Giả sử khác: paa ≤ 4 + pbb
Xét một cặp ứng viên liên quan đến người lao động a, công ty b, và p = paa - 3. Người lao động a thích hợp hơn kết quả ghép cặp hiện tại, vì 8 + p> 4 + paa.
Trong tính tốn một ràng buộc thấp hơn về kết quả của công ty trong một cặp ghép, công ty b nên hiểu rằng người lao động loại 1 khơng tìm thấy một cặp ghép hấp
dẫn, vì 4 + p <2 + paa. Với niềm tin rằng người lao động a có loại ít nhất 2, cơng ty
b sau đó cũng tìm thấy sự phù hợp hơn so với cặp ghép hiện tại, vì 8 – p > 4 - pbb.
Điều này đảm bảo rằng các loại thấp nhất của công ty và người lao động phải được ghép cặp. Logic này có thể được lặp đi lặp lại để chỉ ra rằng hai loại người lao
động thấp nhất phải phù hợp với hai loại thấp nhất của các công ty, ba loại người lao động thấp nhất với ba loại thấp nhất, như vậy cho kết quả là khi giá trị tiền thù lao có tính siêu modul, chỉ có cặp ghép loại tích cực có thể được ổn định.
2.3 Tính ổn định thuật tốn ghép đơi với thơng tin khơng đầy đủ
2.3.1 Tính hợp lý riêng
Một cặp ghép được cho là sự lựa chọn hợp lý riêng nếu mỗi phần tử tham gia ghép đơi nhận được ít nhất một khoản thanh tốn cao hơn hoặc bằng với những cặp chưa được ghép có thể nhận được, có nghĩa là, nhận được ít nhất bằng 0.
Một khi công ty quan sát các loại người lao động mà họ được ghép đôi trong giai đoạn làm việc tạm thời, khái niệm tính hợp lý riêng cũng đồng nghĩa với sự ghép đôi với thông tin đầy đủ và không đầy đủ.
Định nghĩa 6: Kết quả (μ, p, w, f) là sự lựa chọn hợp lý riêng nếu:
vw(i), f(μ(i)) + pi, μ(i) ≥ 0 mọi i ∈ X
φw(μ−1(j)), f(j) − pμ−1(j), j ≥ 0 mọi j ∈ Y.
2.3.2 Tính ổn định với thơng tin đầy đủ
Khái niệm ổn định trong q trình ghép đơi được đề ra lần đầu tiên bởi Shapley and Shubik (1971)[17]. Đây cũng chính là người đã hình thành nên sự tồn tại. Crawford and Knoer (1981) [7] cung cấp bằng chứng tồn tại hiệu quả bằng cách áp dụng thuật tốn chấp nhận trì hỗn cho một mơ hình với các khoản thanh tốn riêng biệt.
Định nghĩa 7: Kết quả ghép đôi (μ, p, w, f) là ổn định với thông tin đầy đủ nếu
nó là sự lựa chọn hợp lý riêng, và khơng có sự kết hợp giữa người lao động - công ty (i, j) và sự chi trả p ∈ R từ j tới i sao cho:
vw(i), f(j) + p = vw(i), f(μ(i)) + pi, μ(i)
φw(i), f(j) – p = φw(μ−1(j)), f(j) − pμ−1(j), j.
Nếu (μ, p, w, f) là kết quả ổn định với thông tin đầy đủ, sự phân phối (μ, p) là sự phân phối ổn định với thông tin đầy đủ tại (w, f).
Rõ ràng với mỗi loại phân công (w, f), một sự phân phối ổn định với thông tin đầy đủ tồn tại và các phần tử trên cùng một mặt thị trường có thể thu được kết quả tương tự nếu chúng có cùng loại hay nói các khác cách xử lý này là cơng bằng đối với các vật ngang hàng.
2.3.3 Tính ổn định với thông tin không đầy đủ
Chúng ta luôn quan tâm tới sự ổn định của một cặp ghép khi mỗi người lao động biết được loại của chúng, thế nhưng không phải phần tử nào cũng biết đến sự phân loại loại người lao động. Chúng ta xem xét sự ổn định như việc ghi lại trạng thái ổn định: Sự ghép đôi là ổn định nếu khi được thiết lập nó vẫn cịn ở ngun vị trí. Xem xét các người lao động và các công ty trên thị trường lao động mà các người lao động/công ty này đang quan sát một cặp ghép cụ thể nào đó (cùng với các khoản thanh tốn liên quan). Nếu cặp ghép ổn định, thì chúng ta nên trơng chờ để xem xét cặp ghép tương tự khi thị trường lao động mở cửa, và cả những lần thị trường lao động mở sau đó nữa. Để điều này có thể hoạt động, chúng ta biểu thị sự liên quan về việc khơng tính các cặp ghép tạo ra cặp chặn được biết đến.
Chúng ta nhấn mạnh điều mà một cơng ty có thể quan sát: loại của tất cả các công ty, sự phân phối mà từ đó hàm phân cơng cho các loại người lao động đã được thiết lập, loại người lao động hiện thời của công ty, và người lao động vào ghép đôi với công ty nào với chi phí ra sao. Bởi vậy, một cơng ty đánh giá một khối ứng viên liên quan đến người lao động i biết danh tính và loại người lao động với người mà i được ghép đơi trong q trình phân phối ổn định giả thiết cùng chi phí của nó.
Chúng ta làm mẫu các suy luận của các công ty thông qua thủ tục loại bỏ lặp đi lặp lại các kết quả ghép đôi bị chặn. Công thức này giống với khái niệm lý thuyết trị chơi về sự hợp lý hố [6], thu được thông qua sự loại bỏ lặp đi lặp lại các chiến lược mà không bao giờ là phản ứng tốt nhất, mặc dù sự tương tự có thể là sự lặp đi lặp lại suy diễn xuất hiện trong vấn đề "chiếc mũ màu sắc" cổ điển, với các thảo luận về kiến thức thông thường được giới thiệu (Geanakoplos (1994, p. 1439))[9]. Lý luận tương tự nằm phía sau định lý khơng thương mại của Milgrom and Stokey (1982) [13].
Xem xét cặp ghép của một cơng ty có dự tính chặn với một người lao động, biết rằng việc nhận diện loại người lao động phù hợp với bộ kết quả cặp ghép Σ, và giả sử cơng ty có sự phân bố xác suất đối với những loại người lao động thích hợp. Cơng ty sẽ đồng ý với sự thay đổi được dự tính ở phía đối tác nếu như lợi ích kỳ
vọng từ việc làm đó khả quan. Nếu lợi nhuận kỳ vọng của thay đổi là tích cực đối với mọi mong muốn mà cơng ty có thể có, khi đó khơng cần phải biết mong muốn của công ty để chắc chắn rằng công ty sẽ đồng ý với sự thay đổi này. Khái niệm cặp chặn được thiết kế để chỉ loại trừ các kết quả mà có thể chắc chắn sẽ gây ra phản đối. Trong định nghĩa sau sẽ đề cập đến vấn đề cặp chặn và tính ổn định:
Định nghĩa 8: Một bộ khác rỗng các kết quả ghép đôi hợp lý riêng là Σ. Kết quả
cặp ghép (μ, p, w, f) ∈Σ làΣ – bị chặn nếu có một cặp người lao động - công ty (i, j) và thanh toán p ∈ R thỏa mãn:
(1) vw(i), f(j) + p > vw(i), f(μ(i)) + pi, μ(i), (2) φw’(i), f(j) – p > φw’(μ−1(j)), f(j) − pμ−1(j), j
Với tất cả w’ ∈ Ω thỏa mãn (3) (μ, p, w’, f) ∈Σ,
(4) w’( μ−1(j)) = w(μ−1(j)),
(5) vw’(i), f(j) + p > vw’(i), f(μ(i)) + pi, μ(i).
Kết quả ghép đôi(μ, p, w) ∈Σ làΣ - ổn định nếu nó khơng phải là Σ - bị chặn. Bất đẳng thức (1) đòi hỏi rằng người lao động i nhận được lợi nhuận cao hơn so với đề ra trong việc ghép đôi.
Bất đẳng thức (2) địi hỏi cơng ty j thu được lợi nhuận cao hơn so với đề ra trong việc ghép đôi, dù cho với bất cứ niềm tin hợp lý nào về việc cơng ty có sự phân cơng loại người lao động. Quan niệm về "tính hợp lý" chỉ hạn chế sự ủng hộ của các niềm tin như vậy, và bởi vậy chúng ta bỏ qua các niềm tin, miêu tả các hạn chế về sự hỗ trợ trực tiếp.
Để có đủ tiêu chuẩn hợp lý, một sự phân loại phải thỏa mãn ba tiêu chí, được đưa ra bởi (3) - (5): (3) phân loại phải phù hợp với kết quả phù hợp trong tập Σ, một sự giới hạn sẽ trở thành hoạt động trong đối số lặp mà chúng ta sẽ xây dựng tiếp theo; (4) phân loại không được mâu thuẫn với những gì cơng ty j đã biết tại giai
đoạn tạm thời, nghĩa là, nó phải phù hợp với người lao động hiện tại μ−1(j) của loại
công ty j; và (5) loại người lao động i với người được ghép đôi trong khối tiềm năng phải phù hợp với các ưu đãi của i (ví dụ, loại người lao động này tốt hơn là dưới sự ghép đôi hiện tại của người lao động).
Đối số trong phần 2.2.2.3 cho thấy kết quả ghép cặp của hình 12 là Σ0-bị chặn,
trong đó Σ0 là tập hợp tất cả các kết quả phù hợp với từng cặp ghép riêng lẻ, không phân biệt mức độ thanh toán. Đối số này là tổng quát, và cho thấy rằng nếu các giá trị tiền thù lao tăng lên và có tính chất siêu modul thì khơng có kết quả ghép cặp nào là Σ0- ổn định nếu loại người lao động thấp nhất được ghép cặp và loại công ty thấp
nhất không được ghép đôi với nhau. Trong các trường hợp khác, tính chất chính xác của các khoản thanh toán sẽ xác định xem liệu kết quả ghép cặp có phải là Σ0-bị chặn. Ví dụ, kết quả ghép cặp trong hình 13 có thể hoặc khơng phải là Σ0-bị chặn,
phụ thuộc vào p. Giả sử rằng pcc = −2, và xem xét một cặp chặn ứng viên bao gồm người lao động b (người có loại 3) và cơng ty c, với chi phí chi trả p ∈ (1, 2). Người lao động b thích kết quả ghép cặp này hơn là kết quả được đề xuất. Hơn nữa, cơng ty c có thể tính tốn rằng một người lao động kết hợp với công ty b sẽ thích sự ghép cặp thay thế khi và chỉ khi người lao động thuộc loại 3, đảm bảo rằng công ty c
cũng thích ghép cặp chặn ứng viên và vì thế mà kết quả ứng viên là Σ0-ổn định.
Ngược lại, kết quả với pcc = -4 (kết quả từ hình 11) là Σ0-ổn định: Lưu ý rằng người
lao động b và công ty c khơng cịn bị chặn bởi vì tổng lợi nhuận của cặp đôi bằng số dư của mà cặp đơi ghép cặp. Hơn nữa, nó cịn là hàm ý được thảo luận trong phần
2.2.2.1 nơi người lao động c và cơng ty b khơng thể hình thành một cặp chặn.