LẤY MẪU TRONG MIỀN TẦN SỐ
Bộ lọc FIR pha tuyến tắnh (linear-phase fir filters) lă một loại bộ lọc ựơn giản về mặt thiết kế lẫn thực hiện. Như ta sẽ thấy, chỉ có bộ lọc FIR mới có thể có pha tuyến tắnh vă bộ lọc IIR không thể có pha tuyến tắnh. Trong nhiều ứng dụng thực tế, chẳng hạn như thông tin số, sự mĩo pha (mĩo trễ) không thể chấp nhận ựược, vì vậy bộ lọc pha tuyến tắnh ựược dùng rộng rêi.
Một bộ lọc FIR chiều dăi M có ựâp ứng tần số lă :
Câc hệ sốĀ của bộ lọc cũng chắnh lă giâ trị của câc mẫu trong ựâp ứng xung của nó:
(Trong pt(5.44) chỉ số trắn của tổng ựược chọn lă MỜ1 ựể ựâp ứng xung có chiều dăi M) Bộ lọc có pha tuyến tắnh khi ựâp ứng xung h(n) của nó thỏa mên câc ựiều kiện ựối xứng. Ta xĩt 2 ựiều kiện ựối xứng khâc nhau như sau :
để chứng tỏ một bộ lọc thỏa ựiều kiện ựối xứng năy lă bộ lọc pha tuyến tắnh ta xĩt hai trường hợp M lẻ vă M chẵn.
Vắ dụ 5.5 : Trường hợp M lẻ
Giả sử chọn M = 5, ựiều kiện ựối xứng lă : h(0) = h(4); h(1) = h(3); h(2) lă tđm ựối xứng (không có mẫu tương ứng).
đâp ứng tần số H(ω) lă :
H(ω) = h(0) + h(1)e-jω
+ h(2)e-j2ω + h(3)e-j3ω + h(4)e-j4ω = e-j2ω[h(2) + h(0)ej2ω + h(4)e-j2ω + h(1)ejω + h(3)e-jω] Vì h(0) = h(4) vă h(1) = h(3) nắn H(ω) có thể viết lại lă :
H(ω) = e-j2ω[h(2) + 2h(0)cos2ω + 2h(1)cosω] (5.47) Trong pt(5.47), thừa số trong dấu ngoặc có giâ trị thực với mọi (. Ta ký hiệu lă : Hr(ω) = h(2) + 2h(0)cos2ω + 2h(1)cosω (5.48) Biắn ựộ của ựâp ứng tần số lă :
H(ω) = Hr(ω) (5.49) đặc tắnh pha của mạch lọc lă :
Ta thấy, ựặc tắnh pha θ(ω) lă một hăm tuyến tắnh của ω trong cả hai trường hợp Hr(ω)dương
hoặc đm. Khi Hr(ω) ựổi dấu từ dương sang đm (hay ngược lại), θ(ω) thay ựổi ựột ngột một
lượng lă π radians. Nếu sự thay ựổi pha năy xuất hiện ở bắn ngoăi dải thông (trắn dải chặn) ta sẽ không cần quan tđm, vì tắn hiệu mong muốn ựi qua bộ lọc không có nội dung tần số ở trong dải chặn.
Vắ dụ 5.6 : Trường hợp M chẵn
Giả sử chọn M = 4, ựiều kiện ựối xứng lă : h(0) = h(3); h(1) = h(2). Trong trường hợp năy, mỗi mẫu của h(n) ựều có mẫu ựối xứng. Tương tự như trắn ta tìm ựược ựâp ứng của bộ lọc lă :
đặt : Hr(ω) = 2h(0)Coų + 2h(1)Coų (5.52) Biắn ựộ của ựâp ứng tần số lă : |H(ω)| = |Hr(ω)|
vă pha lă :
Một lần nữa, pha của bộ lọc lă tuyến tắnh vă nhảy một lượng lă π ở những tần số mă Hr(π) ựổi dấu.
Từ hai hai vắ dụ trắn, ta có thể ngoại suy cho trường hợp tổng quât với chiều dăi M bất kỳ.
Tổng quât, ựâp ứng tần số của một bộ lọc FIR có ựâp ứng xung h(n) thỏa ựiều kiện ựối
xứng (4.63) lă :
Trong trường hợp năy ta gọi ựâp ứng xung lă phản ựối xứng (antisymmetric). Khi M lẻ, ựiểm
trung tđm của h(n) phản ựối xứng lă . điều kiện (5.58) hăm ý rằng :
= 0. Vắ dụ, Nếu M = 5, ta có h(0) = - h(4); h(1) = -h(3) vă h(2) = 0. Khi M chẵn, mỗi mẫu của h(n) có một mẫu tương ứng ngược dấu.
Tương tự như trường hợp ựối xứng thứ nhất, ta có thể chứng minh rằng, ựâp ứng tần số của bộ lọc FIR với ựâp ứng xung phản ựối xứng có biểu thức lă :
đặc tắnh pha của bộ lọc cho cả hai trường hợp M lẻ vă M chẵn lă :
Câc công thức ựâp ứng tần số tổng quât năy ựực dùng ựể thiết kế câc bộ lọc FIR pha tuyến tắnh với ựâp ứng xung ựối xứng hoặc phản ựối xứng.
Chú ý rằng, trong câc pt(5.55) vă pt(5.56), số hệ số cần thiết ựể xâc ựịnh ựâp ứng tần số
lă khi M lẻ hay khi M chẵn. Trong câc pt(5.60) vă pt(5.61), vì =0, nắn
có hệ số khi M lẻ vă hệ số khi M chẵn cần ựược xâc ựịnh.
5.2.2.3. Chọn ựâp ứng xung vă tắnh câc hệ số từ câc mẫu trong miền tần số
Việc chọn ựâp ứng xung ựối xứng hay phản ựối xứng tùy thuộc văo ứng dụng.
Vắ dụ, nếu h(n) = -h(M-1-n) vă M lẻ, theo pt(5.60) thì Hr(0) = 0 vă Hr(π) = 0, kết quả lă ựâp ứng xung phản ựối xứng không phù hợp cho mạch lọc thông thấp hoặc thông cao. Tương tự, nếu chọn ựâp ứng xung phản ựối xứng vă M chẵn, thì theo pt(5.60) ta có Hr(0)= 0. Kết quả lă ta không thể chọn ựiều kiện phản ựối xứng trong việc thiết kế bộ lọc thông thấp FIR pha tuyến tắnh. Ngược lại, nếu chọn ựiều kiện ựối xứng h(n) = h(M - 1 - n) thì sẽ ựược bộ lọc FIR pha tuyến tắnh với ựâp ứng tần số khâc 0 ở ω = 0, ựó lă :
Mỗi phương trình trong câc pt(5.55), (5.56), (5.60) vă (5.61) ựóng góp một tập câc phương trình tuyến tắnh ựể xâc ựịnh câc hệ số của mạch lọc FIR. Kết quả lă, nếu ta xâc ựịnh ựược
ựâp ứng tần số ở hay hay ựiểm trắn trục ω, ta phải giải một tập tương ứng câc
phương trình tuyếntắnh ựể tìm câc hệ số. Mặc dù câc giâ trị của ω có thể ựược chọn một câch tùy ý, nhưng ta thường muốn chọn những ựiểm câch ựều nhau trắn trục tần số, trong khoảng
0≤ω≤π (lấy mẫu ựều trong miền tần số). Vì vậy, ta sẽ chọn câc tần số lấy mẫu như sau :
Trường hợp chọn ựâp ứng xung ựối xứng
Khi ựó, câc phương trình tuyến tắnh (5.55) vă (5.56) cho bộ lọc FIR ựối xứng trở thănh :
Trường hợp chọn ựâp ứng xung phản ựối xứng
Trường hợp năy, ta cần xâc ựịnh câc hệ số tương ứng với ựiểm khi M lẻ vă ựiểm
khi M chẵn trắn trục ω. Vì câc pt(5.60) vă pt(5.61) hăm ý rằng Hr(0) = 0, ựộc lập với sự chọn câc hệ số{h(n)}. Vì vậy tần số ω = 0 không thể ựược dùng ựể xâc ựịnh câc thông số của ựâp ứng tần số.
Khi M lẻ thì rất dễ dăng, ta có thể xâc ựịnh Hr(ω) ởựiểm câch ựều nhau trắn trục tần số. Câc ựiểm năy có thể ựược chọn như sau :
Khi M chẵn, ta cầnĀ ựiểm tần số, vì ta không thể sử dụng ω = 0, ta có thể sử dụng ω=π.
Tóm lại, tập câc ựiểm tần số ựược chọn như sau :
Một sự chọn lựa khâc hoăn toăn có thể trânh trường hợp H(ω)=0 ở ω=0 (vă ω=π) ựó lă :
Với bất kỳ sự chọn lựa năo trong câc trường hợp trắn, ta ựịnh nghĩa :
Thì câc phương trình tuyến tắnh (4.75) vă (4.76) cho bộ lọc FIR phản ựối xứng trở thănh:
Tập tần số cho bởi pt(5.70) cũng có thể ựược dùng trong pt(5.67) vă pt(5.68) thay vì dùng tập tần số cho bởi pt(5.65).
Vắ dụ 5.7:
Hêy xâc ựịnh ựâp ứng xung h(n) của bộ lọc FIR pha tuyến tắnh, có chiều dăi M=4. đâp ứng tần số
Giải :
đđy lă băi toân thiết kế mạch lọc khâ ựơn giản, câc thông số chưa biết lă h(0) vă h(1).Tập câc phương trình tuyến tắnh lă :
a00h(0) + a01h(1) = Hr(0) = 1 a10h(0) + a11h(1) = Hr() =
trong ựó :
Giải phương trình ma trận trắn ta ựược :
đâp ứng tần số của bộ lọc lă :
đặc tuyến ựâp ứng biắn ựộ |hr(ω)| vă 20log|Hr(ω)| ựược vẽ trong hình 5.20. Ta thấy ựđy lă lọc thông thấp.
Vắ dụ 5.8 :
Hêy xâc ựịnh câc hệ số của bộ loc FIR tuyến tắnh pha có chiều dăi M = 15, ựâp ứng xung ựối xứng vă ựâp ứng tần số thỏa mên ựiều kiện :
Giải :
đđy lă một mạch lọc khâ dăi, h(n) không thể tìm ựược nếu không có sự hỗ trợ của mây vi tắnh trong việc giải hệ phương trình tuyến tắnh. Lập trình trắn mây tắnh ựể giải hệ phương trình năy, ta có thể thu ựược câc nghiệm như sau :
h(0) = h(14) = 0,04981588 h(1) = h(13) = 0,04120224 h(2) = h(12) = 0,06666674 h(3) = h(11) = - 0,03648787 h(4) = h(10) = - 0,1078689 h(5) = h(9) = 0,03407801 h(6) = h(8) = 0,3188924 h(7) = 0,4666666
đâp ứng tần số của mạch lọc thu ựược trong hình 5.21. Ta thấy, bộ lọc năy có một vọt lố (overshoot) ở cạnh dải thông ở phắa trước dải quâ ựộ. Nó cũng có câc múi bắn (sidelobe) khâ lớn trong dải chặn, múi bắn lớn nhất lă -15dB
Nhận xĩt :
Trong vắ dụ trắn, ta ựê minh họa băi toân thiết kế bộ lọc FIR pha tuyến tắnh với ựâp ứng tần số thay ựổi ựột ngột từ dải thông (Hr(ωr) = 1) sang dải chặn, trong dải chặn Hr(ω) ựược xâc ựịnh bằng 0 ở câc tần số rời rạc. Ta thấy bộ lọc có câc múi bắn khâ lớn, ựđy lă ựiều không mong muốn.
Trong vắ dụ sau ựđy, thay cho sự thay ựổi ựột ngột, ta xâc ựịnh một giâ trị trung gian của
Vắ dụ5.9 :
Thực hiện lại băi toân thiết kế trong vắ dụ 4.11 với câc chỉ tiắu của ựâp ứng tần số lă :
Giải :
Trong trường hợp năy, câc hệ số của bộ lọc thu ựược từ việc giải câc phương trình tuyến tắnh lă : h(0) = h(14) = - 0,01412893 h(1) = h(13) = - 0,001945309 h(2) = h(12) = 0,04000004 h(3) = h(11) = 0,01223454 h(4) = h(10) = - 0,09138802 h(5) = h(9) = - 0,01808986 h(6) = h(8) = 0,3133176 h(7) = 0,52 Nhận xĩt :
Mạch lọc thu ựược có ựâp ứng tần số ựược vẽ trong hình 5.22. Ta thấy câc múi bắn bđy giờ thấp hơn trong vắ dụ trước, múi bắn lớn nhất lă -41dB.
Trong vắ dụ năy, ta ựê mở rộng dải quâ ựộ ựó lă một sự bất lợi, nhưng ta ựê thu ựược một lợi ắch lớn hơn, ựó lă giảm ựược câc múi bắn một câch ựâng kể. Như vậy, có hai hiệu ứng ngược nhau, nếu ta ựưa thắm văo câc chỉ tiắu của ựâp ứng tần số trong dải quâ ựộ thì biắn ựộ của câc múi bắn sẽ giảm, trong khi ựó bề rộng dải quâ ựộ lại tăng. Tất nhiắn ta cần có sự cđn nhắc cho hợp lý.
Vắ dụ 5.10:
Hêy xâc ựịnh câc hệ số của mạch lọc FIR pha tuyến tắnh M = 16 mă ựâp ứng xung của nó ựối xứng vă ựâp ứng tần số thỏa mên ựiều kiện :
Giải :
Giải hệ thống câc phương trình tuyến tắnh, ta thu ựược ựâp ứng xung h(n) : h(0) = h(15) = 0,01051756 h(1) = h(14) = 0,02774795 h(2) = h(13) = 0,04067173 h(3) = h(12) = - 0,02057317 h(4) = h(11) = 0,04840164 h(5) = h(10) = - 0,155752 h(6) = h(9) = - 0,266221 h(7) = h(8) = 0,3362424
đđy lă mạch lọc thông dải, có ựâp ứng tần số ựược vẽ trong hình 4.23, múi bắn lớn nhất trong dải chặn giảm xuống còn -34dB.
Cuối cùng, việc chọn câc tần số ωk ựể xâc ựịnh câc chỉ tiắu của ựâp ứng xung của bộ lọc cần dựa trắn tần số cắt hay tần số cạnh dải thông ωp vă cạnh dải chặn ωs. Ta có thể chọn chiều dăi M của bộ lọc sao cho trong câc tần số{ωr} có tần số trùng hoặc gần trùng với ωp, ωs. Người thiết kế cũng có thể chọn 1 tập tần số{ωr} tùy ý, không cần phải câch ựều, sao cho nó phù hợp nhất với câc chỉ tiắu của ựâp ứng cho trước.
5.2.2.4. Công thức tắnh h(n)
Mục ựắch của ta lă tìm ựâp ứng xung h(n) của bộ lọc có ựâp ứng tần số mong muốn, từ ựó xâc ựịnh hăm truyền ựạt (hay phương trình sai phđn) vă xđy dựng cấu trúc của bộ lọc. Trong mục 5.2.2.3. ta ựê tắnh h(n) bằng câch giải câc hệ phương trình tuyến tắnh (5.67), (5.68) hoặc (5.72), (5.73), tổng quât hơn lă phương trình ma trận (5.74). Theo ựó, ta phải xâc ựịnh ma trận câc hệ số akn (ma trận [A]) hay ma trận câc hệ số bkn (ma trận [B]), vă sau ựó, ựể giải phương trình ma trận (5.74) (trường hợp chọn ựâp ứng xung phản ựối xứng ta thay ma trận [A] bằng ma trận [B]), ta phải tắnh ma trận nghịch ựảo. Việc lăm năy rõ răng lă tốn nhiều thời gian vă công sức. Vì vậy, ta muốn thiết lập một công thức sao cho có thể tắnh trực tiếp h(n).
Trước tiắn, ta xâc ựịnh ựâp ứng tần số mong muốn ở một tập tần số rời rạc câch ựều nhau {ωk}:
Sau ựó tìm ựâp ứng xung h(n) của bộ lọc FIR từ câc mẫu trong miền tần số ựê chọn. Theo ựịnh nghĩa, ựâp ứng tần số của bộ lọc FIR có chiều dăi M lă:
Giâ trị của ựâp ứng tần số tại câc tần số {ωr}lă:
với k = 0,1,2,...,M-1
Do H(k+α) có tắnh ựối xứng, nắn câc tần số chỉ ựịnh có thể giảm xuống còn (M-1)/2 nếu M lẻ, M/2 nếu M chẵn. Tuy nhiắn, ở ựđy ta muốn khảo sât ựặc tắnh tần số ở M ựiểm như ựê chỉ ựịnh ở pt(5.77).
để xâc ựịnh ựược h(n) từ H(k+α), ta nhđn hai vế của pt(5.77) với ej2πkm/M , trong ựó m=0,1,Ầ,M-1, rồi lấy tổng trắn k=0,1,Ầ,M-1. Vế phải của pt(5.77) sẽ rút gọn về Mh(n) ej2πkm/M vă ta thu ựược:
Ta thấy trong trường hợp α = 0 thì H(k) = DFT[h(n)] vă h(n) = IDFT[H(k)].
để tìm công thức tắnh h(n), ta sẽ dựa văo tắnh chất ựối xứng của h(n) vă giâ trị của α. Ta chia thănh câc trường hợp cụ thể như sau:
- α = 0, h(n) ựối xứng. - α = 1/2, h(n) ựối xứng. - α = 0, h(n) phản ựối xứng. - α = 1/2, h(n) phản ựối xứng.
Cũng cần chú ý rằng, trong câc ựiều kiện ựối xứng vă phản ựối xứng ựê xĩt, h(n) luôn luôn có giâ trị thực.
Vì h(n) thực, nắn từ pt(5.77) ta dễ dăng suy ra ựược H(k)=H*(M-k), vă vì h(n) ựối xứng nắn từ pt(5.77) ta thu ựược:
Ta thấy câc số hạng trong dấu ngoặc {} chắnh lă câc mẫu của Hr(ω) tại câc tần số
ωk=2πk/M. Vì vậy biểu thức của H(k) có dạng:
Vì Hr(2πk/M) có giâ trị thực, nắn G(k) cũng lă dêy thực. Hơn nữa, từ ựiều kiện H(k)=H*(M-k) dẫn ựến kết quả lă:
G(k) = - G(M-k) (5.84) Khi M chẳn, thì pt(5.84) ựòi hỏi rằng: G(M/2)=0, mặt khâc, mẫu của ựâp ứng tần số tại ω=π phải lă 0.
Từ tắnh chất ựối xứng của câc mẫu tần số có giâ trị thực G(k) trong pt(5.84), ta có thể thănh lập công thức tắnh ựâp ứng xung h(n) của bộ lọc FIR.
Từ pt(5.86) vă (5.87) ta có thể tắnh trực tiếp h(n) từ G(k) (hay Hr(2πk/M). Trong câch tắnh năy, ựể xâc ựịnh h(n) ta không cần phải tắnh ma trận nghịch ựảo như ựê lăm trong câc vắ dụ 5.7, 5.8 vă 5.9 (giải phương trình ma trận (5.74)).
Kế tiếp ta xĩt trường hợp α = 1/2 .
Vì h(n) lă dêy thực, nắn từ pt(5.77) ta suy ra ựược H(k+()=H*(M-1-k+(), hay H(k+1/2)=H*(M-k-1/2).
Bằng câch liắn kết tắnh chất năy với ựiều kiện ựối xứng h(n)=h(M-1-n), ta thu ựược:
trong ựó : ωk = 2π(2 + k)/M ; k = 0, 1, 2,..., M-1, Hr(ωk) ựược cho bởi pt(5.55) cho trường hợp M lẻ vă pt(5.56) cho trường hợp M chẵn. Ta thấy pt(5.88) có dạng của pt(5.81) với k ựược thay thế bằng (k+α).
Một lần nữa, ựể ựơn giản ta diễn tả H(k+α) dưới dạng:
Trong ựó:
Từ pt(5.89) ta suy ra ựược H(k+1/2)=H*(M-k-1/2), tắnh chất năy hăm ý rằng: G(k+1/2)=G(M-k-1/2) (5.91) Dựa vă tắnh chất ựối xứng (5.91) vă từ pt(5.78) ta có:
Tương tự cho trường hợp ựâp ứng xung phản ựối xứng, ta thiết lập ựược biểu thức tắnh h(n) tương ứng với α = 0 vă α = ơ. Cuối cùng công thức tắh ựâp ứng xung h(n) cho 4 trường hợp ựược tổng kết trong bảng 5.3.
Từ câc phđn tắch vừa rồi, ta sẽ tổng kết thănh câc bước thiết kế bộ lọc FIR bằng câch lấy mẫu ựâp ứng tần số.
Bước 1: Chọn loại bộ lọc, chiều dăi M của bộ lọc, tắnh chất ựối xứng của h(n), tập tần số ω vă chỉ ựịnh câc mẫu của ựâp ứng tần số tương ứng với tập tần số {ωk}.
Bước 2: Tắnh câc mẫu G(k) theo công thức tương ứng trong bảng 5.3
Bước 3: Tắnh ựâp ứng xung h(n) theo công thức tương ứng trong bảng 5.3
Bước 4: Tắnh ựâp ứng tần số H(ω) theo câc pt(5.54), (5.55), (5.56), (5.57) hoặc pt(5.59), (5.60), (5.61), (5.62), kiểm tra lại trong miền tần số bằng câch vẽ ựặc tuyến ựâp ứng biắn ựộ vă ựâp ứng pha. Nếu chưa thỏa câc chỉ tiắu kỹ thuật, thì chọn lại M hay tập tần số {(} hay câc mẫu Hr((k) vă trở lại từ bước 2.
Bảng 5.3: Công thức tắnh ựâp ứng xung h(n) đối xứng: h(n)=h(M-1-n) α αα α = 0 α α α α = 1/2 Phản ựối xứng: h(n) = -h(M-1-n)
α αα α = 0 α α α α=1/2
Cuối cùng lă khđu xđy dựng cấu trúc vă thi công bộ lọc. Ghi chú:
- Việc chọn tập tần số {ωk} vă câc mẫu Hr(ωk) tương ứng ựược dựa trắn ựâp ứng tần số của bộ lọc lý tưởng. Tuy nhiắn, việc chọn Hk(ωk) thay ựổi ựột ngột ở tần số cắt sẽ lăm phât sinh câc gợn sóng trong dải thông vă dải chặn không thể chấp nhận ựược. để lăm giảm biắn ựộ câc gợn sóng, ta phải mở rộng dải quâ ựộ bằng câch thắm văo một số mẫu Hr(ωk) có giâ trị trung gian trong dải quâ ựộ (gọi lă câc tham số quâ ựộ). Ta thấy ựể thực hiện tốt công việc năy còn phụ thuộc văo kinh nghiệm của người thiết kế. Câc tham số quâ ựộ tối ưu ựê ựược tổng kết bởi Rabiner (1970) (Tham khảo [11], trang 377).
- Do tắnh ựối xứng, thay vì phải xâc ựịnh M mẫu của Hr(ωk) ta chỉ cần xâc ựịnh (M+1)/2 mẫu khi M lẻ [ tương ứng với k = 0, 1, Ầ, (M-1)/2] vă M/2 mẫu khi M chẵn [ tương ứng với k = 0, 1, Ầ, M/2-1]
Hêy tắnh câc hệ số của một bộ lọc FIR pha tuyến tắnh chiều dăi M=32, có ựâp ứng xung thỏa ựiều kiện ựối xứng h(n) = h (M-1-n), vă ựâp ứng tần số thỏa ựiều kiện:
Trong ựó hệ số quâ ựộ lă: T1=0,3789795 với α=0 vă T1= 0,3570496 với α=1/2 (theo Rabiner Ờ 1970).
Giải:
- Ta thấy ựđy lă bộ lọc thông thấp vă bước 1 ựê hăm chứa trong câc ựiều kiện của ựề băi. Ta thấy, chỉ cần chọn (M+1)/2 = 16 mẫu của Hr(ωk)
- Aùp dụng công thức tắnh G(k) vă sau ựó lă công thức tắnh h(n) trong bảng 5.1, tương ứng với trường hợp h(n) ựối xứng vă M = 32 lần lượt cho 2 trường hợp α=0 vă α = ơ. Kết quả lần lượt ựược trình băy trong sau ựđy:
Câc kết quả trong vắ dụ 5.11 thu ựược từ chương trình firsampled viết bằng ngôn ngữ Matlab (xem phụ lục 3)
5.2.3. THIẾT KẾ BỘ LỌC FIR PHA TUYẾN TÍNH CÓ đỘ GỢN KHÔNG đỔI BẰNG
PHƯƠNG PHÂP LẶP
Phương phâp cửa sổ vă phương phâp lấy mẫu tần số lă kỹ thuật ựơn giản cho việc thiết kế bộ