Hơn nữa, gọi tập E là tập hợp các phân bổ, trong đó μ, p, và f được thể hiện như trong hình 20. Người lao động a thuộc loại 2, người lao động b, c, d được vẽ từ tập hợp hốn vị của (2, 2, 4). Khi đó, E là một tập ổn định khơng có kết quả ổn định
thơng tin đầy đủ, trong khi đó ta vẫn thường dễ dàng chỉ ra rằng một phân bổ là ổn định thông tin không đầy đủ bằng cách ghép nó với một tập ổn định có kết quả ổn định thông tin đầy đủ, điều này không cần thiết. Thật vậy, gọi tập Σ hỗ trợ ổn định tập E, khơng có phân bổ ổn định thơng tin đầy đủ, sẽ làm tăng hàm giá p. Khó khăn trong ví dụ này là các quan sát, cụ thể là các loại hình cơng ty vàmức lương, đều giống nhau đối với tất cả các công ty thuộc loại 3. Do đó, cả người quan sát bên
ngồi đã biết công ty là loại 3 và cả những loại công ty khác loại 3 đều không xác định được loại người lao động nào mà công ty được kết hợp.Sự bất lợi này sẽ được loại bỏ nếu hoặc tất cả công ty, hoặc tất cả người lao động là khác biệt.
Mệnh đề 4: Giả sử áp dụng giả thiết 1 và 2, Ω là tập hốn vị. Sự ổn định thơng
tin không đầy đủ trùng với thông tin đầy đủ nếu: 1. Các cơng ty khác nhau có các loại khác nhau, 2. Người lao động khác nhau có các loại khác nhau.
Trường hợp đầu tiên (cơng ty khác nhau thì loại khác nhau) là đơn giản, vì các loại cơng ty hồn tồn cho biết các loại người lao động trong một cặp ghép phù hợp.
Đối với trường hợp thứ hai (người lao động khác nhau thì loại khác nhau), mức lương p quan sát được là thông tin đầy đủ về loại người lao động bất kể cơng ty loại gì. Các điều kiện đủ được đưa ra trong đề xuất này là không cần thiết, và có thể bị suy yếu một chút với chi phí cho một số loại báo cáo phức tạp hơn. Ví dụ, theo mỗi cặp ghép phù hợp, khơng có sự chồng chéo giữa những chuỗi cùng loại người lao động và chuỗi cùng loại công ty.
2.5 Thuật tốn ghép đơi đảm bảo tính ổn định
2.5.1 Ý tưởng
Trong phần trên luận văn đã trình bày về các khái niệm về thông tin không đầy đủ, các khái niệm và một số tính chất về khả năng bị chặn, tính ổn định.
Với mơi trường thơng tin khơng đầy đủ được nói trong phần 2.2, phần này luận văn sẽ trình bày về các bước ghép đôi giữa công ty và người lao động. Bài tốn ghép đơi giữa người lao động và công ty là một trường hợp của thuật tốn ghép cặp trong đồ thị hai phía. Bài tốn này cũng giống bài tốn hơn nhân bền vững ta có thể áp dụng thuật tốn Gale-Shapley để giải quyết nhưng có cơ chế về tính ổn định khác với bài tốn hơn nhân bền vững, tính ổn định được thể hiện rõ trong phần 2.3.
2.5.2 Thuật toán
Bƣớc 1:
Người lao động ứng tuyển vào cơng ty có thứ tự đầu tiên trong tiêu chuẩn lựa chọn của mình.
Vì mỗi cơng ty có thể sẽ nhận được nhiều lời đề nghị cùng một lúc nên các công ty sẽ chỉ chấp nhận người lao động đó nếu cơng ty mình cịn thiếu nhân sự.
Sau vòng 1 nếu số người lao động ứng tuyển vào công ty vượt quá chỉ tiêu nhân sự của công ty, công ty sẽ giữ lại những người lao động đem lại lợi nhuận cao hơn cho công ty và từ chối những ứng viên đem lại lợi ích thấp hơn
Bƣớc 2:
Các ứng viên bị từ chối ở vòng trước sẽ tiếp tục đưa ra đề xuất tới cơng ty có trong tập tiêu chuẩn lựa chọn của mình.
Vịng lặp này kết thúc khi không tồn tại trường hợp có người lao động chưa được công ty nào chấp nhận nhưng vẫn cịn cơng ty mà người lao động này chưa ứng tuyển, cặp người lao động và công ty này đảm bảo được tính ổn định là khơng bị các ứng viên khác chặn trong quá trình ghép cặp.
Mã giả:
1. StableMatching()
2. Khởi tạo: người lao động i X, công ty j Y; (μ0
, p0, w0, f0)
3. While ( i | (i,))
4. j = cơng ty mà i thích nhất mà vẫn chưa nộp đơn;
5. if (, j)
6. Bộ ghép: (μ, p, w, f)
7. else ( 1 cặp (i, j) ) {
8. if(cặp ghép (μ, p, w, f) bị chặn bởi (μ’, p’, w’, f’)) 9. Bộ ghép: (μ’, p’, w’, f’) 10. else 11. Bộ ghép: (μ, p, w, f) 12. endif; 13. endif; 14. End
2.6 Minh họa với bài toán cụ thể
2.6.1 Bài tốn ghép đơi người lao động với cơng ty
Phần này sẽ trình bày các bước trong bài tốn ghép cặp người lao động và cơng ty, bài tốn thỏa mãn tính ổn định thơng qua một ví dụ cụ thể:
Input:
Có ba người lao động và cơng ty (X = Y = {a, b, c, d}).Tập hợp các loại người lao động có thể là W = {2, 2, 2, 4}. Tập các loại cơng ty có thể là F = {2, 3, 3, 3}.Sự
phân công loại công ty được cho bởi f (a) = 2, f(b) = 3, f(c) = 3, và f(d) = 3.
Một người lao động thuộc loại w và một cơng ty có loại f tạo ra một giá trị thù lao wf cho mỗi tác nhân là: νwf = φwf = wf.
Output: Tìm ra được cặp ghép người lao động và cơng ty đảm bảo được tính ổn
định với thơng tin khơng đầy đủ.
Bài tốn khơng có thơng tin các loại người lao động, tập các khả năng là W = {2,
2, 2, 4}. Loại người lao động có thể được rút ra độc lập với bộ này, hoặc có thể
được rút ra theo bất kỳ phương thức nào khác.
Cùng các khoản thanh toán là: paa = -4, pbb = -6, pcc = -6, pdd = -6 Kết quả ổn định của bài tốn được thể hiện trong hình sau:
Hình 21: Kết quảđảm bảo tính ổn định với thơng tin không đầy đủ
2.6.2 Bài tốn hơn nhân bền vững khơng đầy đủ thông tin
Trong chương 1 đã trình bày ý tưởng, thuật toán ghép đơi trong bài tốn hơn nhân bền vững với thông tin đầy đủ. Đối với thông tin không đầy đủ bài tốn hơn nhân bền vững có trường hợp lực lượng hai bên ghép đơi khơng bằng nhau, người đàn ông hoặc người phụ nữ chỉ quan tâm tới một số bên đối phương.
Ví dụ 5:
Cho một tập gồm 4 người đàn ông: M= {m1, m2, m3, m4}
Tập có thứ tự về tiêu chuẩn lựa chọn của người đàn ông m1: Sm1 = {w1, w2, w3} Tập có thứ tự về tiêu chuẩn lựa chọn của người đàn ông m2: Sm2 = {w1, w2, w3} Tập có thứ tự về tiêu chuẩn lựa chọn của người đàn ông m3: Sm3 = {w2, w3, w1} Tập có thứ tự về tiêu chuẩn lựa chọn của người đàn ông m3: Sm4 = {w3, w1, w2} Cho một tập gồm 3 người phụ nữ: W= {w1, w2, w3}
Tập có thứ tự về tiêu chuẩn lựa chọn của người phụ nữw1: Sw1 = {m3, m4, m1, m2} Tập có thứ tự về tiêu chuẩn lựa chọn của người phụ nữw2: Sw2 = {m4, m1, m2, m3} Tập có thứ tự về tiêu chuẩn lựa chọn của người phụ nữw3: Sw3 = {m1, m2, m3, m4}
Dựa vào tiêu chuẩn lựa chọn của nhưng người đàn ông m1, m2, m3, m4 và phụ nữ
w1, w2, w3ta có tập thứ tự lựa chọn theo bảng sau:
w1 w2 w3 m1 (1, 3) (2, 2) (3, 1) m2 (1, 4) (2, 3) (3, 2) m3 (3, 1) (1, 4) (2, 3) m4 (2, 2) (3, 1) (1, 4) Các bước thực hiện: w1 w2 w3 Bước 1 m1, m2 m3 m4 Bước 2 m1 m2, m3 m4 Bước 3 m1 m2 m3, m4 Bước 4 m1, m4 m2 m3 Bước 5 m4 m1, m2 m3 Bước 6 m4 m1 m2, m3 Bước 7 m4, m3 m1 m2 Bước 8 m3 m1, m4 m2 Bước 9 m3 m4 m1, m2 Bước 10 m3 m4 m1
Các bước thực hiện người đàn ông sẽ lần lượt ngỏ lời với người phụ nữ trong lựa trọn của mình, người phụ nữ sẽ giữ lại lời đính hơn của người đàn ơng mà mình ưu tiên nhất trong tập lựa chọn của họ. Ta có kết quả sau các bước ghép đôi:
Lần 1 (m1, w1) (m2,) (m3, w2) (m4,w3) Lần 2 (m1, w1) (m2, w2) (m3, ) (m4,w3) Lần 3 (m1, w1) (m2, w2) (m3, w3) (m4, ) Lần 4 (m4, w1) (m2, w2) (m3, w3) (m1, ) Lần 5 (m4, w1) (m1, w2) (m2, ) (m3, w3) Lần 6 (m4, w1) (m1, w2) (m2, w3) (m3, ) Lần 7 (m3, w1) (m4, ) (m1, w2) (m2, w3) Lần 8 (m3, w1) (m4, w2) (m1, ) (m2, w3) Lần 9 (m3, w1) (m4, w2) (m1, w3) (m2, )
Sau 9 lần thực hiện ta được kết quả các cặp ghép người đàn ông và phụ nữ sau:
{(m3, w1); (m4, w2); (m1, w3)}. Ở đây người đàn ơng m2khơng tìm được người phụ
nữ ghép đơi với mình.
2.6.3 Bài toán tuyển sinh đại học
Trong nhưng năm gần đây hình thức tuyển sinh đại học ở nước ta đã có một số thay đổi cho phù hợp với mồ hình đào tạo. Hiện tại hình thức tuyển sinh đại học ở nước ta là:
Học sinh làm hồ sơ dự thi THPT quốc gia song song với việc đăng ký nguyện vọng xét tuyển đại học, thí sinh khơng bị giới hạn nguyện vọng khi đăng ký xét tuyển. Sau khi đăng ký thí sính tham gia thi THPT quốc gia để được cơng nhân tốt nghiệp THPT quốc gia, thí sinh gửi giấy chứng nhận kết quả thi để nhà trường có căn cứ xét tuyển, trong thời gian này thí sinh được thay đổi nguyện vọng xét tuyển. Các trường đại học tiếp nhận hồ sơ ứng tuyển của các thí sinh và sẽ lựa chọn những thí sinh có điểm từ cao xuống thấp cho đến khi hết chỉ tiêu, thí sinh khơng trúng tuyển được quyền rút hồ sơ đăng ký xét tuyển để đăng ký xét tuyển đợt tiếp theo.
Mơ hình tuyển sinh đại học vào các trường trung học ở Mỹ trước năm 2003: các học sinh trung học được u cầu liệt kê 5 trường mà mình ưa thích, tiếp theo danh sách này được gửi đến các trường đại học. Các trường học sẽ lựa chọn xem học sinh
nào phù hợp và từ chối những học sinh khác. Quá trình này lặp lại khoảng hơn 2 vòng, và các trường sẽ lựa chọn được những thí sinh phù hợp với trường mình.
Nhưng với hình thức tuyển sinh như vậy, kết quả là hơn 30.000 thí sinh phải theo học ở trường mà mình khơng liệt kê trong danh sách, các trường học bị loại bớt cơ hội lựa chọn những thí sinh mình mong muốn. Hơn nữa, cơ chế này dẫn đến việc trình bày sai sở thích của mỗi sinh viên.
Năm 2003, Alvin Roth và các đồng nghiệp đã thiết kế quá trình nhập học dựa trên thuật toán Gale-Shapley. Các thuật toán mới được chứng minh là thành công với việc giảm 90% các sinh viên phải học các trường mà họ khơng thích. Ngày nay rất nhiều khu vực đô thị ở Mỹ đã sử dụng một số biến thể của thuật toán Gale- Shapley.
Mơ hình tuyển sinh đại học ở nước ta với mơ hình tuyển sinh đại học và trung học phổ thơng ở Mỹ có nhiều điểm tương đồng, nhưng với việc sử dụng thuật tốn Gale-Shapley cho mơ hình tuyển sinh của mình, các trường học ở Mỹ đã đạt được nhiều thành cơng, giải quyết được nhiều khó khăn mà mơ hình tuyển sinh này đem lại. Phần này luận văn trình bày thuật tốn ghép cặp Gale-Shapley có thể áp dụng cho bài tốn tuyển sinh ở nước ta.
Trong bài tốn tuyển sinh: mỗi thí sinh nộp đơn xét tuyển đại học sẽ đưa ra tập hợp thứ tự các nguyện vọng chọn trường của mình, cùng với đó là giấy xác nhận điểm thi THPT quốc gia. Nhà trường sẽ công khai các chỉ tiêu tuyển sinh cho tất cả các thí sinh tham gia tuyển sinh.
Các trường sẽ chỉ biết được thông tin điểm thi của thí sinh nộp vào trường mình mà không biết được thông tin điểm thi của các thí sinh nộp vào trường khác nên nhà trường khơng thể đưa ra nguyện vọng hay thứ tự ưu tiên các thí sinh.
Ở đây số lượng trường đại học ít hơn số lượng các thí sinh tham gia. Có nghĩa là một trường đại học có thể nhận được nhiều thí nhưng một thí sinh chỉ có thể theo học một trường đại học.
Mơ tả bài tốn:
Cho một tập các trường đại học U= {u1,…,um} Tập các thí sinh tham gia ứng tuyển S = {s1,…, sn}
Mỗi thí sinh đưa ra tập có thứ tự lựa chọn trường: Tsi U với i =1, 𝑚
Tập kết quả điểm số của các thí sinh để tham gia lựa chọn trường: Psjvới j =1, 𝑛 Mỗi trường đại học ui, i = 1, 𝑚 có một chỉ tiêu tuyển sinh ci, mỗi thí sinh chỉ có thể học một trường.
Bài tốn tuyển sinh đại học nhằm tìm ra phép ghép c ặp tối ưu ổn định giữa các trường đại học và thí sinh.
Ý tƣởng:
Bài tốn tuyển sinh đại học là một trường hợp của thuật toán ghép cặp trong đồ thị hai phía. Áp dụng thuật toán Gale-Shapley để giải quyết. Bài tốn có cơ chế tương đương với bài tốn hơn nhân bền vững về kết quả ổn định tối ưu, nhưng có một số điểm khác với bài tốn hơn nhân bền vững mà ta cần lưu ý:
Với bài tốn hơn nhân bền vững mỗi người đàn ơng chỉ có thể lấy một người phụ nữ và ngược lại mỗi phụ nữ chỉ có thể lấy một người đàn ơng; trong bài tốn tuyển sinh đại học: mỗi trường có thể tiếp nhận nhiều thí sinh vào học và mỗi thí sinh chỉ có thể nhập học một trường.
Bài tốn hơn nhân bền vững luôn tồn tại kết quả người đàn ông ổn định tối ưu và người phụ nữ ổn định tối ưu, hai kết quả này tương xứng với nhau. Nhưng trong bài toán tuyển sinh đại học, kết quả trường đại học ổn định tối ưu và sinh viên tối ưu lại không đối xứng nhau.
Bài tốn tuyển sinh đại học các thí sinh được quyền ưu tiên xem xét hơn là các trường đại học. Các thí sinh được quyền chọn trường, chọn nguyện vọng, nhưng ngược lại nhà trường chỉ được quyền chọn đối với nhưng thí sinh ưu tiên trường mình cao nhất.
Ví dụ 6:
Cho một tập gồm 3 trường đại học: U = {u1, u2, u3} Chỉ tiêu tuyển sinh của trường u1 là: 2 thí sinh
Chỉ tiêu tuyển sinh của trường u2 là: 2 thí sinh Chỉ tiêu tuyển sinh của trường u3 là: 1 thí sinh
Một tập gồm 6 thí sinh tham gia tuyển sinh: S = {s1, s2, s3, s4, s5, s6}
Tập thứ tự lựa chọn trường của s1 là: Ts1 = {u1, u2, u3}; số điểm thi là: Ps1 = 27
điểm
Tập thứ tự lựa chọn trường của s2 là: Ts2 = {u2, u1, u3}; số điểm thi là: Ps2 = 26
điểm
Tập thứ tự lựa chọn trường của s3 là: Ts3 = {u2, u3, u1}; số điểm thi là: Ps3 = 20
điểm
Tập thứ tự lựa chọn trường của s4 là: Ts4 = {u3, u2}; số điểm thi là: Ps4 = 28 điểm Tập thứ tự lựa chọn trường của s5 là: Ts5 = {u1, u2, u3}; số điểm thi là: Ps5 = 18
điểm
Tập thứ tự lựa chọn trường của s6 là: Ts6 = {u3, u2}; số điểm thi là: Ps6 = 29 điểm Chú thích: trong 1 ơ của 1 bảng
Hình 22: Chú thích trong 1 ơ của 1 bảng bài toán tuyển sinh
Dựa vào tiêu chuẩn lựa chọn của các thí sinh và số điểm của họ khi tham gia tuyển sinh, ta có tập thứ tự lựa chọn như sau:
u1 (2 chỉ tiêu) u2 (2 chỉ tiêu) u3 (1 chỉ tiêu)
s1 (1, 27) (2, 27) (3, 27) s2 (2, 26) (1, 26) (3, 26) s3 (3, 20) (1, 20) (2, 20) s4 (1, 28) (2, 28) (1, 28) s5 (, 18) (2, 18) (3, 18) s6 (, 29) (2, 29) (1, 29)
Các bước thực hiện:
u1 (2 chỉ tiêu) u2 (2 chỉ tiêu) u3 (1 chỉ tiêu)
Bước 1 s1, s5 s2, s3 s4, s6 Bước 2 s1, s5 s2, s4 s3, s6 Bước 3 s1, s3, s5 s2, s4 s6 Bước 4 s1, s3 s2, s4, s5 s6 Bước 5 s1, s3 s2, s4 s5, s6 Bước 6 s1, s3 s2, s4 s6
Các bước thực hiện thí sinh sẽ nộp nguyện vọng vào trường mà trong thứ tự lựa trọn đầu tiên, nhà trường sẽ dựa vào chỉ tiêu và điểm thi của các thí sinh để chấp nhận thí sinh hoặc từ chối thí sinh khi đã đủ chỉ tiêu. Ta có kết quả sau các bước ghép đôi:
Lần 1 (u1, s1) (u1, s5) (u2, s2) (u2, s3) (u3, s6) (, s4)
Lần 2 (u1, s1) (u1, s5) (u2, s2) (u2, s4) (u3, s6) (, s3)
Lần 3 (u1, s1) (u1, s3) (u2, s2) (u2, s4) (u3, s6) (, s5)
Lần 4 (u1, s1) (u1, s3) (u2, s2) (u2, s4) (u3, s6) (, s5)
Lần 5 (u1, s1) (u1, s3) (u2, s2) (u2, s4) (u3, s6) (, s5)
Chương 3. THỰC NGHIỆM BÀI TỐN GHÉP ĐƠI THƠNG TIN KHƠNG ĐẦY ĐỦ
3.1 Bài tốn
Hiện nay, trong thực tế các lĩnh vực trong cuộc sống có liên quan đến giao dịch có u cầu ghép đơi là rất nhiều, trong Chương 1 và Chương 2 đã trình bày cụ thể về bài tốn hơn nhân bền vững, bài toán ghép cặp người lao động và cơng ty, bài tốn tuyển sinh đại học.
Với tình hình thị trường lao động đang biến động mạnh vào những dịp đầu năm thì việc có một ứng dụng để giải quyết tình trạng thực tại này là rất cấp bách. Trong Chương 3 này sẽ trình thực nghiệm về bài tốn ghép đơi người lao động và