Chƣơng 1 : CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
2.2 Thiết kế các tình huống PPDH khám phá định lí trong chƣơng “Dãy số-
cấp số cộng và cấp số nhân”
Trong chƣơng cĩ 6 định lí, tập trung ở bài cấp số cộng và bài cấp số nhân, cụ thể: định lí về số hạng tổng quát của cấp số cộng (D1), định lí về tính chất các số
hạng của cấp số cộng (D2), định lí về tổng n số hạng đầu của cấp số cộng (D3), Định lí về số hạng tổng quát của cấp số nhân (D4), định lí về tính chất các số hạng của cấp số nhân (D5), Định lí về tổng n số hạng đầu của cấp số nhân (D6).
Các định lí cĩ thể PPDH khám phá là những định lí cĩ thể tiếp cận bằng con đƣờng khâu suy đốn, tức là cĩ bƣớc dự đốn định lí từ thơng qua quy nạp, lật ngƣợc, tƣơng tự hĩa, khái quát hĩa các trƣờng hợp cụ thể và cĩ thể chứng minh đƣợc định lí.
Với định lí (D2) và (D5) cĩ thể dùng định lí (D1) và (D4) đã biết và suy diễn logic để dẫn đến định lí nên phù hợp với con đƣờng suy diễn hơn để tiết kiệm thời gian, vì thế khơng phù hợp để khám phá.
Các định lí (D1) và (D4), định lí (D3) và (D6) đều cĩ thể dạy học theo con đƣờng khâu suy đốn và đều cĩ thể thiết kế tình huống khám phá nhƣng vì tính chất tƣơng tự nhau và thời lƣợng tiết học của mỗi bài khơng đủ để tổ chức quá nhiều tình huống khám phá nên trong khuơn khổ đề tài chỉ thiết kế 1 tình huống khám phá cơng thức số hạng tổng quát, 1 tình huống khám phá tổng n số hạng đầu.
Quy trình khám phá định lí đƣợc tổ chức theo con đƣờng khâu suy đốn gồm: gợi động cơ học tập định lí, dự đốn và phát biểu định lí, chứng minh định lí, vận dụng định lí và củng cố định lí. Trong đĩ, sự khám phá thể hiện rõ nét ở khâu dự đốn và phát biểu định lí và phát biểu định lí. Do đĩ tình huống chỉ trình bày khâu gợi động cơ và dự đốn phát biểu là chính.
2.2.1 Thiết kế tình huống khám phá cơng thức số hạng tổng quát của cấp số cộng
Định lí về cơng thức số hạng tổng quát của cấp số cộng cĩ thể đƣợc khám phá thơng qua mối liên hệ với cơng thức số hạng tổng quát của dãy số.
Cách thức dùng để khám phá định lí này là kết hợp giải tốn, thảo luận nhĩm và trả lời câu hỏi.
Mục tiêu:
- Kiến thức: biết cơng thức số hạng tổng quát cấp số cộng.
- Kỹ năng: vận dụng đƣợc cơng thức vào giải tốn và trong thực tế.
Chuẩn bị:
- Chia lớp thành 3 nhĩm (Cĩ thể chia theo năng lực) - 3 phiếu học tập
Phiếu học tập 1: Bạn Lan nuơi heo đất, ngày thứ nhất bạn bỏ vào heo 1 nghìn
trƣớc 1 nghìn đồng. Hỏi ngày thứ 10, thứ 20, thứ n Lan sẽ bỏ vào heo bao nhiêu tiền?
Phiếu học tập 2:
Trong một hội chợ triển lãm, một cửa hàng để triển lãm bia đã xếp các lon bia theo dạng hình tháp sau.
Hãy cho biết cửa hàng đã chuẩn bị bao nhiêu lon bia để xếp tầng 10 của tháp này? Dự đốn cơng thức để tính số lon bia xếp tầng thứ n?
Phiếu học tập 3: Mai và Hùng chơi trị xếp que diêm thành hình tháp trên mặt sân,cách xếp thể hiện nhƣ sau:
Hỏi tầng 100 cần bao nhiêu que diêm? Dự đốn cơng thức tính số que diêm để xếp tầng thứ n?
GV gợi động cơ bằng cách nêu nhiệm vụ cho mỗi nhĩm.
HĐTP1: HS hoạt động theo nhĩm (giáo án 2- phụ lục 5)
Các câu hỏi định hƣớng khám phá
- Lập dãy số thích hợp thể hiện số tiền bỏ heo mỗi ngày(số lon bia mỗi tầng, số que diêm mỗi tầng). Dãy số lập đƣợc cĩ gì đặc biệt?
- Các dãy số tự nhiên, dãy số lẻ, dãy chia 4 dƣ 3 cĩ số hạng tổng quát nhƣ thế nào?
HĐ2: dự đốn và chứng minh định lí
GV tổng kết kết quả các nhĩm. CSC 1: u11, d 1 un n CSC 2: u11, d 1 un 2n1 CSC 3: u13, d 4 un 4n1
Câu hỏi định hƣớng khám phá
H1. Tách các số hạng tổng quát thànhu1 cộng với số nào? Số đĩ liên hệ với d thế nào? (yêu cầu phân tích).
H2. Trong cả 3 trƣờng hợp, Số hạng tổng quát liên hệ với u1 và d bởi hệ thức nào? (yêu cầu khái quát).
Từ kết quả của 3 nhĩm, thơng qua việc thực hiện yêu cầu phân tích số hạng tổng quát theo u1 và d HS sẽ phát hiện ra một quy luật chung và đi đến định lí.
Nhận xét: Nếu hạn chế về thời gian hoặc HS cĩ năng lực khơng cao thì nên
phát biểu dƣới dạng khác cho 3 phiếu nhƣ sau:
Phiếu số 1:
Cho dãy số un với un n
a) chứng minh dãy số là CSC, tìm u1 và d. b) Biểu diễn un theo u1 và d
Phiếu số 2:
Cho dãy số un với un 2n1
a) Chứng minh dãy số là CSC, tìm u1 và d. b) Biểu diễn un theo u1 và d
Phiếu số 3:
Cho dãy số un với un 4n1
c) Chứng minh dãy số là CSC, tìm u1 và d. d) Biểu diễn un theo u1 và d
2.2.2 Thiết kế tình huống khám phá tổng n số hạng đầu của cấp số nhân
Định lí về tổng n số hạng đầu của cấp số nhân cĩ đầy đủ các yếu tố để khám phá: cĩ thể gợi động cơ thơng qua nhiều câu hỏi thú vị, cĩ thể dự đốn qua việc trả lời các câu hỏi, và cĩ thể chứng minh từ việc khái quát các trƣờng hợp cụ thể.
Việc khám phá định lí mang lại cho HS tƣ duy về khái quát hĩa, đặc biệt hĩa trong tính tổng.
Định lí đƣợc khám phá bằng cách kết hợp giải bài tốn và trả lời câu hỏi.
Tục truyền rằng nhà vua Ấn Độ cho phép người phát minh ra bàn cờ vua được lựa chọn một phần thưởng theo sở thích. Người đĩ chỉ xin nhà vua thưởng cho số thĩc bằng số thĩc đặt lên 64 ơ của bàn cờ như sau: Đặt lên ơ thứ nhất của bàn cờ 1 hạt thĩc, tiếp đến ơ thứ 2 hai hạt,…cứ như vậy, số hạt thĩc ở ơ sau gấp đơi số hạt thĩc ở ơ liền trước cho đến ơ cuối cùng.
a) Hãy cho biết người đĩ nhận được tổng bao nhiêu hạt thĩc?
b) Nếu người đĩ đặt ở ơ đầu tiên 2 hạt, ơ thứ 2 đặt 4 hạt và tiếp tục theo quy luật trên thì số thĩc thu được là bao nhiêu?
c) Tính tổng số thĩc thu được nếu số hạt thĩc ở ơ đầu là 5 và số hạt thĩc ơ sau gấp 3 lần số hạt thĩc ơ liền trước.
Các câu hỏi định hƣớng khám phá (trích từ giáo án 3- phụ lục 5)
H1. Xác định dãy số ứng với số thĩc ở mỗi ơ trong từng phần? Yêu cầu của các
phần tƣơng ứng với yêu cầu tốn học nào? (mơ hình hĩa tốn học)
H4. Tổng ở phần a và phần b quan hệ nhƣ thế nào? (từng số hạng tƣơng ứng, các số
hạng giống nhau)? Sử dụng quan hệ ấy nhƣ thế nào trong q trình tính tổng? (phát hiện mối liên hệ).
Sau khi sử dụng và tính đƣợc tổng ở phần a, b. HS cĩ thể hình dung cách để tính tổng ở phần c.
H7. Các tổng trên liên hệ thế nào với u1,q, n? (trừu tƣợng hĩa)
H8. Chọn cơng thức nhƣ thế nào để cĩ thể biểu diễn cả 3 tổng trên? (khái quát hĩa) H9. Cơng thức này cĩ thể dùng để tính tổng cho mọi cấp số nhân khơng? Nếu q=1
thì cơng thức này cĩ dùng đƣợc khơng? Khi đĩ CSN cĩ dạng thế nào? Tổng bằng bao nhiêu?
Sau các câu hỏi này HS đã cĩ đầy đủ dữ liệu để phát biểu định lí. Việc chứng minh định lí sẽ đƣợc tƣơng tự hĩa và khái quát hĩa từ các phần.
Nhận xét: Sự khám phá trong hoạt động này thể hiện ở chỗ phát hiện vấn đề
của bài tốn liên quan đến CSN, phát hiện mối quan hệ của tổng Sa và Sb để từ đĩ thực hiện giản ƣớc đƣợc các số hạng giống nhau, so sánh thử nghiệm để đƣa ra một cơng thức chung tính các tổng theo u q n1, , , khái quát đƣợc cách chứng minh định lí qua cách tính các tổng.
HS sẽ gặp khĩ khăn khi tìm mối liên hệ giữa các tổng với số hạng đầu, cơng bội, và số số hạng tƣơng ứng trong mỗi tổng S Sa, b nhƣng ở tổng Sc khá rõ nét.
Khi thiết kế tình huống, dụng ý ở phần a và b chỉ để nhằm định hƣớng phƣơng pháp cho phần c vì tổng ở phần c mang tính tổng quát nhiều hơn.