ph n c a lo t bài sinh tr c h c h i ký nghiên c u công ty cộ ầ ủ ạ ắ ọ ồ ứ ủa Drapers 'xu t bấ ản năm 1904.
+Ví d : ụ
Màu t óc Tổng số
Sáng Tối
Màu long mày Sáng 30.472 3.238 33.71
Tối 3.364 9.468 112.832
Tổng 33.836 12.706 46.542
Số lần xuất hiện người có màu long mày sáng ho c tặ ối, có màu tóc sáng ho c t i ặ ố được gọi là t ng s c n biên. T ng s ng s ổ ố ậ ổ ố(tổ ố cá nhân được đại diện trong b ng ả
tương quan) là s ố ở góc dưới cùng bên ph ải.
Bảng cho phép người dùng nhìn thoáng qua r ng t l có màu tóc t i ằ ỷ ệ ố tương đương
với t l ỷ ệ người có màu long mày t i m c dù t l này không giố ặ ỷ ệ ống nhau. . Ý nghĩa
của s khác bi t gi a hai tự ệ ữ ỷ l có th ệ ể được đánh giá bằng nhi u phép thề ử thống kê khác nhau bao g m phép th ồ ử chi bình phương của Pearson, phép th G, phép th ử ử
chính xác c a Fisher, phép th c a Boschloo và phép th c a Barnard, mi n là các ủ ử ủ ử ủ ễ
mục trong bảng đại diện cho các cá nhân m t cách ngộ ẫu nhiên l y mấ ẫu t dân sừ ố để
rút ra k t lu n. Nế ậ ếu t lỷ ệ các cá th trong các cể ột khác nhau thay đổi đáng kể giữa các hàng (hoặc ngượ ại), thì điều đó được l c cho là có s ựngẫu nhiên gi a hai biữ ến số. Nói cách khác, hai biến không độ ậc l p. N u không có ế trường h p t ng quan, ợ ươ người ta nói r ng hai biằ ến l độ ậc l p.
4.4.2 Kiểm định Chi-Squared v tính ề độc lập (Chi-square test of
independence)
Bài toán: K t ế quả ấ l y m u x p vào b ng t ng quan theo hai tính ch t A,B.S n ẫ ế ả ươ ấ ố ij ghi v ô(I,j) úng v i hàng I và c t j ch s l n xuát ào ớ ộ ỉ ố ầ hiện s ư ệki n Aj∩ 𝐵𝑖
A tổng s ố
A1 A2 … Aj … As
B
B1 n11 n12 … nij … n1s n1
… … … …
Bi ni1 ni1 … nij … nis ni
…. … … … … … Br nr1 nr1 … nrj … nrs nr Tổng số n1 n2 nj ns n Ta thấy ∑𝑠 𝑛𝑖𝑗 𝑗=1 = 𝑛𝑖 (s l n xu t hi n Bi) và ố ầ ấ ệ ∑ 𝑟 𝑛𝑖 𝑗=1 = 𝑛 t ng tươ ự ∑𝑟 𝑛𝑖𝑗 𝑖=1 = 𝑛𝑗 số l n xu t hiầ ấ ện Aj và ∑𝑠 𝑛𝑗 𝑗=1 = 𝑛 Nếu Aj và Bi đọc l p thì ậ phải có: 𝑃(𝐴𝑗∩ 𝐵𝑖) = 𝑃 𝐴( 𝑗). 𝑃 𝐵( 𝑖) =𝑛𝑖 𝑛 × 𝑛𝑗 𝑛
Khi y v i s ấ ớ ố lượng m u là n thì s l n xu t hiẫ ố ầ ấ ện 𝐴1∩ 𝐵1 , ta có phương pháp gi i ả
Tìm 𝜒𝛼2(𝑟 − 1)(𝑠 − 1) t b ng phân phừ ả ối v𝜒2 ới(𝑟 − 1)(𝑠 − 1) bậc t ựdo Tính th ng kê ố 𝜒02= ∑ ∑ (𝑛 −𝛾𝑖𝑗 𝑖𝑗)2 𝛾𝑖𝑗 𝑠 𝑗=1 𝑣ớ𝑖 𝛾𝑖𝑗=𝑛𝑖𝑛𝑗 𝑛 𝑟 𝑖=1 Nếu 𝜒02≤ 𝜒𝛼2 ì th chấp nh n H; N u ậ ế 𝜒02> 𝜒𝛼2 ì bác bth ỏ H
+Ví dụ: Hãy kiểm định àu m tóc và màu long mày đọ ậc l p v i nhau v ớ óiα=5%
Màu tóc Tổng số
Sáng Tối
Màu long mày Sáng 30.472 3.238 33.71
Tối 3.364 9.468 112.832
Tổng 33.836 12.706 46.542
Ta có 𝜒𝛼2(𝑟 − 1)(𝑠 − 1) có 1 b c t do nêậ ự n 𝜒20.05= 3.8 𝜒02= ∑ ∑(𝑛𝑖𝑗− 𝛾𝑖𝑗) 2 𝛾𝑖𝑗 𝑠 𝑗=1 𝑟 𝑖=1 = 19.288 Vậy gi ảthiết H b bác b . 0 ị ỏ
CHƯƠNG 5. QUY HO CH TUY N TÍNH Ạ Ế
Có nhi u ề quyết định c a c p qu n lý ủ ấ ả đưara để ử ụ s d ng tài nguyên m t cách hi u ộ ệ
quảnhất ( máy thi công, nhân công, v t tậ ư,…). Quy hoạch tuyến tính là một phương pháp toán h c giúp cho các nhà ợ quản lý l p kậ ế hoạch s n xu t và ra quy t ả ấ ế định liên quan đến việc phân phối tài nguyên.
5.1 Định nghĩa quy hoạch tuyến tính
Bài toán quy ho ch tuy n tínhạ ế tổng quá được phát biểu như sau:
Min{f(x) = c,x | xD },
Trong đó c = (c1, c2,...,cn)T R là tn ập lồi đa diện được xác định bởi hệphương
trình và bất phương trình tuyến tính ai1x1 +ai2x2 +...+ainxn = b , i Li 1 ai1x1 +ai2x2 +...+ainxn = b , i L i 2 ai1x1 +ai2x2 +...+ainxn = b , i L i 3 trong đó L1 L2 L = { 1, 2,...,l} là t3 ập các chỉ số, các hệ số a và b , i = 1,...,l, ij i j = 1,...,n là các h ng s ằ ố cho trước.
Nhắc l i r ng, trong bài toán trên, ta g i ạ ằ ọ
f(x) = c,x = c1x1 +...+cnxn là hàm m c tiêu;ụ
c , j = 1,...,n j là các h s cệ ố ủa hàm mục tiêu;
x , j = 1,...,n j là xác biến;
ai,x = (, ) b , i = 1,...,l i là các ràng buộc;
Tập lồi đa diện D được gọi tập nghi m chệ ấp nhậnđược hay tập ràng buộc. Mỗi
điểm xD được g i là mọ ột nghiệm ch p nhấ ận được hay một phương án chấp
f(x*) = c,x* f(x) = c,x v i mớ ọi x D
được g i là ọ nghiệm tối ưu hoặc phương án tối ưu hay lời gi i c a bài toánả ủ . Giá tr ị
tối ưu của bi toán ny được ký hi u là min {ệ c,x | xD}
Ta nói phương án 𝑥 = 𝑥( 1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛)𝑇thỏa mã ch t ràng buặ ộc i0, i0 {1,...,l} n u ế
∑ 𝑎 𝑥𝑖0𝑗 𝑗= 𝑏𝑖0
𝑛 𝑗=1
Một phương án thỏa mãn chặt n ràng buộc độc lập tuyến tính được gọi là một phương án cực biên. Phương án cực biên thỏa mãn chặt đúng n rng buộc được gọi là phương án cực biên không suy biến; th a m n chỏ ẵ ặt hơn n rng buộc g i là ọ
phương án cực biên suy biến.
5.2 Sự t n tồ ại nghiệm v tnh chất tập nghiệm quy hoạch tuyến tnh
5.2.1 Sự t n tồ ại nghi m ệ
Các bài toán quy ho ch tuy n tính luôn có nhi u kh nạ ế ề ả ăng để ự l a ch n. Ví dọ ụ như
một công ty phát triển kinh doanh nhà có kế hoạc xây dựng ba kiêu nhà, có thể sử
dụng quy hoạch tuyến tính để quyết định xây dựng bao nhiêu mét vuông nhà mỗi kiểu trong iđều ki n di n tích t, vệ ệ đấ ốn đầ ưu t và n ng l c thi công bă ự ịgiới h n. Nêạ n chăng chỉ xây d ngự toàn bộkiểu nhà A? Hay xây dựng c ba kiêu r nhà có ả diện tích bằng nhau? Hay xây dựng nh à mỗi kiểu sao cho t n dậ ụng h t toàn b ế ộdiện tích
đất và n ng l c thi công? Nói tóm lă ự ại, muốn tìm đượ ờc l i gi i cả ủa một bài toán t i ố ưu, trước hết ta phải có cách no đó nhận biết được xem nghiệm ấy có tồn tại hay
không đã rồi mới đưa ra cách để tìm nó.
Ta bi t trong bài toán tế ối ưu có hai đối tượng quan trọng: Tập ràng bu c và hàm ộ
mục tiêu xác định trên tập đó. Vì thế khi ta xét đến điều kiện để ồ ạ t n t i nghi m tệ ối
Ví d , trong gi i tích c ụ ả ổ điển,định lý Weierstrass khẳng định r ng mằ ột hàm liên tục trên một t p compact hay m r ng là m t hàm n a liên tậ ở ộ ộ ử ục dưới trên một tập compact khác rỗng bao gi ờ cũng đạt trên tập compact giá tr l n nh t và giá tr ị ớ ấ ịnhỏ
nhất . Nói cách khác, một bài toán tối ưu có d ữkiện như vậy bao gi ờ cũng có
nghiệm tối ưu. Đối v i bài toán tớ ối ưu trơn, nếu một điểm no đó thuộc ph n trong ầ
của mi n nghi m tề ệ ối ưu thì đạo hàm của hàm s tố ại điểm ấy ph i bả ằng không. Điều kiện như vậy được gọi l điều ki n c n tệ ầ ối ưu. Vậy muốn tìm nghiệm tối ưu của bài toán này, ta ch c n tìm trên t p con c a mi n ràng buỉ ầ ậ ủ ề ộc m trên đó đạo hàm của hàm s tri t tiêu. T i nhố ệ ạ ững điểm này mà ta s d ng nhử ụ ững điều ki n liên quan tệ ới
đạo hàm bậc nhất để suy ra hm đạt giá trị tối ưu thì những điều kiện đó được gọi
l điều kiện đủ ối ưu cấ t p một. Tiếp theo, nếu hàm s ố có đạo hàm b c hai và tậ ại những điểm c a tủ ập con ny, đạo hàm bậc hai dương chặt (ho c âm chặ ặt) thì điểm
ấy chính là nghi m tệ ối ưu của bi toán. Điều kiện ny được gọi l điều kiệu tối ưu
cấp hai.
Xét bài toán quy ho ch tuy n tính tạ ế ổng quát
min 𝑐, 𝑥 𝑥 ∈ 𝐷{〈 〉| }, (𝐿𝑃)
trong đó 𝑐 ∈ ℝ𝑛 và 𝐷 ⊂ ℝ𝑛 là tập lồi đa diện khác rỗng.
Định lý 1.1. Nếu tập nghi m ch p nhệ ấ ận được D khác r ng và bỗ ị chặn thì bài toán quy ho ch tuy n tính (LP) luôn có nghi m tạ ế ệ ối ưu.
Chứng minh. Theo định nghĩa, tậ ồi đa diệp l n là tập đóng. Thêm tính bị chặn nên ta có là t p compac. Hàm tuy n tính là hàm liên tD ậ ế ục. Theo Định lý
Trong trường h p t p nghi m ch p nhợ ậ ệ ấ ận được D khác r ng và không bỗ ị chặn, bài toàn (LP) có th không có nghi m. Tuy nhiên, n u hàm m c tiêu ể ệ ế ụ 𝑓(𝑥) = 〈 〉𝑐, 𝑥 bị chặn dưới trên thì bài toán D (LP) luôn có nghiêm tối ưu.
Định lý 5.2. Nếu tập ch p nhấ ận được D khác rỗng và hàm m c tiêu ụ 𝑓(𝑥) = 〈 〉𝑐, 𝑥
bị chặn dưới tên D thì bài toán quy ho ch tuy n tính (LP) luôn có nghi m tạ ế ệ ối ưu.
Chứng minh.Vì m i quy hoọ ạch tuyến tính đều có thể chuyển về d ng chu n t c ạ ẩ ắ
hoặc chính t c nên không gi m t ng quát ta gi thi t lắ ả ổ ả ế ập Dcó đỉnh. Theo Định lý biểu di n tễ ập lồi đa diện, b t kì ấ 𝑥 ∈ 𝐷 u có th đề ể được bi u diể ễn dưới dạng
𝑥 = ∑ 𝜆𝑁 𝑖𝑣𝑖 𝑖=1 + ∑ 𝜇𝑀𝑗𝑑𝑗 𝑗=1 , (1) 𝜆𝑖≥ 0, 𝑖 = 1, … , 𝑁, 𝜇𝑗≥ 0, 𝑗 = 1, … , 𝑀, ∑ 𝜆𝑖 𝑁 𝑖=1 = 1
trong đó 𝑣1, … , 𝑣𝑁l các đỉnh và 𝑑1, … , 𝑑𝑀l các phương cực biên của D. Do hàm mục tiêu 𝑓(𝑥) = 〈 〉𝑐, 𝑥 b ịchặn dưới trên D nên
〈𝑐, 𝑑𝑗〉 ≥ 0 ∀𝑑𝑗, 𝑗 = 1, … , 𝑀. (2) Thật v y, gi s t n tậ ả ử ồ ại 𝑗0∈ {1, … , 𝑀} sao cho 〈𝑐, 𝑑𝑗0〉 < 0. Vì d j0 là một phương cực biên nên 𝑥 + 𝑡𝑑𝑗0∈ 𝐷 ∀𝑥 ∈ 𝐷, ∀𝑡 ≥ 0 và 〈𝑐, 𝑥 + 𝑡𝑑𝑗0〉 = 〈𝑐, 𝑥〉 + 𝑡 𝑐, 𝑑〈 𝑗0〉 → −∞ 𝑘ℎ𝑖 𝑡 → +∞
Điều này mâu thu n vẫ ới tính bị chặn dưới của hàm 𝑓(𝑥) = 〈𝑐, 𝑥〉 và chứng tỏ
Chọn một đỉnh 𝑣𝑖0 của D sao cho 〈𝑐, 𝑣𝑖0〉 = min {〈𝑐, 𝑣𝑖0〉|𝑖 = 1, … , 𝑁}. Theo (1) và (2), v i b t kớ ấ ỳ𝑥 ∈ 𝐷, ta có 〈𝑐, 𝑥〉 = ∑ 𝜆𝑖〈𝑐, 𝑣𝑖〉 𝑁 𝑖=1 + ∑ 𝜇𝑗〈𝑐, 𝑑𝑗〉 𝑀 𝑗=1 ≥ ∑ 𝜆𝑖〈𝑐, 𝑣𝑖〉 𝑁 𝑖=1 ≥ ∑ 𝜆𝑖〈𝑐, 𝑣𝑖0〉 = 𝑁 𝑖=1 〈𝑐, 𝑣𝑖0〉
Điều đó chứng tỏ𝑣𝑖0 là nghi m tệ ối ưu của bài toán (LP).
Chú ý 5.2. K t lu n cế ậ ủa Định lý 5.2 nói chung không còn đúng đố ới v i bài toán phi tuy n. Ví dế ụ:
i) Bài toán
inf {𝑓(𝑥) = 𝑥2|𝑥 ∈ 𝐷},
trong đó 𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ |𝑥2
1𝑥2≥ 1, 𝑥1, 𝑥2≥ 0}, có hàm m c tiêu là tuy n tính và b ụ ế ị
chặn dưới bởi 0. Tập nghiệm chấp nhận được D là t p l i khác rậ ồ ỗng nhưng không
phải t p lậ ồi đa diện. Đây không phải là bài toán quy ho ch tuy n tính và dạ ế ễ thấy, 𝑥 = (𝑥1, 0)𝑇∉ 𝐷 v i mớ ọi 𝑥1≥ 0. Vì th bài toán này không có nghi m tế ệ ối ưu
(Xem Hình 3.1(a)) và inf 𝑓(𝐷)= 0; ii) Bài toán
min{𝑓(𝑥)= 𝑒 |𝑥 ∈ 𝐷𝑥 },
trong đó 𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≤ 0}, có tập chấp nhận được là tập lồi đa diện nhưng hm
mục tiêu là phi tuyến v cũng bị chặn dướ ởi 0. Rõ rng cũng không tồ ại b n t i một
điểm 𝑥 ∈ 𝐷 để𝑒𝑥= 0 và bài toán này không có nghiệm tối ưu (Xem Hình 3.1(b)),
5.2.2 Tính ch t tấ ập nghi m ệ
Định lý 5.3. Nếu bài toán quy hoạch tuyến tính (LP) có nghi m tệ ối ưu th ập ì t nghiệm tối ưu của nó là m t di n c a t p lộ ệ ủ ậ ồi đa diện ch p nhấ ận được.
Chứng minh. Nhắc l i, tạ ập con l i khác rồ ỗng 𝐹 ⊂ 𝐷được gọi là một di n cệ ủa t p ậ
lồi đa diện D n u ế
𝑦, 𝑧 ∈ 𝐷 𝑣à 𝑥 ∈ 𝐹, 𝑥 = 𝜆𝑦 + (1 − 𝜆 𝑧, 0 < 𝜆 < 1 ⟹ 𝑦 ∈ 𝐹, 𝑧 ∈ 𝐹) Ký hi u t p nghi m tệ ậ ệ ối ưu của bài toàn (LP) là 𝐹∗= 𝑎𝑟𝑐𝑚𝑖𝑛{ 𝑐, 𝑥 |𝑥 ∈ 𝐷}〈 〉 . Cho 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐷, 𝑥 ∈ 𝐹∗ với , 𝑥 =𝜆𝑦 + (1 − 𝜆)𝑧 và 0 < 𝜆 < 1. Ta ph i ch ng minh ả ứ
𝑦 ∈ 𝐹∗, 𝑧 ∈ 𝐹∗. Gi s ả ử〈𝑐, 𝑦〉 ≥ 𝑐, 𝑧〈 〉. Khi đó
〈𝑐, 𝑥〉 = 𝜆 𝑐, 𝑦〉 + (1 − 𝜆 𝑐, 𝑧〉 ≥ 𝜆 𝑐, 𝑧〉 + (1 − 𝜆 𝑐, 𝑧〉 = 𝑐, 𝑧 . (3)〈 )〈 〈 )〈 〈 〉 Vì 𝑧 ∈ 𝐷 và 𝑥 ∈ 𝐹∗, tức x là một nghiệm tối ưu của bài toán (LP), nên
〈𝑐, 𝑥〉 ≤ 𝑐, 𝑧 . (4)〈 〉 Từ (3) và (4) suy ra 〈𝑐, 𝑥〉 = 𝑐, 𝑧〈 〉, hay 𝑧 ∈ 𝐹∗. Hơn nữa ta có
Do đó 〈𝑐, 𝑦〉 = 𝑐, 𝑥〈 〉. hay 𝑦 ∈ 𝐹∗. Theo định nghĩa, 𝐹∗ là m t diộ ện của D.
Hệ quả 1.1 Nếu một quy ho ch tuy n tính có nghiạ ế ệm tối ưu và tập lồi đa diện
ràng buộc có đỉnh thì nghi m tệ ối ưu phải đạ ạt t i ít nh t mấ ột đỉnh, tức đạ ạt t i ít nhất
một phương án cực biên.
Chứng minh.Theo định nghĩa, phương án cực biên chính là một đỉnh của tập lồi đa
diện ch p nhấ ận được của bài toán quy ho ch tuyạ ến tính. H ệquả được suy tr c tiự ếp từ nh lý 5.3 và s Đị ựkiện l đỉnh của một diễn c a mủ ột t p lậ ồi đa diện cũng chính l đỉnh của t p lậ ồi đa diện đó (Hệ quả 5.3).
Định lý 5.4. Nếu x là nghi m t* ệ ối ưu địa phương của bài toán quy ho ch tuy n tính ạ ế
(LP) thì x *cũng là nghiệm tối ưu toàn cục. Chứng minh.
Giả sử𝑥∗∈ 𝐷 là nghi m tệ ối ưu địa phương cả bài toán (LP). Thẹo định
nghĩa, tồn tại một hình c u mầ ở𝐵(𝑥 , 𝜀)∗ sao cho
〈𝑐, 𝑥∗〉 ≤ 〈 〉𝑐, 𝑥 ∀𝑥 ∈ 𝐵(𝑥∗, 𝜀) ∩ 𝐷.
Giả sử phản ch ng r ng x không ph i nghi m tứ ằ * ả ệ ối ưu ton cục c a bài toán (LP). ủ
tức t n tồ ại 𝑥 ∈ 𝐷 tho mãn ả 〈𝑐, 𝑥〉 < 〈𝑐, 𝑥∗〉. Do D là t p lậ ồi đa diện nên nó ch a c ứ ả đoạn th ng nẳ ối 𝑥∗ và 𝑥. Lấy điểm x n0 ằm trong đoạn th ng này và ẳ 𝑥0∈ 𝐵(𝑥∗, 𝜀), tức 𝑥0= 𝜆𝑥∗+ (1 − 𝜆)𝑥 𝑣ớ𝑖 0 < 𝜆 < 1. Ta có
〈𝑐, 𝑥0〉 = 𝜆 𝑐, 𝑥〈 ∗〉 + (1 − 𝜆 𝑐, 𝑥 < 𝜆 𝑐, 𝑥)〈 〉 〈 ∗〉 + (1 − 𝜆 𝑐, 𝑥)〈 ∗〉 = 〈𝑐, 𝑥∗〉.
Điều này mâu thu n v i tính c c tiẫ ớ ự ểu đia phương của x* và ch ng t ứ ỏgiảthiết phản chứng là sai.
5.3 Giải bài toán quy ho ch tuy n tính hai bi n bạ ế ế ằng phương pháp hình
học
Một bài toán lập trình tuy n tính ch có hai bi n trình bày mế ỉ ế ột trường hợp đơn giản giải pháp có th ể thu được b ng cách s d ng mằ ử ụ ột phương pháp hình học khá cơ
bản. Riêng bi t t ệ ừgiải pháp, phương pháp đồ ọa đưa ra mộ h t bức tranh vật lý về
hình h c nhọ ất định đặc điểm c a các bài toán l p trình tuy n tính. Ví d ủ ậ ế ụ sau được coi là minh hđể ọa phương pháp đồ ọ h a của giải pháp.(Lan, 2015)
+Ví d : ụ
Một lò g m hàng ng s n xu t hai m t hàng cao cố ày ả ấ ặ ấp là ôn sđ ứ Đ( ) và bình bông