CHƯƠNG 3 : PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
3.2. Một số mơ hình kiểm định và ước lượng thỏa mãn giả định của cơng thức mơ
3.2.1. Quy trình tích phân Itơ
Quy trình tích phân Itơ đóng một vai trò quan trọng trong việc định giá chứng khoán phái sinh. Giả định thứ nhất của mơ hình Black Scholes, phương trình (2.6), về ý nghĩa tốn học và tài chính của phương trình này được nêu trong Malliaris và Brock (1982), phải tn theo quy trình tích phân Itơ.
Về mặt tốn học, hàm liên tục bất kỳ có thể gần giống với hàm đa thức về mức độ chính xác. Tuy nhiên, hầu hết giá tài sản đều rất ngẫu nhiên và được thể hiện dưới dạng một đa thức bậc cao. Vì vậy, những phương pháp gần đúng thì khơng có tác dụng trong việc mơ tả lợi nhuận của tài sản.
Một phương pháp tiếp cận thay thế phương pháp gần đúng của đa thức là lập những chênh lệch giá tài sản cơ sở cũng tuân như một bước ngẫu nhiên, tức là:
SRt R- SRt-1 R= dSRt R (3.13)
Giả định rằng lợi nhuận tài sản có thay đổi µ ≠ 0 và độ bất ổn σ >0 điều này cho phép chúng ta đưa ra phương trình (2.6).
Vậy tỷ suất sinh lợi của tài sản bất kỳ trong khoảng thời gian kinh doanh dt
là:
RRt R= 𝑑𝑆𝑡
𝑆𝑡 (3.14)
(dSt St) = µ.dt + σ.dZt (3.15) E(dSt St) = E(µ).dt + E(σ.dZt) (3.16) Trong đó: 𝑑𝑍𝑡 = 𝑅𝑡− µ𝑅𝑡 𝜎 𝑅𝑡 (3.17) E(µ)=µ (µ là một hằng số) (3.18)
E(σ.dZRtR) = σ.E(dZRtR) = 0 do E(dZRtR) = 0 và Var(dZRtR)=1; (3.19) Vậy để kiểm định quá trình giá tài sản cơ sở có động thái tn theo mơ hình Brown hình học (GBM) theo giả định (2.6) tương đương với việc kiểm định giá tài sản cơ sở có tn theo quy trình Itơ, tức là biến dZRtR là một biến ngẫu nhiên mô tả bước ngẫu nhiên liên tục theo phân phối chuẩn với mức trung bình bằng 0 (µ=0) và phương sai bằng 1 (σ=1).
Khi Black và Scholes (1973) và Merton (1973) giả định rằng tài sản cơ sở theo q trình tích phân Itơ trong (2.6), đây là một bước cực kỳ thành công cho phép các nhà nghiên cứu sử dụng lý thuyết tốn học hiện hành có lập luận trên cơ sở tài chính để giải quyết định giá tài sản phái sinh. Khi đó giá của tài sản cơ sở theo quy trình ngẫu nhiên sẽ được xác định bởi công thức sau:
SRtR = SR0R . 𝑒�µ−𝜎22�.𝑡+𝜎.Zt
(3.20) trong đó µ thay đổi và σ là độ bất ổn của giá tài sản, ZRtR với t €(0,∞) là quá trình Wiener có phân phối chuẩn với mức trung bình bằng 0 và phương sai bằng 1.
Lấy lô-ga-rit (3.20), ta có:
ln(St) = ln(S0) +�µ−𝜎22�.𝑡+𝜎. Zt (3.21)
Phương trình (3.21) nói lên rằng giá tài sản cơ sở mô tả bằng (3.20) được phân phối lo-ga-rit chuẩn với kỳ vọng và phương sai được đưa ra bằng:
E(lnSRtR)= ln(SR0R) + �µ−𝜎22�.𝑡 (3.22) Var(ln SRtR) = σP 2 P . t (3.23) SRtR = SR0R . 𝑒(µ.𝑡) (3.24)