Trong phần năy, chúng ta sẽ nghiắn cứu câc phương phâp chuyển ựổi hăm truyền ựạt
của một hệ thống tương tự Ha(s) sang hăm truyền ựạt của hệ thống số H(z). Như vậy, trước
ựó chúng ta ựê thiết kế ựược bộ lọc tương tự, như ựê nói ở trắn, việc lăm năy ựê ựược phât triển từ lđu vă ựê ựạt ựược câc kết quả tốt ựẹp, chúng ta sẽ tổng kết sơ lược trong phần sau.
5.3.1.1. Nguyắn tắc:
trong ựó lă câc hệ số của bộ lọc.
Hăm truyền ựạt cũng có thể ựược biểu diễn dưới dạng biến ựổi Laplace của ựâp ứng xung :
Một bộ lọc tượng tự có hăm truyền ựạt ựược mô tả như (5.141) cũng có thể ựược biểu diễn bằng phương trình vi phđn tuyến tắnh hệ số hằng :
với x(t), y(t) lần lượt lă tắn hiệu văo vă tắn hiệu ra của bộ lọc.
Mỗi câch biểu biễn trong ba câch biểu diễn tương ựương của bộ lọc tương tự như trắn sẽ ựưa ựến một phương phâp chuyển ựổi sang miền số.
Ta nhớ lại rằng một hệ thống tương tự tuyến tắnh bất biến theo thời gian với hăm truyền ựạt H(s) gọi lă ổn ựịnh nếu tất cả câc cực của H(s) ựều nằm ở nửa trâi của mặt phẳng s. Vì vậy, một phương phâp chuyển ựổi từ miền tương tự sang miền số phải thỏa câc nguyắn tắc sau:
Ớ Trục ảo jΩ trong mặt phẳng s sẽ ânh xạ thănh vòng tròn ựơn vị trong mặt phẳng z. Nguyắn tắc năy bảo ựảm có mối liắn hệ trực tiếp giữa hai biến tần số trong hai miền. Ớ Phần nửa trâi của mặt phẳng s sẽ ânh xạ thănh phần ở phắa bắn trong vòng tròn ựơn vị
trong mặt phẳng z. Nguyắn tắc năy bảo ựảm một bộ lọc tương tự ổn ựịnh sẽ ựược chuyển thănh một bộ lọc số ổn ựịnh.
5.3.1.2. Thiết kế bộ lọc IIR bằng phương phâp tương ựương vi phđn
Một trong những phương phâp ựơn giản nhất ựể chuyển ựổi một bộ lọc tương tự sang bộ lọc số lă xấp xỉ phương trình vi phđnĀ bằng một phương trình sai phđn. Phương phâp năy giống như câch giải phương trình vi phđn tuyến tắnh hệ số hằng bằng phương phâp số trắn mây tắnh.
đạo hăm dy(t)/dt tại t=nTS , với TS lă chu kỳ lấy mẫu, ựược thay bằng sai phđn lùi [y(nTS)- y(nTS-TS)]/TS . Tức lă :
Hệ thống vi phđn tương tự với ựâp ứng dy(t)/dt có hăm truyền ựạt lă H(s)=s, tương ựương trong miền số la một hệ thống số với ựâp ứng [y(n)-y(n-1)]/T sẽ có hăm truyền ựạt lă (Hình 5.28). Kết quả, ta thu ựược sự tương ựương trong miền tần số của quan hệ (5.143) lă :
đạo hăm bậc hai ựược thay bằng sai phđn bậc hai :
Trong miền tần số, pt(5.145) tương ựương với :
Từ ựđy có thể rút ra mối quan hệ tương trong miền tần số khi thay thế ựạo hăm bậc k bằng sai phđn bậc k như sau :
Kết quả lă hăm truyền ựạt của bộ lọc số IIR có ựược từ phĩp xấp xỉ ựạo hăm bằng sai phđn, ựó lă :
trong ựó lă hăm truyền ựạt của bộ lọc tương tự ựược ựặc trưng bởi phương trình vi phđn (5.142).
Ta hêy xem ý nghĩa của phĩp ânh xạ từ mặt phẳng s sang mặt phẳng z theo pt(5.144), ta viết lại:
Khi thay ựổi từ thì quĩ tắch tương ứng của câc ựiểm trong mặt phẳng z lă một vòng
tròn có bân kắnh 1/2 vă tđm ựặt tại ựiểm z=1/2, xem hình 5.29.
đễ dăng chứng tỏ rằng phĩp ânh xạĀbiến câc ựiểm trong nửa trâi trắn mặt phẳng s thănh câc ựiểm tương ứng bắn trong vòng tròn có bân kắnh 1/2 vă tđm (1/2,0) trong mặt phẳng z vă câc ựiểm ở nửa phải của mặt phẳng s sẽ chuyển thănh câc ựiểm tương ứng ử ng ở bắn ngoăi vòng tròn năy, trong mặt phẳng z.
điều năy có nghĩa lă một bộ lọc tương tự ổn ựịnh sẽ ựược chuyển ựổi thănh một bộ lọc số ổn ựịnh. Tuy nhiắn, vị trắ có thể có của câc cực của bộ lọc số bị giới hạn trong câc dải tần số khâ nhỏ. Vì vậy, phĩp ânh xạ cũng bị giới hạn trong phạm vi thiết kế câc bộ lọc hạ thông vă câc bộ lọc dải thông có tần số cộng hưởng tương ựối nhỏ. Vì vậy, phĩp ânh xạ năy chỉ có thể dùng ựể thiết kế câc bộ lọc thông thấp vă thông dải có tần số cộng hưởng khâ nhỏ. Nó không có khả năng chuyển ựổi từ bộ lọc thông cao tương tự thănh bộ lọc thông cao số.
Vắ dụ 5.13 : Thay thế ựạo hăm bằng sai phđn ngược ựể chuyển ựổi một bộ lọc thông
thấp tương tự có hăm truyền ựạt thănh bộ lọc số IIR.
Giải:
Aỉp dụng biểu thức ânh xạ từ miền s sang miền z :.
Ta có :
Bộ lọc số có một cực tại z=1/(1+TS). để ựạt ựược tần số cộng hưởng thấp, ta phải chọn Ts
ựủ nhỏ ựể cho vị trắ của cực nằm gần vòng tròn ựơn vị. Chẳng hạn, ta có thể chọn Ts=0.1 , ta ựược:
Do cực của H(z) nằm ở tại ựiểm z=0.909, nắn ựâp ứng tần sốcó một ựỉnh tại .(Hình 5.30)
Vắ dụ 5.14: Chuyển bộ lọc thông dải tương tự có hăm truyền ựạt lă:
Ta thấy hăm truyền ựạt thỏa mên ựiều kiện ựể ựa thức mẫu số có nghiệm phức. Vì vậy, nó có
dạng của một bộ cộng hưởng nếu TS ựược chọn ựủ nhỏ (vắ dụ Ts ≤ 0.1), ựể câc cực nằm gần
vòng tròn ựơn vị. Chẳng hạn, nếu Ts = 0.1 thì câc cực sẽ ựặt tại câc ựiểm :
5.3.1.3 Thiết kế bộ lọc IIR bằng phương phâp bất biến xung.
Phương phâp năy xuất phât từ câch biểu diễn một hệ thống bằng ng xung. Theo ựó, một bộ số IIR có ựâp ứng xung h(n) thu ựược bằng câch lấy mẫu ựâp ứng xung ha(t) của bộ lọc tương tự. Ta có :
trong ựó Ts lă chu kỳ lấy mẫu.
Từ mục 3.5, chương 3, ta ựê biết rằng khi một tắn hiệu liắn tục trong miền thời gian (tắn hiệu
tương tự có phổ ựược lấy mẫu với tốc ựộ = 1/T(samples/second) thì phổ của tắn
hiệu lấy mẫu lă sự lặp lại tuần hoăn của với chu kỳ Fs. Cụ thể thì quan hệ ựó lă :
trong ựó lă tần số chuẩn hoâ.
Hiện tượng biệt d../Anh xuất hiện nếu tốc ựộ lấy mẫu Fs nhỏ hơn hai lần thănhn phần tần số
lớn nhất có trong .
Thể hiện dưới góc ựộ lấy mẫu ựâp ứng xung của một bộ lọc tương tự có ựâp ứng tần số , thì bộ lọc số với ựâp ứng xungĀsẽ có ựâp ứng tần số lă:
Có thể thấy rõ lă bộ lọc số với ựâp ứng tần sốsẽ có câc ựặc tắnh ựâp ứng tần số của bộ lọc tương tự tương ứng nếu chu kỳ lấy mẫu ựược chọn ựủ nhỏ ựể trânh hoăn toăn hoặc cực tiểu hóa hiện tượng biệt d../Anh. Ta cũng thấy rằng phương phâp bất biến xung lă không thắch
hợp ựể thiết kế câc bộ lọc thông cao, bởi vì hiện tượng biệt d../Anh sẽ xuất hiện từ quâ trình lấy mẫu.
để xem xĩt sự ânh xạ giữa mặt phẳng s vă mặt phẳng z ựược hăm chứa trong quâ trình lấy mẫu, ta dựa văo sự tổng quât hóa pt(5.155) bằng câch liắn kết biến ựổi z của h(n) với biến
ựổi Laplace của . Sự liắn kết ựược thực hiện như sau:
Khi , pt(5.156) ựược rút gọn thănh pt(5.155) (thừa số j trongĀựược bỏ ựi trong ký hiệu).
Tắnh chất tổng quât của phĩp ânh xạ:
có thể có ựược bằng câch thay vă biểu diễn biến phức z dưới dạng cực
. Rõ răng , ta có:
Kết quả lă khi σ thì 0<r<1, vă khi σ>0 thì r>1, khi σthì r=1. Vì vậy, nửa trâi của mặt phẳng s ựược ânh xạ văo trong vòng tròn ựơn vị của mặt phẳng z, vă nửa phải của mặt phẳng s sẽ ựược ânh xạ thănh câc ựiển nằm ngoăi vòng tròn ựơn vị của mặt phẳng z. đđy lă một trong
số câc ựặc tắnh mong muốn của một phĩp ânh xạ tốt. Trục ảocũng ựược ânh xạ thănh vòng
tròn ựơn vị như ựê chỉ ra ở trắn. Tuy nhiắn, ựđy không phải lă phĩp ânh xạ một_một. Vìπ,
nắn phĩp ânh xạs hăm ý rằng khoảng ânh xạ văo câc giâ trị tương ứng trong
khoảng - πω≤ π. Hơn nữa, khoảng tần số cũng ânh xạ văo trong khoảng - πω
≤ π., vă ựiều năy nói chung vẫn xay ra ựối với hkoảng , với k lă
một số nguyắn . Vì vậy phĩp ânh xạ từ biến tần số tương tự Ω sang biến tần số ω trong miền số lă phĩp ânh xạ nhiều_văo_một (many-to- one), ựiều năy thể hiện ảnh hưởng của hiện
tượng biệt d../Anh do quâ trình lấy mẫu. Hình 5.31 minh họa phĩp ânh xạ từ mặt phẳng s
để tìm hiểu sđu hơn nữa tâc dụng của phương phâp bất biến xung lắn câc ựặc tắnh của bộ lọc số IIR, ta hêy biểu diễn hăm hệ thống của bộ lọc tương tự dưới dạng tổng câc phđn thức. Với giả thiết lă câc cực của bộ lọc tương tự lă khâc nhau, ta có thể viết:
trong ựólă câc cực của bộ lọc tương tự vălă câc hệ số trong khai triển phđn thức. Kết quả lă :
Nếu ta lấy mẫu một câch tuần hoăn tại câc thời ựiểmta sẽ ựược :
vă hăm hệ thống của bộ lọc số IIR sẽ có dạng :
Với hăm hệ thống như pt(5.166), bộ lọc số IIR dễ dăng ựược thực hiện bằng một dải ghĩp song song của câc bộ lọc ựơn cực. Nếu một số cực lă câc giâ trị phức, chúng có thể ựược ghĩp thănh từng cặp với nhau ựể tạo thănh câc bộ lọc thănh phần có hai cực. Ngoăi ra, hai
thừa số chứa câc cực có giâ trị thực cũng có thể ựược kết hợp lại ựể tạo thănh câc bộ lọc thănh phần có hai cực. Nắn bộ lọc số IIR có thể ựược thực hiện bằng một dải song song của câc bộ lọc thănh phần có hai cực.
Mặc dù sự khai triển ựể ựưa ựến biểu thức ựược dựa trắn một bộ lọc
tương tự có câc cực khâc nhau, nhưng biểu thức trắn cũng có thể tổng quât hóa ựối với trường hợp câc cực kĩp.
Vắ dụ 5.15: Chuyển một bộ lọc tương tự có hăm truyền ựạtĀ thănh bộ lọc số IIR bằng phương phâp bất biến xung.
Giải : Ta thấy bộ lọc tương tự có một zero tại s =-0.1 vă một cặp cực liắn hợp phức tại
. Ta không phải xâc ựịnh ựâp ứng xung ựể thiết kế bộ lọc số bằng phương
phâp bất biến xung, mă thay văo ựó ta sẽ xâc ựịnh trực tiếp H(z) bởi pt(5.166) từ khai triển phđn thức củỌ. Ta có:
Do hai cực lă liắn hợp phức, nắn ta có thể kết hợp chúng lại với nhau ựể tạo thănh một bộ lọc có hai cực ựơn giản có hăm truyền ựạt lă:
để có sự so sânh, ta vẽ thắm ựâp ứng biắn ựộ của bộ lọc tương tự trong hình 5.32.b. Từ ựồ thị năy, ta thấy sự ảnh hưởng hiện tượng biệt d../Anh (ựâp ứng tần số bị biến ựổi) khi = 0.5
trắn cũng cho thấy tầm quan trọng trong việc chọn một giâ trị Ts ựủ nhỏ ựể giảm thiểu ảnh hưởng của hiện tượng biệt d../Anh. Do ảnh hưởng của hiện tượng biệt d../Anh nắn phương phâp bất biến xung chỉ thắch hợp trong việc thiết kế câc bộ lọc thông thấp vă thông dải.
5.3.1.4. Thiết kế bộ lọc số IIR bằng phĩp biến ựổi song tuyến.
Hai phương phâp thiết kế bộ lọc số IIR ựê ựược giới thiệu có một hạn chế lă chúng chỉ thắch hợp ựể thiết kế câc bộ lọc hạ thông vă một lớp hữu hạn câc bộ lọc dải thông. Sự hạn chế năy lă kết quả của việc ânh xạ ựể chuyển câc ựiểm trong mặt phẳng s thănh câc ựiểm tương ứng trong mặt phẳng z.
Phương phâp biến ựổi song tuyến khắc phục ựược những hạn chế của hai phương phâp trắn. Phĩp biến ựổi song tuyến liắn quan với việc tắnh tắch phđn bằng phương phâp số theo qui tắc hình thang. Vắ dụ, ta xĩt một bộ lọc tương tự tuyến tắnh có hăm truyền ựạt lă:
H(s)=b/(s+a) (5.168) Hệ thống năy cũng có thể dặc trưng bằng phương trình vi phđn :
Thay vì thay thế ựạo hăm bằng một sai phđn hữu hạn, ta hêy thử lấy tắch phđn của ựạo hăm vă tắnh xấp xỉ tắch phđn theo qui tắc hình thang. Ta có:
trong ựóĀlă ựạo hăm của y(t). Tắch phđn trắn ựược tắnh xấp xỉ theo qui tắc hình thang tại vă t0a ựược :
Tắnh phương trình vi phđn (5.169) tạiĀta ựược:
Kết quả, hăm truyền ựạt của bộ lọc số tương ựương lă :
Như vậy, phĩp ânh xạ từ mặt phẳng s sang mặt phẳng z lă :
Phĩp ânh xạ năy ựược gọi lă phĩp biến ựổi song tuyến. Mặc dù ta rút ra phĩp biến ựổi song tuyến từ phương trình vi phđn bậc nhất, nhưng ựiều năy cũng ựúng ựối với phương trình vi phđn bậc N.
để tìm hiểu những tắnh chất của phĩp biến ựổi song tuyến, ta ựặt : . Pt(5.175) có thể ựược viết lại như sau :
Ta thấy rằng nếu r<1 thì, vă nếu r>1 thìσ >0 nắn nửa trâi của mặt phẳng s ânh xạ văo bắn trong vòng tròn ựơn vị trắn mặt phẳng z, vă nửa phải của mặt phẳng s ânh xạ thănh câc phần nằm ở phắa ngoăi vòng tròn ựơn vị. Khi r=1 thìσ =0 vă
Quan hệ (5.179) giữa câc biến tần số trong hai miền tương tự vă số ựược minh họa ở hình 5.33.
Ta thấy toăn bộ miền Ω ựược ânh xạ chỉ một lần văo ω <π, nắn sẽ trânh ựược hiện tượng biệt d../Anh của câc thănh phần tần số. Tuy nhiắn phĩp ânh xạ năy có tắnh phi tuyến tắnh. Ta khảo sât sự nĩn tần số lă do tắnh chất phi tuyến của hăm. Ngoăi ra, phĩp biến ựổi song tuyến sẽ ânh xạ ựiểm thănh ựiểm z = -1. Vì vậy, bộ lọc thông thấp ựơn cực H(s) =b/(s+a) có một zero tại ựiểms= ∞, sẽ ựưa ựến một bộ lọc số có một zero tại z = -1.
Vắ dụ 5.16: Chuyển một bộ lọc tương tự có hăm truyền ựạt lă thănh bộ lọc số IIR có tần số cộng hưởngbằng phĩp biến ựổi song tuyến.
Giải: Ta thấy bộủ lọc tương tự có tần số cộng hưởngΩ = 4, tần số năy ựược ânh xạ thănh tần số bằng câch chọn giâ trị của thông sốTs. Từ pt(5.178), ta phải chọn =1/2 ựể có. Vì thế biểu thức ânh xạ lă :
Trong vắ dụ năy, tần số Ts ựược chọn ựể ânh xạ tần số cộng hưởng của bộ lọc tương tự thănh tần số mong muốn của bộ lọc số. Việc thiết kế bộ lọc số thường bắt ựầu bằng câc chỉ tiắu kỹ thuật trong miền tần số. Trong số câc chỉ tiắu năy có biến tần số ω. Những chỉ tiắu năy ựược chuyển sang miền tương tự nhờ pt(5.178). Sau ựó, bộ lọc tương tự ựược thiết kế ựểắ ựâp ứng ựúng câc chỉ tiắu năy. Sau cùng, bộ lọc tương tự ựược chuyển ựổi sang bộ lọc số bằng biến ựổi song tuyến (5.175). Trong tiến trình năy, thông sốĀ lă Ộtrong suốtỢ vă có thể ựược gân cho bất cứ giâ trị năo (chẳng hạn Ts =1). Vắ dụ sau sẽ minh họa ựiều năy.
Vắ dụ 5.17: Hêy thiết kế một bộ lọc số IIR thông thấp ựơn cực có dải thông 3 dB tại tần số tại bộ lọc tương tự cò hăm truyền lă : , là dải thông 3 dB của bộ lọc tương tự, bằng câch sử dụng phĩp biến ựổi song tuyến.
Giải: Bộ lọc số có ựộ lợi -3 dB tại.Trong miền tần số của bộ lọc tương tự, tương ứng với :
Vì vậy, hăm truyền ựạt của bộ lọc tương tự lă : . Âp dụng phĩp biến ựổi song tuyến, ta có :