CHƯƠNG 3 : PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
3.2. Một số mơ hình kiểm định và ước lượng thỏa mãn giả định của cơng thức mơ
3.2.2. Mơ hình chuyển động Brown hình học (GBM)
Để thỏa mãn giả định trong mơ hình Black Scholes, sự biến động giá tài sản cơ sở phải tuân theo phân phối lo-ga-rit chuẩn. Ta biết, nếu lo-ga-rit một số tuân theo phân phối chuẩn thì biến số đó được cho là có phân phối lo-ga-rit chuẩn.
xRtR = {lnSRtR} là quá trình lo-ga-rit của giá tài sản. (3.25) Để kiểm định giả thiết: Giá của tài sản cơ sở có tuân theo phân phối logarit chuẩn hay không (tức là RRtR = ln( 𝑆𝑡
𝑆𝑡−1) có phân phối chuẩn) ta chỉ cần kiểm định {SRtR} là quá trình giá tài sản có động thái tn theo mơ hình hình học Brown (GBM) tương đương với việc kiểm định xRtR là nghiệm của quy trình tích phân Itơ, được viết lại dưới dạng sau: 𝑑𝑥𝑡 =�𝜇 −𝜎22� 𝑑𝑡+ 𝜎.𝑑𝐵 (B là chuyển động Brown) (3.26) ∆𝑥𝑡 =�𝜇 −𝜎22�.𝑑𝑡+ 𝜎.𝜖𝑡√∆𝑡 𝜖𝑡~𝑁𝐼𝐷(0,1) (3.27) Đặt: 𝛽𝑜 =𝜇 − 𝜎22 , cho ∆𝑡 = 1 Từ (3.14) ta có: ∆xt = xt − x(t−1) =βo+ σ.εt (3.28) Từ (3.15) ta có: xt =βo+ x(t−1)+ vt (3.29) 𝑣ớ𝑖 𝑣𝑡 =𝜎.𝜀𝑡, 𝑣𝑡 ~ 𝑁𝐼𝐷(0,𝜎2)
⇒ xRtRlà một bước ngẫu nhiên.
Vậy việc kiểm định {SRtR} là q trình giá có động thái tn theo mơ hình hình học Brown (GBM) tức là thực hiện kiểm định xRtRlà một bước ngẫu nhiên.
Sử dụng kiểm định nghiệm đơn vị của Dickey – Fuller (DF) Ta có q trình AR(1):
xt =βo+ x(t−1)+ vt vt~NID(0,σ2) (3.30)
xt =βo+ 𝛼 . xt−1+ vt vt~NID(0,σ2) (3.31)
Kiểm định cặp giả thiết: HR0R: α = 1 (chuỗi không dừng) (3.32)
HR1R: α < 1 (chuỗi dừng) (3.33)
Nếu giá trị tuyệt đối t tính tốn lớn hơn giá trị tuyệt đối t tra bảng ta bác bỏ giả thuyết H0. Nếu giá trị tuyệt đối t tính tốn nhỏ hơn giá trị tuyệt đối t tra bảng ta
chấp nhận giả thuyết HR0R, ta kết luận quá trình {xRtR} là một bước ngẫu nhiên hay {SRtR} là q trình giá có động thái tn theo mơ hình GBM.
3.2.3. Mơ hình ước lượng độ bất ổn hay độ lệch chuẩn
Ước lượng độ bất ổn là vấn đề rất quan trọng trong việc quản trị rủi ro tài chính. Việc định giá giá trị quyền chọn có chính xác hay khơng là do giá trị độ bất ổn quyết định. Có nhiều mơ hình để ước lượng như: trong các mơ hình dự báo VaR (Value at Risk) các chuyên gia đã sử dụng khá nhiều phương pháp để tính giá trị VaR hoặc mơ hình Historical Simulation (thuộc cách tiếp cận phi tham số) hoặc mơ hình RiskMetrics, mơ hình GARCH (thuộc cách tiếp cận tham số) để tính giá trị phương sai. Ở đây để ước lượng độ bất ổn trong mơ hình Black Scholes ta có thể sử dụng phương pháp ước lượng độ bất ổn quá khứ hoặc ước lượng độ bất ổn bằng mơ hình GARCH.
3.2.3.1. Ước lượng độ bất ổn quá khứ
Giả định chúng ta có một dãy gồm j tỷ suất sinh lợi ghép lãi liên tục, mỗi tỷ suất sinh lợi được biểu diễn là RRtR và đi từ 1 đến j. Thứ nhất ta tính tỷ suất sinh lợi trung bình như sau:
𝑅� =∑𝑗𝑡=1𝑅𝑡
𝑗 (3.34)
Khi đó phương sai là: 𝜎2 =∑𝑗 (𝑅𝑡−𝑅�)2 𝑡=1 𝑗−1 = ∑ (𝑅𝑡)2 𝑗 𝑡−1 −�∑ 𝑅𝑡 𝑗 𝑡=1 � 2 𝑗 𝑗−1 (3.35) Độ bất ổn hay độ lệch chuẩn là: 𝜎 =√𝜎2 (3.36)
3.2.3.2. Ước lượng bằng mơ hình ARCH
Mơ tả mơ hình
Chúng ta biết rằng, phân tích kinh tế lượng cổ điển đều giả định phương sai của sai số là không đổi theo thời gian, tuy nhiên thường xảy ra dao động cao vào một số giai đoạn theo sau một số giai đoạn tương đối ít biến động và điều này chịu ảnh hưởng ít nhiều của các tin tức tốt, xấu có liên quan và các nhà đầu tư trên thị
trường đều ứng xử theo kiểu hành vi đám đông. Theo nghiên cứu của S. McKenzie
(University of Wollongong), D. Gerace (University of Wollongong), Z. Subedar
(University of Wollongong) (2007), “An Empirical investigation of the Black- Scholes Model: evidence from the Australian Stock” cũng đã kết luận rằng: “Một
vấn đề tiềm năng liên quan đến việc ước lượng độ bất ổn. Các nghiên cứu trong tương lai có thể xem xét bằng cách sử dụng một phương pháp cách tiếp cận đa tham số như phương pháp tiếp cận dựa trên mơ hình ARCH hoặc mơ hình VaR để ước lượng độ bất ổn nhằm cải thiện các kết quả”. Cho nên giả định phương sai không đổi theo thời gian thường không phù hợp đối với dữ liệu chuỗi thời gian như chuỗi tỷ suất sinh lợi. Năm 1982, Engle phát triển mô hình ARCH, cho rằng phương sai của các số hạng nhiễu tại thời điểm t phụ thuộc vào các số hạng nhiễu bình phương ở các giai đoạn trước. Cụ thể nên mơ hình hóa đồng thời giá trị trung bình và phương sai của chuỗi dữ liệu khi nghi ngờ rằng giá trị phương sai thay đổi theo thời gian, được thể hiện như sau:
𝑌𝑡 =𝛽1+ 𝛽2𝑋𝑡 + 𝑢𝑡 (3.37)
uRtR ~ N(0, σP
2
P
)
Ý tưởng này thực ra là cho phép phương sai của các hạng nhiễu phụ thuộc vào giá trị quá khứ (hay phương sai thay đổi qua thời gian) và cách thức để mơ hình hóa cho ý tưởng này đó là cho phương sai phụ thuộc vào các biến trễ của hạng nhiễu bình phương 𝑢𝑡−12 . Điều này được minh họa dưới đây:
σRtRP 2 P = yR0R + yR1RuRt-1RP 2 PR R(3.38)
Thực hiện kiểm định ảnh hưởng mơ hình ARCH
Trước khi ước lượng các mơ hình ARCH(q), điều quan trọng là chúng ta cần kiểm tra xem có tồn tại các ảnh hưởng của ARCH hay khơng. Nếu có ảnh hưởng ARCH thì ta ước lượng theo mơ hình ARCH thay vì theo phương pháp OLS.
Bước 1: Ước lượng phương trình trung bình theo phương pháp OLS
Các biến giải thích bao gồm các biến trễ của biến phụ thuộc và các biến giải thích khác có ảnh hưởng đến YRtR. Ngoài ra, khi thực hiện với dữ liệu mẫu, thì hạng nhiễu uRtRtrong mơ hình được đổi thành phần dư eRtR.
Bước 2: Ước lượng phương trình hồi quy phụ sau:
𝑒𝑡2 =𝛾𝑜+ 𝛾1𝑒𝑡−12 + 𝛾1𝑒𝑡−22 +⋯+𝛾1𝑒𝑡−𝑞2 + 𝑤𝑡 (3.40) Xác định hệ số xác định của mơ hình hồi quy phụ, đặt tên là RP
2
PR
aux Bước 3: Xác định giả thiết HR0Rnhư sau:
HR0R : γR1R = γR2R = … = γRqR (3.41)
Raux2 ∗T(trong đó: T là số quan sát của chuỗi dữ liệu đang được xem xét).
Theo phân phối chi χP
2
Pvới số bậc tự do là số độ trễ q. Nếu giá trị thống kê χP
2
P
tính tốn R2aux ∗Tlớn hơn giá trị χP
2
Ptra bảng thì chúng ta bác bỏ giả thiết HR0Rvà ngược lại.
Nếu bác bỏ giả thiết HR0R, thì ta kết luận chuỗi dữ liệu đang xét có ảnh hưởng Arch.
Cơng thức mơ hình ARCH
Mơ hình ARCH(1)
Mơ hình này sẽ mơ hình hóa đồng thời giá trị trung bình và phương sai của một chuỗi thời gian theo cách được xác định sau đây:
𝑌𝑡 =𝛽1+ 𝛽2𝑋𝑡 + 𝑢𝑡 (𝑢𝑡 ~ 𝑁(0,𝜎2)) (3.42)
ℎ𝑡 =𝛾𝑜+ 𝛾1𝑢𝑡−12 (3.43)
Để đơn giản trong việc thể hiện công thức chúng ta sử dụng ký hiệu hRtR thay cho 𝜎𝑡2 Phương trình (3.42) được gọi là phương trình ước lượng giá trị trung bình và phương trình (3.43) được gọi là phương trình ước lượng giá trị phương sai. Mơ hình ARCH(1) cho rằng khi có một cú sốc lớn xảy ra ở giai đoạn (t-1), thì giá trị uRtR (giá trị tuyệt đối hoặc bình phương) cũng sẽ lớn hơn. Nghĩa là, khi 𝑢𝑡−12 lớn/nhỏ thì phương sai của uRtR cũng sẽ lớn/nhỏ. Từ đây chúng ta có thể đưa ra giá trị dự báo của phương sai trong giai đoạn tiếp theo.
Trên thực tế, phương sai có điều kiện có thể phụ thuộc khơng chỉ một độ trễ mà cịn nhiều độ trễ trước đó nữa vì mỗi trường hợp có thể tạo ra một quy trình ARCH khác nhau.
Chẳng hạn, mơ hình ARCH(2) được thể hiện như sau:
ℎ𝑡 =𝛾𝑜+ 𝛾1𝑢𝑡−12 + 𝛾2𝑢𝑡−22 (3.44)
Như vậy trường hợp tổng quát sẽ là ARCH(q) được thể hiện như sau:
ℎ𝑡 =𝛾𝑜+ ∑𝑞 𝛾𝑗𝑢𝑡−𝑗2
𝑗=0 (3.45)
Như vậy, mơ hình ARCH(q) sẽ mơ hình hóa đồng thời giá trị trung bình và phương sai của một chuỗi theo cách dưới đây:
𝑌𝑡 =𝛽1+ 𝛽2𝑋𝑡 + 𝑢𝑡 (3.46)
𝑢𝑡~ 𝑁(0,𝜎2)
ℎ𝑡 =𝛾𝑜+ ∑𝑞 𝛾𝑗𝑢𝑡−𝑗2
𝑗=0 (3.47)
Từ đây ta có cơng thức phương sai dài hạn:
ℎ𝑡 = 𝛾𝑜 1−∑𝑞𝑗=1𝛾𝑞 (0 ≤ ∑ 𝛾𝑚 𝑖 𝑖=1 < 1) (3.48) Độ bất ổn hay độ lệch chuẩn là: 𝜎 =�ℎ𝑡 (3.49) Mơ hình GARCH
Tương tự như mơ hình ARCH nhưng mơ hình GARCH cho rằng phương sai bây giờ còn phụ thuộc vào giá trị q khứ của chính nó. Được thể hiện qua cơng thức:
ℎ𝑡 =𝛾𝑜+ ∑ 𝜎𝑖ℎ𝑡−𝑖𝑝𝑖=1 + ∑𝑞 𝑢𝑡−𝑗2
𝑗=1 (3.50)
ở đây ℎ𝑡−𝑖 chính là giá trị quá khứ của phương sai ℎ𝑡.
Sau khi ước lượng phương trình phương sai theo cả 2 mơ hình ARCH và GARCH, ta sẽ chọn ra mơ hình phù hợp nhất. Sau đó dùng cơng thức xác định phương sai dài hạn để tính giá trị phương sai.
KẾT LUẬN CHƯƠNG 3
Đề tài thực hiện phương pháp nghiên cứu bằng định lượng thơng qua mơ hình định giá quyền chọn Black Scholes: các đạo hàm hình thành cơng thức mơ hình Black Scholes, một số kiểm định và ước lượng nhằm thỏa mãn các giả định của cơng thức mơ hình định giá quyền chọn Black Scholes như: tn thủ q trình ngãu nhiên Itơ hoặc tuân theo động thái mơ hình hình học Brown.
Ngoài ra theo nghiên cứu của các nhà khoa học: S. McKenzie (University of Wollongong), D. Gerace (University of Wollongong), Z. Subedar (University of
Wollongong) (2007), “An empirical investigation of the Black-Scholes model: Evidence from the Australian Stock”, việc độ bất ổn không thay đổi theo thời gian là không phù hợp với thực tế nhất là đối với chuỗi dữ liệu là thời gian, vì vậy tác giả thực hiện kiểm định ước lượng theo mơ hình ARCH nhằm tăng mức độ chính xác và tính phù hợp của mơ hình Black Scholes.
CHƯƠNG 4: ỨNG DỤNG MƠ HÌNH ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN BLACK SCHOLES TRÊN SÀN GIAO DỊCH HÀNG HĨA QUỐC TẾ LN ĐƠN
ĐỐI VỚI SẢN PHẨM CÀ PHÊ ROBUSTA
4.1. Cơ sở dữ liệu và kết quả thu thập dữ liệu
4.1.1. Cơ sở dữ liệu
Tài sản cơ sở là giá Future cà phê Robusta, Cà phê Robusta (gọi là cà phê vối), thuộc loài thực vật Coffee Canephora. Đây là giống cà phê thích nghi tốt với khí hậu và thổ nhưỡng trên vùng đất đỏ bazan – Tây Nguyên trù phú với độ cao từ 800m – 1,000m so với mặt nước biển. Hạt cà phê Robusta hình bàn cầu trịn, thường có 2 hạt trong 1 trái. Qua q trình chế biến trên dây chuyền thiết bị hiện đại với công nghệ cao, cà phê Robusta có mùi thơm dịu, vị đắng gắt, nước có màu nâu sánh, khơng chua, hàm lượng càfein vừa đủ tạo nên loại cà phê đặc sắc phù hợp với khẩu vị của người Việt Nam. Ngoài cà phê Robusta thì cịn có Arabica, Cherry, Culi và một số loại khác. Tuy nhiên, loại được xuất khẩu chủ yếu ở Việt Nam là cà phê Robusta và được giao dịch trên sàn Giao dịch Hàng hóa Quốc tế Ln đơn.
4.1.2. Tổng quan về sàn giao dịch hàng hóa Quốc tế Ln đơn
Sàn giao dịch Hàng hóa Quốc tế Ln Đơn, tên viết tắt là LIFFE (LIFFE – The London International Financial Futures Exchange) do Ông Brian Williamson thành lập ngày 30/12/1982 nhằm tận dụng những lợi thế của việc loại bỏ quyền kiểm soát tiền tệ ở Anh vào năm 1979.
Vào cuối năm 1996, LIFFE trở thành thị trường trao đổi các hợp đồng tương lai lớn nhất tại Châu Âu. Vào ngày 24/11/2000 LIFFE đã đóng cửa tất cả các nơi giao dịch Open Outcry để thay thế hoàn toàn bằng hệ thống LIFFE CONNECT. Việc thiết kế LIFFE CONNECT đã tạo cho khách hàng sự linh động trong giao dịch, khách hàng có thể thực hiện giao dịch tại bất cứ nơi nào trên thế giới mà không cần đến trực tiếp tại sàn.
Những thông tin cơ bản khi giao dịch tại Sàn LIFFE:
Đơn vị giao dịch Lot = 10 tấn
Đơn vị tính USD/tấn
Biến động giá tối thiểu 1 USD/Tấn
Giờ giao dịch
• Từ thứ 2 đến thứ 6
• Mở cửa: 16:00, Đóng cửa: 00:30 (hơm sau) Tháng giao dịch Các tháng: 3, 5, 7, 9, 11 trong năm.
Ngày giao dịch cuối cùng Vào buổi trưa ngày giao dịch cuối cùng của tháng giao hàng.
4.1.3. Nguồn gốc số liệu
Tác giả thu thập số liệu giá future cà phê Robusta trên sàn LIFFE và nguồn từ Ngân hàng Kỹ thương Việt Nam (Techcombank) của hợp đồng quyền chọn có mã: RMX12. Đây là hợp đồng quyền chọn có thời gian đáo hạn vào cuối tháng 11/2012, là hợp đồng đang được các nhà đầu tư trên thế giới và trong nước hiện rất quan tâm do thời gian đáo hạn vào gần cuối năm 2012, đồng thời nó có tính thanh khoản cao nên tác giả sử dụng nguồn số liệu này.
Tác giả lấy dữ liệu trên Sàn Giao dịch hàng hóa Quốc tế Ln đơn (LIFFE) thơng qua trang website:
4TU
https://globalderivatives.nyx.com/en/contract/content/33666/settlement- prices?tradeDate=09-17-2012&maturityDate=11-01-2012U4T;
và tổng hợp giá cà phê Robusta hàng tuần và trực tuyến hàng ngày tại website: 4TUhttp://giacaphe.com/U4T, cho ra kết quả dữ liệu mẫu từ ngày 04/01/2010 đến 10/9/2012 (Cụ thể chi tiết tại Phụ lục 1).
4.2. Xử lý dữ liệu
4.2.1. Phân tích dữ liệu
Căn cứ số liệu mẫu gồm 684 quan sát tại Phụ Lục 1, cho thấy tình hình biến động giá future cà phê Robusta của hợp đồng RMX12 được biểu diễn như sau:
Từ hình 4.1 trên, ta thấy của giá cà phê Robusta có sự biến động khơng ổn định, năm 2010 giá ở mức thấp (dưới 1,500$), qua năm 2011 giá cà phê có dấu hiệu tăng cao có lúc vượt ngưỡng trên 2,500$ do ảnh hưởng suy thoái của nền kinh tế thế giới nên người tiêu dùng trên thế giới có xu hướng chuyển dần sang sử dụng cà phê Robusta thay cho cà phê Arabica vì giá rẻ (chỉ bằng khoảng 1/3) và trong 8 tháng đầu năm 2012, giá cà phê lúc tăng, lúc giảm nhưng có chiều hướng giảm dần vào đầu tháng 9/2012, theo dự báo sẽ tăng trong các tháng vào cuối niên vụ 2011/12.
Lấy lo-ga-rit giá future cà phê Robusta đóng cửa từng ngày giao dịch (ký hiệu là XRtR). Từ cơng thức (3.25), ta có:
XRtR = Ln(SRtR)
Tỷ suất sinh lời của giá future cà phê Robusta (ký hiệu là RRiR). Theo công thức (3.14), ta có:
Ri =(St− St−1)
St−1
4.2.2. Một số kiểm định và ước lượng thỏa mãn giả định của công thức mơ hình Black Scholes
4.2.2.1. Kiểm định tính phân phối chuẩn của chuỗi lo-ga-rit giá future cà
phê Robusta 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 04 /0 1/ 20 10 04 /0 3/ 20 10 04 /0 5/ 20 10 04 /0 7/ 20 10 04 /0 9/ 20 10 04 /1 1/ 20 10 04 /0 1/ 20 11 04 /0 3/ 20 11 04 /0 5/ 20 11 04 /0 7/ 20 11 04 /0 9/ 20 11 04 /1 1/ 20 11 04 /0 1/ 20 12 04 /0 3/ 20 12 04 /0 5/ 20 12 04 /0 7/ 20 12 04 /0 9/ 20 12 St
Kiểm định tính phân phối chuẩn của chuỗi giá tài sản cơ sở (SRtR) tương đương với việc kiểm định lo-ga-rit giá future sản phẩm cà phê Robusta (XRtR=Ln(SRtR)) là một bước ngẫu nhiên. Tức là kiểm định XRtRlà một bước ngẫu nhiên.
Hình 4.2: Biểu đồ Lo-ga-rit giá future cà phê Robusta (XRtR)
Tác giả sử dụng phần mềm Eviews 6 để thực hiện kiểm định nghiệm đơn vị theo tiêu chuẩn Dickey–Fuller (DF) ta có kết quả như sau:
Bảng 4.1:Bảng kết quả kiểm định phân phối chuẩn của chuỗi giá tài sản cơ sở
Null Hypothesis: XRtR=Ln(SRtR) has a unit root Exogenous: Constant
Lag Length: 1 (Automatic based on SIC, MAXLAG=19)
t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -1.847918 0.3572 Test critical values: 1% level -3.439710
5% level -2.865561 10% level -2.568968 *MacKinnon (1996) one-sided p-values.
Augmented Dickey-Fuller Test Equation