CHƯƠNG 3 : PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
3.2. Một số mơ hình kiểm định và ước lượng thỏa mãn giả định của cơng thức mơ
3.2.3.2. Ước lượng bằng mơ hình ARCH
Mơ tả mơ hình
Chúng ta biết rằng, phân tích kinh tế lượng cổ điển đều giả định phương sai của sai số là không đổi theo thời gian, tuy nhiên thường xảy ra dao động cao vào một số giai đoạn theo sau một số giai đoạn tương đối ít biến động và điều này chịu ảnh hưởng ít nhiều của các tin tức tốt, xấu có liên quan và các nhà đầu tư trên thị
trường đều ứng xử theo kiểu hành vi đám đông. Theo nghiên cứu của S. McKenzie
(University of Wollongong), D. Gerace (University of Wollongong), Z. Subedar
(University of Wollongong) (2007), “An Empirical investigation of the Black- Scholes Model: evidence from the Australian Stock” cũng đã kết luận rằng: “Một
vấn đề tiềm năng liên quan đến việc ước lượng độ bất ổn. Các nghiên cứu trong tương lai có thể xem xét bằng cách sử dụng một phương pháp cách tiếp cận đa tham số như phương pháp tiếp cận dựa trên mơ hình ARCH hoặc mơ hình VaR để ước lượng độ bất ổn nhằm cải thiện các kết quả”. Cho nên giả định phương sai không đổi theo thời gian thường không phù hợp đối với dữ liệu chuỗi thời gian như chuỗi tỷ suất sinh lợi. Năm 1982, Engle phát triển mơ hình ARCH, cho rằng phương sai của các số hạng nhiễu tại thời điểm t phụ thuộc vào các số hạng nhiễu bình phương ở các giai đoạn trước. Cụ thể nên mơ hình hóa đồng thời giá trị trung bình và phương sai của chuỗi dữ liệu khi nghi ngờ rằng giá trị phương sai thay đổi theo thời gian, được thể hiện như sau:
𝑌𝑡 =𝛽1+ 𝛽2𝑋𝑡 + 𝑢𝑡 (3.37)
uRtR ~ N(0, σP
2
P
)
Ý tưởng này thực ra là cho phép phương sai của các hạng nhiễu phụ thuộc vào giá trị quá khứ (hay phương sai thay đổi qua thời gian) và cách thức để mơ hình hóa cho ý tưởng này đó là cho phương sai phụ thuộc vào các biến trễ của hạng nhiễu bình phương 𝑢𝑡−12 . Điều này được minh họa dưới đây:
σRtRP 2 P = yR0R + yR1RuRt-1RP 2 PR R(3.38)
Thực hiện kiểm định ảnh hưởng mơ hình ARCH
Trước khi ước lượng các mơ hình ARCH(q), điều quan trọng là chúng ta cần kiểm tra xem có tồn tại các ảnh hưởng của ARCH hay khơng. Nếu có ảnh hưởng ARCH thì ta ước lượng theo mơ hình ARCH thay vì theo phương pháp OLS.
Bước 1: Ước lượng phương trình trung bình theo phương pháp OLS
Các biến giải thích bao gồm các biến trễ của biến phụ thuộc và các biến giải thích khác có ảnh hưởng đến YRtR. Ngồi ra, khi thực hiện với dữ liệu mẫu, thì hạng nhiễu uRtRtrong mơ hình được đổi thành phần dư eRtR.
Bước 2: Ước lượng phương trình hồi quy phụ sau:
𝑒𝑡2 =𝛾𝑜+ 𝛾1𝑒𝑡−12 + 𝛾1𝑒𝑡−22 +⋯+𝛾1𝑒𝑡−𝑞2 + 𝑤𝑡 (3.40) Xác định hệ số xác định của mơ hình hồi quy phụ, đặt tên là RP
2
PR
aux Bước 3: Xác định giả thiết HR0Rnhư sau:
HR0R : γR1R = γR2R = … = γRqR (3.41)
Raux2 ∗T(trong đó: T là số quan sát của chuỗi dữ liệu đang được xem xét).
Theo phân phối chi χP
2
Pvới số bậc tự do là số độ trễ q. Nếu giá trị thống kê χP
2
P
tính tốn R2aux ∗Tlớn hơn giá trị χP
2
Ptra bảng thì chúng ta bác bỏ giả thiết HR0Rvà ngược lại.
Nếu bác bỏ giả thiết HR0R, thì ta kết luận chuỗi dữ liệu đang xét có ảnh hưởng Arch.
Cơng thức mơ hình ARCH
Mơ hình ARCH(1)
Mơ hình này sẽ mơ hình hóa đồng thời giá trị trung bình và phương sai của một chuỗi thời gian theo cách được xác định sau đây:
𝑌𝑡 =𝛽1+ 𝛽2𝑋𝑡 + 𝑢𝑡 (𝑢𝑡 ~ 𝑁(0,𝜎2)) (3.42)
ℎ𝑡 =𝛾𝑜+ 𝛾1𝑢𝑡−12 (3.43)
Để đơn giản trong việc thể hiện công thức chúng ta sử dụng ký hiệu hRtR thay cho 𝜎𝑡2 Phương trình (3.42) được gọi là phương trình ước lượng giá trị trung bình và phương trình (3.43) được gọi là phương trình ước lượng giá trị phương sai. Mơ hình ARCH(1) cho rằng khi có một cú sốc lớn xảy ra ở giai đoạn (t-1), thì giá trị uRtR (giá trị tuyệt đối hoặc bình phương) cũng sẽ lớn hơn. Nghĩa là, khi 𝑢𝑡−12 lớn/nhỏ thì phương sai của uRtR cũng sẽ lớn/nhỏ. Từ đây chúng ta có thể đưa ra giá trị dự báo của phương sai trong giai đoạn tiếp theo.
Trên thực tế, phương sai có điều kiện có thể phụ thuộc khơng chỉ một độ trễ mà cịn nhiều độ trễ trước đó nữa vì mỗi trường hợp có thể tạo ra một quy trình ARCH khác nhau.
Chẳng hạn, mơ hình ARCH(2) được thể hiện như sau:
ℎ𝑡 =𝛾𝑜+ 𝛾1𝑢𝑡−12 + 𝛾2𝑢𝑡−22 (3.44)
Như vậy trường hợp tổng quát sẽ là ARCH(q) được thể hiện như sau:
ℎ𝑡 =𝛾𝑜+ ∑𝑞 𝛾𝑗𝑢𝑡−𝑗2
𝑗=0 (3.45)
Như vậy, mơ hình ARCH(q) sẽ mơ hình hóa đồng thời giá trị trung bình và phương sai của một chuỗi theo cách dưới đây:
𝑌𝑡 =𝛽1+ 𝛽2𝑋𝑡 + 𝑢𝑡 (3.46)
𝑢𝑡~ 𝑁(0,𝜎2)
ℎ𝑡 =𝛾𝑜+ ∑𝑞 𝛾𝑗𝑢𝑡−𝑗2
𝑗=0 (3.47)
Từ đây ta có công thức phương sai dài hạn:
ℎ𝑡 = 𝛾𝑜 1−∑𝑞𝑗=1𝛾𝑞 (0 ≤ ∑ 𝛾𝑚 𝑖 𝑖=1 < 1) (3.48) Độ bất ổn hay độ lệch chuẩn là: 𝜎 =�ℎ𝑡 (3.49) Mơ hình GARCH
Tương tự như mơ hình ARCH nhưng mơ hình GARCH cho rằng phương sai bây giờ còn phụ thuộc vào giá trị quá khứ của chính nó. Được thể hiện qua cơng thức:
ℎ𝑡 =𝛾𝑜+ ∑ 𝜎𝑖ℎ𝑡−𝑖𝑝𝑖=1 + ∑𝑞 𝑢𝑡−𝑗2
𝑗=1 (3.50)
ở đây ℎ𝑡−𝑖 chính là giá trị quá khứ của phương sai ℎ𝑡.
Sau khi ước lượng phương trình phương sai theo cả 2 mơ hình ARCH và GARCH, ta sẽ chọn ra mơ hình phù hợp nhất. Sau đó dùng cơng thức xác định phương sai dài hạn để tính giá trị phương sai.
KẾT LUẬN CHƯƠNG 3
Đề tài thực hiện phương pháp nghiên cứu bằng định lượng thơng qua mơ hình định giá quyền chọn Black Scholes: các đạo hàm hình thành cơng thức mơ hình Black Scholes, một số kiểm định và ước lượng nhằm thỏa mãn các giả định của cơng thức mơ hình định giá quyền chọn Black Scholes như: tn thủ q trình ngãu nhiên Itơ hoặc tn theo động thái mơ hình hình học Brown.
Ngồi ra theo nghiên cứu của các nhà khoa học: S. McKenzie (University of Wollongong), D. Gerace (University of Wollongong), Z. Subedar (University of
Wollongong) (2007), “An empirical investigation of the Black-Scholes model: Evidence from the Australian Stock”, việc độ bất ổn không thay đổi theo thời gian là không phù hợp với thực tế nhất là đối với chuỗi dữ liệu là thời gian, vì vậy tác giả thực hiện kiểm định ước lượng theo mơ hình ARCH nhằm tăng mức độ chính xác và tính phù hợp của mơ hình Black Scholes.
CHƯƠNG 4: ỨNG DỤNG MƠ HÌNH ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN BLACK SCHOLES TRÊN SÀN GIAO DỊCH HÀNG HĨA QUỐC TẾ LN ĐƠN
ĐỐI VỚI SẢN PHẨM CÀ PHÊ ROBUSTA