CHƯƠNG 5 QUY HO CH TUY N TÍNH ẠẾ
5.4 Phương pháp đơn hình
5.4.1 Thuật toán đơn hình dạng bảng(Kim, 2008)
a. Bảng đơn hình
Bảng đơn hình gồm n+4 cột, dánh đểđược ghi các thông tin v mề ột bước lặp tính toán ng v i mứ ớ ột phương án cực biên. Gi s ả ử𝑥 = 𝑥( 10,𝑥20, … , 𝑥𝑛0)𝑇l phương án
cực biên tương ứng v i b ớ ộchỉ ố cơ sở s 𝐽𝐵= 𝐽(𝑥0) = {𝑗1, … , 𝑗𝑚}v cơ sở đơn vị
𝐵 = {𝐴𝑗1, … , 𝐴𝑗𝑚}. các thông tin v ề được ghi bở ảng đơn hình xuất phát (Bảng 5.1). Bảng 5.1 Hệ số Cơ sở Phương án 𝑐1 ⋯ 𝑐𝑘 ⋯ 𝑐𝑛 𝜃 𝐶𝐵 B 𝐴1 ⋯ 𝐴𝑘 ⋯ 𝐴𝑛 𝑐𝑗1 𝐴𝑗1 𝑥𝑗10 𝑧𝑗11 ⋯ 𝑧𝑗1𝑘 ⋯ 𝑧𝑗1𝑛 𝜃𝑗1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑐𝑗 𝐴𝑗 𝑥𝑗0 𝑧𝑗𝑘1 ⋯ 𝑧𝑗𝑘 ⋯ 𝑧𝑗𝑛 𝜃𝑗 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑐𝑗𝑚 𝐴𝑗𝑚 𝑥𝑗𝑚0 𝑧𝑗𝑚1 ⋯ 𝑧𝑗𝑚𝑘 ⋯ 𝑧𝑗𝑚𝑛 𝜃𝑗𝑚 Bảng đơn hình gồm n+4 cột.
Cột 2. (Cơ sở B) Ghi tên các véctơ cơ sở. Chú ý rằng, tên các véctơ ny phải được ghi theo th t ứ ự𝐴𝑗1, … , 𝐴𝑗𝑚 sao cho ma tr n lậ ập 𝐵 = {𝐴𝑗1, … , 𝐴𝑗𝑚} là ma trận đơn
vị 𝐼𝑚.
Cột 3. (Phương án cực biên) Ghi giá tr c a các biị ủ ến cơ sở ủa phương án cự c c biên
đang xét.
n c t ti p theo.C t th ộ ế ộ ứ3 –k ứng với tên véctơ 𝐴𝑘, 𝑘 = 1, … , 𝑛. Phía trên tên mỗi cột 𝐴𝑘 ghi giá tr h s hàm mị ệ ố ục tiêu 𝑐𝑘tương ứng. Trong cột 𝐴𝑘, ghi giá tr các h ị ệ
số𝑧𝑗𝑘, 𝑗 ∈ 𝐽𝐵 trong bi u diể ễn véctơ 𝐴𝑘theo véctơ cơ sở đang xét.
∑ 𝑧𝑗𝑘𝐴𝑗 𝑗 ∈ 𝐽𝐵
= 𝐴𝑘. 𝑘 = 1, … , 𝑛.
Cột cuối cùng. Dnh để ghi tỷ số 𝜃𝑗, 𝑗 ∈ 𝐽𝐵(xem Bước 3 Thu t toán 5.3). – ậ
Dòng cu i cùng. T i v ố ạ ị trí dưới c t 3, ghi giá tr hàm mộ ị ục tiêu tại phương án cực
biên đang xét
𝑓(𝑥0) = ∑ 𝑐𝑗𝑥𝑗0 𝑗 ∈ 𝐽𝐵
.
Tại v ị trí dưới cột ứng với véctơ 𝐴 , 𝑘 = {1, … , 𝑛}𝑘 ,ghi ước lượng. ∆𝑘= ∑ 𝑧𝑗𝑘𝑐𝑗− 𝑐𝑘
𝑗 ∈ 𝐽𝐵 Ta có ∆𝑗= 0 v i mớ ọi 𝑗 ∈ 𝐽𝐵 (Nh t xét 3.4). ậ
b. Thu t tóaậ n đơn hình dạng bảng
Bước 0. (Bước chu n b ) Xây d ng bẩ ị ự ảng đơn hình xuất phát tương ứng với phương
án c c biên ; ự 𝑥0
Bước 1. (Kiểm tra điều kiện tối ưu) Xét dòng cuối cùng của bảng
If ∆𝑘≤ 0 v i mớ ọi 𝑘 = 1, … , 𝑛Then Dùng thu t toán ậ
(Nghi m tệ ối ưu l phương án ực biên tương ứ c ng với bảng này)
Else chuyển sang Bước 2.
Bước 2. (Kiểm tra bài toán không có l i giờ ải)
If Tồn tại 𝑘 ∉ 𝐽𝐵 sao cho ∆𝑘> 0 𝑧 và 𝑗𝑘≤ 0 v i mớ ọi 𝑗 ∈ 𝐽𝐵
Then Dùng thu t toán (Bài toán không có l i gi ậ ờ ải)
Else chuyển sang Bước 3.
Bước 3. Th c hiự ện:
Tìm cột quay. Xác định véctơ 𝐴𝑠, đểđưa vo cơ sở ớ m i với chỉ số s thỏa mãn
∆𝑠= max{∆ ∆𝑘 | 𝑘> 0}. Cột tương ứng với véctơ 𝐴𝑠được gọi là c t quay. ộ
Tìm dòng quay. Tính các 𝜃𝑗, 𝑗 ∈ 𝐽𝐵, như sau
𝜃𝑗= { 𝑥𝑗 𝑧𝑗𝑠 𝑛ế𝑢 𝑧𝑗𝑠> 0, 𝑗 ∈ 𝐽𝐵 +∞ 𝑛ế𝑢 𝑧𝑗𝑠≤ 0, 𝑗 ∈ 𝐽𝐵 V xác định 𝜃𝑟= min 𝜃{𝑗 𝑗 ∈ 𝐽| 𝐵}
Dòng r được gọi là dòng quay. Ph n t ầ ử𝑧𝑟𝑠 n m trên giao c a dòng quay và cằ ủ ột
quay được gọi là ph n t chính c a phép quay. Các ph n t ầ ử ủ ầ ử𝑧𝑗𝑠 (𝑗 ≠ 𝑟)được g i là ọ
các ph n t quay. ầ ử
Bước 4. (Chuyển bảng mới tương ứng với phương án cực biên mới) Th c hiự ện: Trong c t 1 (C t h s ộ ộ ệ ố𝐶𝐵) thay giá tr ị𝑐𝑟 b i ở 𝑐𝑠. Trong c t 2 (cộ ột cơ sở),
thay tên 𝐴𝑟 bởi 𝐴𝑠.
Chia các ph n t c a dòng quay cho ph n t ầ ử ủ ầ ử chính ta được dòng mới (có số
1 t i v trí cạ ị ủa 𝑧𝑟𝑠cũ) gọi là dòng chính, t c ta có quy t c là ứ ắ
𝒅ò𝒏𝒈 𝒄𝒉í𝒏𝒉 (𝒎ớ𝒊 ∶=) 𝒅ò𝒑𝒉ầ𝒏 𝒕ử 𝒄𝒉í𝒏𝒉 ;𝒏𝒈 𝒒𝒖𝒂𝒚 ( )𝒄ũ Biến đổi mỗi dòng còn l i theo quy tạ ắc,
Dòng mới ∶=Dòng cũ tương ứng Dòng chính – ×Phần t ử quay tương ứng.
Ta được số 0 ở m i v trí còn l i c a cọ ị ạ ủ ột quay cũ. (Sau phép quay thì trong bảng mới ta có ∆𝑠= 0 vì lúc này s là ch sỉ ốcơ sở ủa phương án cự c c biên mới và 𝐴𝑠tr ở thnh véc tơ đơn vị cơ sở).
Quay lại Bước 1 v i b ng m i ớ ả ớ
Sau đây l một số ví dụđể minh h a cho thu t toán. ọ ậ
+Ví d ụCho bài toán quy ho ch tuy n tính d ng chính t c ạ ế ạ ắ
min 𝑓(𝑥)= −2𝑥1+ 2𝑥2+ 𝑥 + 3𝑥3 4 + 𝑥6 𝑣. đ. 𝑘. − 𝑥1 + 2𝑥2+ 2𝑥3 + 𝑥5 = 4 𝑥1+ 𝑥2+ 𝑥3 + 𝑥6= 5
2𝑥1 + 2𝑥3+ 𝑥4 = 7 𝑥1, ⋯ , 𝑥6≥ 0
Dễthấy 𝑥0= (0, 0, 0, 7, 4, 5)𝑇l phương án chấp nhận được của bi toán đang xét
và 𝐽(𝑥0) = {4, 5, 6}. Vì các véctơ 𝐴 , 𝐴 , 𝐴5 6 4độc lập tuyến tính và tạo thành ma trận cơ sở đơn vị𝐵 = 𝐴 , 𝐴 , 𝐴{ 5 6 4} = 𝐼3 nên 𝑥0l phương pháp cực biên và 𝐴1
chính l véctơ các hệ số khai tri n cể ủa nó theo các véctơ cơ sở, cụ thể
𝐴1= (−1 𝐴) 5+ 1𝐴6+ 2𝐴4 Tương tự, ta có
𝐴 = 2𝐴 + 1𝐴 + 0𝐴2 5 6 4 𝑣à 𝐴3= 2𝐴 + 1𝐴 + 2𝐴5 6 4
Ta có Bảng 5.2 là bảng đơn hình xuất phát tương ứng với phương án cực biên 𝑥0
này Bảng 5.2 Hệ số Cơ sở Phương án −2 2 1 3 0 1 𝜃 𝐶𝐵 B 𝐴1 𝐴2 𝐴3 𝐴4 𝐴5 𝐴6 0 𝐴5 4 −1 2 2 0 1 0 ∞ 1 𝐴6 5 1 1 1 0 0 1 5 3 𝐴4 7 [2] 0 2 1 0 0 7 2 Bảng 1 26 9 −1 6 0 0 0
Vì dòng cu i cùng còn ố ∆1= 9 > 0 và ∆ = 6 > 03 nên 𝑥0chưa phải phương án tối
ưu. Véctơ đưa vo cơ sở là 𝐴1 ( ng vứ ới ∆1= 9 l n nhớ ất). Véctơ loại ra khỏi cơ sở
là ( ng v𝐴4 ứ ới 𝜃4= min +∞, 5,{ 27} =72=𝑥10
trong ngo c vuông [.]). Biặ ến đổ ảng đơn hình theo Bưới b c 4 (Thuật toán 5.1) (sau
đây ta sẽ gọi tắt là biến đổ ảng đơn hình) ta đượi b c bảng đơn hình mới (Bảng 5.3)
Bảng 5.3 Hệ số Cơ sở Phương án −2 2 1 3 0 1 𝜃 𝐶𝐵 B 𝐴1 𝐴2 𝐴3 𝐴4 𝐴5 𝐴6 0 𝐴5 15 2 0 2 3 12 1 0 1 𝐴6 3 2 0 1 0 −1 2 0 1 -2 𝐴1 7 2 1 0 1 12 0 0 Bảng 2 −11 2 0 −1 −3 −92 0 0
Trong Bảng 5.3, ta có ∆𝑘≤ 0 v i mớ ọi 𝑘 = 𝑥1, ⋯ , 𝑥6. Do đó, phương án cực biên 𝑥∗= (27, 0,0, 0,152,32)𝑇tương ứng v i bớ ảng ny l phương án tối ưu v giá trị ối ưu t là 𝑓𝑚𝑖𝑛= 𝑓(𝑥∗) =−112. Bài toán này có nghi m tệ ối ưu duy nhất vì ∆𝑘< 0 với mọi chỉ s ố phi cơ sở𝑘 ∉ 𝐽𝐵= {5, 6, 1}.
+Ví d :ụ (Bài toán có nghi m tệ ối ưu không duy nhất) Xét bài toán quy ho ch tuy n tính d ng chính t c ạ ế ạ ắ
min 𝑓(𝑥)= −2𝑥1+ 2𝑥2 𝑣. đ. 𝑘. − 𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥4 = 4 𝑥1+ 𝑥2 + 𝑥5= 5
2𝑥1 + 𝑥3 = 7 𝑥1, ⋯ , 𝑥5≥ 0
Xuất phát t ừ phương án cực biên 𝑥0= ( 0, 0, 7, 4, 5)𝑇v cơ sở đơn vị𝐵 = {𝐴4, 𝐴5, 𝐴3}, các bước tính toán theo Thu t toán 5.3 giậ ải bi toán ny được trình bày Bở ảng 5.4. Hệ số Cơ sở Phương án 1 −2 0 0 0 𝜃 𝐶𝐵 B 𝐴1 𝐴2 𝐴3 𝐴4 𝐴5 0 𝐴4 4 −1 [2] 0 1 0 2 0 𝐴5 5 1 1 0 0 1 5 0 𝐴3 7 2 0 1 0 0 ∞ Bảng 1 0 −1 2 0 0 0 −2 𝐴2 2 −1 2 1 0 12 0 ∞ 0 𝐴5 3 3 2 0 0 −12 1 2 0 𝐴3 7 2 0 1 0 0 7 2 Bảng 2 −4 0 0 0 −1 0
Trong bảng đơn hình cuối cùng của Bảng 5.4 có ∆𝑘≤ 0 với mọi 𝑘 = 𝑥1, ⋯ , 𝑥5 nên
phương án 𝑥0= (0, 2,7,0,3)𝑇tương ứng với bảng ny l phương án tối ưu với giá trị tối ưu l 𝑓𝑚𝑖𝑛= 𝑓(𝑥∗) = −4 Vì có ∆1= 0 ứng v i ch s ớ ỉ ố phi cơ sở1 ∉ 𝐽𝐵= {2,5,3} nên 𝑥∗ không phải l phương án cực biên tối ưu duy nhất v i bài toán này. ớ
Muốn tìm phương án cực biên tối ưu khác, ta đưa véctơ 𝐴1vo cơ sở ớ m i. Thực hiện biến đổ ảng đơn hình, ta chuyển sang đượi b c Bảng 5.5 tương ứng một phương
án c c biên tự ối ưu 𝑥 = (2,3,3,0,0)∗ 𝑇. Nếu ti p t c tính toán v i vi c ế ụ ớ ệ đưa véctơ 𝐴5 (tương ứng với ∆5= 0 và 5 ∉ 𝐽𝐵= {2,1,3}) vo cơ sở v.v. , ta l i chuyạ ển được sang bảng đơn hình tương ứng với phương án cực biên tối ưu . Như vậ𝑥∗ y, tập nghiệm của bài toán này là
𝐹𝑥= {𝑥 = 𝜆𝑥0+ (1 − 𝜆 𝑥) 0|0 ≤ 𝜆 ≤ 1} = {𝑥 = 𝜆(0, 2,7,0,3)𝑇+ (1 − 𝜆 2,3,3,0,0 0 ≤ 𝜆 ≤ 1})( )𝑇| = {𝑥 = (2 − 2𝜆, 3 − 𝜆, 3 + 4𝜆, 0,3𝜆)𝑇|0 ≤ 𝜆 ≤ 1} Hệ số Cơ sở Phương án 1 −2 0 0 0 𝜃 𝐶𝐵 B 𝐴1 𝐴2 𝐴3 𝐴4 𝐴5 −2 𝐴2 3 0 1 0 1 3 13 1 𝐴1 2 1 0 0 −1 3 23 0 𝐴3 3 0 0 1 2 3 −43 Bảng 3 −4 0 0 0 −1 0
Tài li u tham kh o ệ ả
Alsalam, N. (1998) Economic Effects of Federal Spending on Infrastructure and Other Investments. Congressional Budget Office.
Bedford, T. and Cooke, R. M. (2001) Probabilistic risk analysis : foundations and
methods / Tim Bedford, Roger Cooke.
Cochran, S. and (1989) Statistical Methods. 8th edn. Iowa State University Press. E. L. Lehmann (1986) Testing Statistical Hypotheses-Springer New York. Ghahramani, S. (1999) Saeed Ghahramani - Fundamentals of Probability (2nd Edition) -Prentice Hall (1999).pdf. 2nd edn.
Huy, N. Đ. (2019) Giáo trình xác su t thông kêấ . Đại h c qu c gia TPHCM. ọ ố
Karl Pearson (1904) Mathematical contributions to the theory of evolution Dulau ,
and Co. Available at: https://en.wikipedia.org/wiki/Contingency_table. Khanh, P. D. (2021) Bayesian. Available at:
https://phamdinhkhanh.github.io/deepai-book/ch_ml/index_Bayes.html. Kim, N. T. B. (2008) Giáo trình Các phương pháp tối ưu Lý thuyết và thuật toán. Nhà xu t b n Bách khoa Hà Nấ ả ội.
Lan, Đ. T. X. (2015) Phương pháp định lượng & Công cụ tin học ứng d ng trong ụ
quản lý xây dựng. Đại h c qu c gia TPHCM. ọ ố
M.H.Faber (2012) (Topics in safety, reliability, and quality, v.18) M H Faber - Statistics and probability theory _ in pursuit of engineering decision support- Springer (2012).pdf.
Bộ Khoa h c và Công nghọ ệ, Số 20.8. Available at: https://tiasang.com.vn/khoa- hoc-cong-nghe/Nguoi-mo-duong-nganh-xac-suat-hien-dai-10035.
Phân ph i chuố ẩn (2021). Available at: https://vi.wikipedia.org/wiki/Phân_ph i_chuố ẩn.
Phân ph i xác suố ất (2021). Available at: https://vi.wikipedia.org/wiki/Phân_ph i_xác_suố ất.