Trong khi định nghĩa 8 khác xa với những gì chúng ta thường nghĩ, sự giải thích được ưa chuộng lúc này là các công ty mong đợi tối đa hóa lợi nhuận. Đặc biệt, khi đánh giá một cặp ghép chặn có tiềm năng với người lao động i, công ty j đánh giá
lợi nhuận từ một cặp ghép như thế, với niềm tin về loại người lao động i để tính
tốn lợi nhuận mong muốn. Tất nhiên, nếu một cặp công ty - người lao động chặn việc ghép cặp cụ thể, điều này khơng có nghĩa là cặp ghép kết quả ổn định. Cặp ghép mới có thể tự bị chặn, và thực tế là một cặp người lao động chặn cặp ghép ban đầu có thể thay đổi thơng tin của một số cơng ty. Chúng ta quan tâm đến việc hiểu được loạt kết quả cuối cùng của q trình đó, nghĩa là tập hợp các kết quả miễn nhiễm với những thay đổi như vậy, mà không giả định quá nhiều về bản chất của giao thức (dạng mở rộng) của các tương tác giữa công ty - người lao động và không hề giả định bất cứ điều gì về niềm tin của các cơng ty mà vượt ra ngồi các ghép cặp thông thường.
Định nghĩa 9: Cho Σ0 là tập hợp của tất cả kết quả hợp lý riêng. Đối với k ≥ 1, định nghĩa: Σk:= {(μ, p, w, f) ∈ Σk-1 : (μ, p, w, f) là Σk-1 - ổn định}
Tập hợp các kết quả không ổn định thông tin không đầy đủ được cho bởi
𝛴∞ ∶= 𝛴𝑘
∞
𝑘=1
Nếu (μ, p, w, f) là một kết quả ổn định thông tin không đầy đủ, phân bổ (μ, p) là một sự phân bổ ổn định thông tin khơng đầy đủ tại (w, f).
Hình 14: Các khoản thanh tốn và cặp ghép từ hình 11 với sự thực hiện loại người lao động khác nhau.
Xem xét kết quả trong hình 11. Lập luận trước đó rằng kết quả này là Σ0-ổn định. Do đó kết quả là trong Σ1. Tuy nhiên, kết quả là Σ1-chặn và do đó khơng có
có trong Σ1 (đối với hình 14, có một khối thành cơng ở thanh toán p = - 1/2 của
người lao động c với công ty a).
Chuỗi Σk là một dãy giảm dần. Như đã nêu trong mệnh đề tiếp theo, nó là đơn giản để thấy rằng giới hạn của chuỗiΣ∞ là không rỗng.
Mệnh đề 1: Với mỗi loại phân cơng (w, f), có một kết quả ổn định thông tin
không đầy đủ (μ, p, w, f), và do đó bộ phân bố ổn định với thơng tin khơng đầy đủ là không rỗng.
Chứng minh: Nếu (μ, p) là sự phân bổ ổn định thông tin đầy đủ tại (w, f), thì
theo định nghĩa(μ, p, w, f) ∈ Σk với k ≥ 0.
2.3.4 Mô tả về điểm cố định
Vịng lặp của định nghĩa 9 mơ tả một thuật tốn để có được tập hợp của tất cả các phân bổ ổn định thông tin không đầy đủ. Bộ này có một đặc điểm cố định, thường thuận tiện hơn cho việc xác minh một kết quả nhất định sẽ ổn định.
Định nghĩa 10: Một tập các kết quả ghép đơi có tính hợp lý riêng E ổn định nếu
mỗi (μ, p, w, f) ∈ E là ổn định. Bộ E ổn định một kết quả ghép cặp (μ, p, w, f) nếu (μ, p, w, f)∈ E và E ổn định. Một tập các công việc loại người lao động Ω * ⊂Ω ổn định một phân bổ (μ, p) nếu {(μ, p, w, f): w ∈Ω *} là một bộ ổn định.
Bây giờ chúng ta tóm tắt một số tính chất hữu ích của một bộ cặp ghép các giá trị kết hợp ổn định.
Bổ đề 1:
1. Bộ {(μ, p, w, f)} ổn định nếu và chỉ khi (μ, p, w, f) là kết quả ổn định thông tin đầy đủ.
2. Nếu cả hai E1 và E2 ổn định, thì E1∪ E2 ổn định. 3. Nếu E ổn định, bao đóng của nó 𝐸 là ổn định.
4. Nếu E là một bộ ổn định và (μ, p, w, f)∈ E, thì E ∩ ((μ, p, w’, f): w’∈Ω} cũng là một bộ ổn định.
Ghi chú: Với bất kỳ tập kết quả E, kết quả (μ, p, w, f) đóng trong E nếu có một
chuỗi (μn, pn, wn, fn)∈ E sao cho (μn, pn, wn, fn)→(μ, p, w, f) theo từngđiểm. Vì μ, w
và f được rút ra từ các tập hữu hạn (μ, p, w, f) ∈𝐸 nếu và chỉ nếu tồn tại một dãy pn
Mệnh đề sau đây cung cấp một đặc tính đặc điểm của tập hợp các kết quả ổn định
Mệnh đề 2:
1. Nếu E là một bộ ổn định, thì E ⊂Σ∞.
2. Tập hợp các kết quả ổn định thông tin không đầy đủ Σ∞ là một bộ ổn định lớn nhất.
3. Tập Σ∞ là đóng.
Ý nghĩa của mệnh đề 2 cho thấy (μ, p, w, f) là một kết quả ổn định, nó đủ để xây dựng một tập hợp con Ω* chứa w ổn định với sự phân bổ (μ, p).
2.4 Các phép suy luận của sự ổn định thông tin không đầy đủ
2.4.1 Giả định về mức thù lao
Mặc dù khái niệm về tính ổn định thông tin không đầy đủ dựa trên quan điểm khá khắt khe về điều kiện chặn, vì vậy nó có tính tương đối dễ chấp nhận theo giả định tự nhiên về giá trị tiền thù lao, các cặp ghép ổn định làm tối đa tổng phần thặng dư. Xét các giải thiết dưới đây:
Giả thiết 1 – Tính đơn điệu: Giá trị tiền thù lao của người lao động vwf và
giá trị lao động của công ty φwf tăng đều theo w và f, với vwf tăng đều theo w và φwf tăng mạnh theo f
Giả thiết 2 – Tính siêu modul: Giá trị tiền thù lao của người lao động vwf và
thặng dư vwf + φwf tăng theo w và f
Giả thiết 3 – Tính nghịch biến: Giá trị tiền thù lao của người lao động vwf
và thặng dư vwf + φwf giảm theo w và f
Chúng ta tập trung nghiên cứu những trường hợp mà ở đó giả thiết 1 và 2 xảy ra. Giả thiết về tính siêu modul thường phổ biến trong thị trường lao động. Những ý nghĩa của nó trong các thị trường phù hợp lần đầu được nghiên cứu bởi Becker (1973) [5]. Lưu ý rằng giả định của các trường hợp siêu mô dun hoặc nghịch biến phụ thuộc vào giá trị tiền thù lao của người lao động và tổng phần thặng dư chứ không phải chỉ riêng giá trị lao động của công ty.
2.4.2 Hiệu suất theo tính siêu modul
Trường hợp theo siêu modul, một công ty phải đối mặt với việc định giá sự đóng góp của nó trong khả năng ngăn cặp chặn có thể rút ra những suy luận tương đối sắc nét về việc phân loại người lao động thơng qua sự sẵn lịng tham gia một nhóm chặn liên kết thanh toán. Bổ đề sau đây xác định các điều kiện mà theo đó một cơng ty xem xét độ lệch khi kết hợp với một người lao động chưa được phân loại với một người lao động mặc nhiên được xếp vào loại thấp.
Bổ đề 2: Giả sử áp dụng giả thiết 1 và 2, và (𝜇, p, w, f) là hợp lý riêng.
Nếu 1 loại người lao động w* được ghép cặp với một cơng ty f*, mức lương được trả là p*, thì đối với bất kì cơng ty nào có f > f*, tồn tại 𝜀 > 0 cũng như đối với bất kì p ∈ (vw*f* + p* - vw*f, vw*f* + p* - vw*f +𝜀)
(6) vwf +p > vwf* + p*, với mọi w ≥ w*, (7) vwf +p ≥ 0, với mọi w ≥ w*,
(8) vwf +p ≤ vwf* + p*, với mọi w ≥ w*.
Nếu w* không khớp với một cá nhân riêng lẻ nào để cho cặp ghép phù hợp, khi đó, cơng ty loại f sẽ tồn tại 𝜀 > 0, cũng như, với mỗi p ∈ (-vw*f, -vw*f + 𝜀),
Thì vwf +p >0, với mọi w ≥ w* Và vwf + p ≤ 0, với mọi w < w*
Giải thích như sau: Giả sử một người lao động sẵn sàng tham gia vào một cặp chặn với một công ty thuộc loại f > f*, trong đó f* là người lao động vừa được ghép cặp tại mức lương p chỉ trên mức vw*f* + p* - vw*f.
Công ty loại f hiểu người lao động đạt được hưởng lợi ích khi tham gia khi và
chỉ khi anh ta ít nhất phải được phân loại w*.
Trường hợp (6) cho thấy tất cả người lao động ở cấp độ bằng hoặc cao hơn
loại w* đều muốn làm việc cho một công ty f với mức lương p để duy trì mơ hình cũ.
Trường hợp (7) cho rằng cặp ghép với một công ty kiểu flà hợp lý riêng lẻ.
Trường hợp (8)cho rằng nếu người lao động dưới loại w* thì anh ta thích ở lại trong ứng viên phù hợp.
Áp dụng siêu modul đem lại hiệu quả tức thì nghĩa là nó tối đa hóa tổng dư thừa khi và chỉ khi nó đặc trưng cho cặp ghép phân loại tích cực. Ngồi ra, tính hiệu quả địi hỏi rằng các cặp sản xuất thừa thặng dư không được kết hợp. Sự ổn định thông tin không đầy đủ đảm bảo các tính chất và như vậy tất cả các kết quả ổn định đều là hiệu quả.
Mệnh đề 3: Theo giả thiết 1 (đơn điệu) và giả thiết 2 (siêu modul) mỗi kết quả
ổn định thông tin không đầy đủ đều hiệu quả.
Bây giờ chúng ta miêu tả một ví dụ chứng minh rằng nếu khơng áp dụng siêu modul thì kết quả ổn định thơng tin khơng đầy đủ có thể sẽ khơng hiệu quả nữa. Có 2 người lao động và 2 cơng ty. Thơng thường thì f(a)= 1, f(b)=2, và w(b)=2. Ta giả sử rằng người lao động a có thể là loại 1 hoặc 3, và giá trị thực là 3. Giá trị thù lao của người lao động là w+f (vi phạm tính siêu modul), trong khi giá trị lao động của cơng ty là tích của các loại trong cặp ghép, là wf.
Chúng ta cho rằng kết quả phù hợp đầu tiên trong hình 15 là hệ thống kết quả ổn định với thông tin không đầy đủ (𝜇, p, w, f) không hiệu quả. Để chỉ ra sự ổn định thơng tin khơng đầy đủ đó là khơng hiệu quả, sử dụng mệnh đề 2 và chỉ ra rằng tập
E = {(𝜇, p, w, f), (𝜇, p, w’, f)} là một tập ổn định, trong đó (𝜇, p, w’, f) được đưa ra
bởi cặp ghép thứ 2.