Thiết kế các tình huống khám phá lời giải bài tốn thực tiễn

Chƣơng 1 : CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

2.4 Thiết kế các tình huống PPDH khám phá giải bài tập trong chƣơng “Dãy số

2.4.2 Thiết kế các tình huống khám phá lời giải bài tốn thực tiễn

Tình huống thiết kế qua bốn bài tập: một bài về cấp số nhân, một bài về cấp số cộng, một bài về so sánh 2 cấp số cộng, một bài về so sánh cấp số cộng và cấp số nhân. Các bài tốn đều mang màu sắc thực tế để tạo cảm giác gần gũi cho HS. Ngồi việc cho các em cách khám phá lời giải cho một bài tốn thuần túy và các thao tác tƣ duy khi gặp vấn đề mới, sự khám phá quan trọng nhất cĩ lẽ là ở chỗ các em tìm đƣợc cách mơ hình hĩa tốn học cho một vấn đề thực tiễn, cĩ nhƣ vậy khi giải quyết các vấn đề thực tiễn liên quan đến tốn học các em mới khơng bỡ ngỡ.

Cách thức khám phá lời giải bài tốn là sử dụng quy trình 4 bƣớc của Polya, trong đĩ chỉ trình bày 2 bƣớc cĩ yếu tố để HS khám phá lời giải: bƣớc hiểu rõ bài tốn và bƣớc tìm lời giải. Các bƣớc cịn lại xem chi tiết tại giáo án 4 – phụ lục 5.

Bài 1) Bài tốn về lãi suất (bài tốn số tiền bị lãng quên [19])

Vào năm 1663 ơng Michle cĩ bán gia tài của mình đƣợc 24$ và gửi vào 1 ngân hàng X với lãi suất 6% trong 1 năm, số tiền lãi sẽ đƣợc nhập vào gốc cho năm tiếp theo. Đến năm 2013 trong 1 lần tìm lại các giấy tờ của gia đình mình cháu ơng Michle là Role mới biết điều đĩ và muốn rút hết số tiền mà tổ tiên mình gửi vào lúc trƣớc ở ngân hàng X. Ngân hàng X trả cho ơng Role số tiền là 8400$. Ơng Role khơng đồng ý với số tiền đĩ. Nhƣ vậy thật sự ơng Role phải nhận đƣợc số tiền là bao nhiêu?

Hƣớng dẫn HS khám phá lời giải

Bước 1: Hiểu rõ bài tốn

H. Giả thiết cho gì? ẩn là gì? Yêu cầu gì?

Đ. Bài tốn cĩ giả thiết gửi 24$ với lãi suất 6% năm trong vịng 350 năm.

H. mỗi năm sẽ thu đƣợc một số tiền, vậy số tiền các năm lập thành 1 dãy số, cĩ thể sử dụng kí hiệu để bài tốn tƣờng minh hơn đƣợc khơng?

Đ. Đặt u124, u351 là số tiền năm 2013 ( số tiền năm thứ 351 kể từ năm gửi). H. cĩ thể biểu diễn điều kiện lãi suất 6%/năm và đƣợc nhập vào gốc cho năm tiếp theo thành cơng thức đƣợc khơng? (hai số hạng liên tiếp của dãy liên hệ với nhau nhƣ thế nào?

Đ.un1un6%.un 1,06un

H. cĩ thể phát biểu bài tốn dƣới dạng khác đƣợc khơng? (theo các kí hiệu và cơng thức) Đ. Cho dãy số cĩ 1 1 24 1, 06 n n u u  u      . Tìm u351 ?

Bƣớc 2: Xây dựng chƣơng trình giải

H. Bạn đã gặp bài tốn nào nhƣ thế này hoặc tƣơng tự nhƣ thế này? Đ. Bài tốn tìm số hạng tổng quát của một dãy.

H. Dãy số cho bởi cách nào?

Đ. Dãy số cho bởi hệ thức truy hồi.

H. Nhƣ vậy muốn tìm u351 ta phải làm gì? Điều đĩ cĩ khả thi khơng? Đ. Phải tìm các số hạng u u2, 3,...,u350 , điều này mất rất nhiều thời gian.

H. Dãy số cho bởi cách nào thì dễ tìm số hạng bất kì? Dãy số này cĩ thể tìm đƣợc số hạng tổng quát khơng? cĩ gì đặc biệt khơng? Cĩ liên quan đến định lí nào khơng?

Đ. Dãy số cho bởi cơng thức số hạng tổng quát. Dãy này là một cấp số nhân nên cĩ cơng thức số hạng tổng quát.

H. tìm cơng thức số hạng tổng quát. Từ cơng thức này cĩ tìm đƣợc u351 khơng? Đ.CSN cĩ số hạng đầu 24, cơng bội q=1,06 nên 1 1

1. n 24.1,06n

n

u u q    . Từ đĩ cĩ thể tìm số hạng bất kì.

Bài 2) Bài tốn nuơi heo đất

Bạn Lan nuơi heo đất lấy tiền mua quà 8-3. Ngày thứ nhất bỏ vào heo đất 10.000 đồng, số tiền bỏ heo ngày hơm sau nhiều hơn số tiền bỏ ngày ngay trƣớc nĩ 2.000 đồng.

Nếu Lan muốn đủ tiền mua quà cho mẹ giá 90.000 đồng thì Lan cần mất ít nhất bao nhiêu ngày tiết kiệm ?

Hƣớng dẫn HS khám phá lời giải

Bước 1: Hiểu rõ bài tốn

H. Giả thiết cho gì? ẩn là gì? Yêu cầu gì?

Đ. Bài tốn cĩ giả thiết gửi bỏ tiền vào heo ngày thứ nhất 10000, mỗi ngày sau bỏ tăng 2000 so với ngày trƣớc đĩ.

Ẩn là số ngày tiết kiệm. Yêu cầu tìm số ngày tiết kiệm để đủ tiền mua quà.

H. Số tiền bỏ heo hàng ngày lập thành liên hệ với khái niệm tốn học nào? cĩ thể sử dụng khái niệm đĩ để bài tốn tƣờng minh hơn khơng?

Đ. Lập thành dãy số, gọi un là số tiền bỏ heo ngày thứ n, dãy số thu đƣợc là  un H. cĩ thể biểu diễn điều kiện “số tiền bỏ heo ngày hơm sau nhiều hơn số tiền bỏ ngày ngay trƣớc nĩ 2.000 đồng” và “đủ tiền mua quà cho mẹ giá 90.000 đồng thì Lan cần mất ít nhất bao nhiêu ngày tiết kiệm” thành cơng thức liên quan đến dãy vừa lập đƣợc khơng ?

Đ.un1un2 , tìm n để u1  u2 ... un90

H. cĩ thể phát biểu bài tốn dƣới dạng khác đƣợc khơng? Đ. Cho dãy số cĩ 1 1 10 2 n n u u  u       . Tìm n để u1  u2 ... un 90 ?

Bƣớc 2: Xây dựng chƣơng trình giải

H. Bạn đã gặp bài tốn nào nhƣ thế này hoặc tƣơng tự nhƣ thế này? Đ. Bài tốn tính tổng các số hạng của một dãy số?

H. Dãy số cho bởi cách nào? Muốn tính tổng ta phải làm thế nào? Đ. Dãy số cho bởi hệ thức truy hồi.

H. Muốn tính tổng ta phải làm thế nào? Điều đĩ cĩ khả thi khơng?

Đ. Phải tìm các số hạng của tổng , điều này khơng làm đƣợc vì chƣa biết cần tính bao nhiêu số hạng.

H. Dãy số nhƣ thế nào thì dễ tìm tổng? Dãy số này cĩ tính chất đĩ khơng? Cĩ liên quan đến định lí nào khơng?

Đ. Dãy số cĩ quy luật, các dãy đặc biệt. Dãy này là một CSC nên cĩ định lí để tính tổng .

H. Lập tổng cho cấp số cộng này. Từ cơng thức này làm sao để tìm n? Đ.CSC cĩ số hạng đầu 10, cơng sai d=2 nên:

  2 2 1 1 10 9 2 n n n d S nu  n n n n n

       . Từ yêu cầu muốn tìm n phải lập bất phƣơng trình.

Bài 3) Bài tốn trả lƣơng

Anh Bình là một kỹ sƣ giàu kinh nghiệm sắp kí hợp đồng lao động với cơng ty liên doanh A, cơng ty đề xuất hai phƣơng án trả lƣơng nhƣ sau:

Phƣơng án 1: Ngƣời lao động sẽ nhận 360 triệu cho năm làm việc đầu tiên, và kể từ năm làm việc thứ hai, mức lƣơng sẽ đƣợc tăng thêm 30 triệu đồng so với năm trƣớc đĩ.

Phƣơng án 2: Ngƣời lao động sẽ đƣợc nhận 70 triệu đồng cho qúy làm việc đầu tiên, và kể từ quý làm việc thứ hai, mức lƣơng sẽ đƣợc tăng thêm 5 triệu đồng so với quý trƣơc đĩ.

Theo bạn, anh Bình nên nhận lƣơng theo phƣơng án nào để cĩ lợi cho mình?

Hƣớng dẫn HS khám phá lời giải

Bước 1: Hiểu rõ bài tốn

H. Giả thiết cho gì? ẩn là gì? Yêu cầu gì?

Đ. Bài tốn cĩ giả thiết về hai phƣơng án trả lƣơng.

Yêu cầu chọn phƣơng án trả lƣơng cĩ lợi cho ngƣời lao động. Ẩn là tổng số tiền lƣơng nhận đƣợc theo phƣơng án đã chọn.

H. Số tiền lƣơng theo mỗi năm (mỗi quý) liên hệ với khái niệm tốn học nào? cĩ thể sử dụng khái niệm đĩ để bài tốn tƣờng minh hơn khơng?

Đ. Lập thành dãy số, gọi un là số lƣơng nhận đƣợc năm thứ n,vn (đơn vị triệu đồng) số tiền lƣơng nhận đƣợc quý thứ n, dãy số thu đƣợc là  un và  vn .

Ẩn là Sn    u1 u2 .... u Tn, n    v1 v2 .... vn

H. Cĩ thể biểu diễn điều kiện “kể từ năm làm việc thứ hai, mức lƣơng sẽ đƣợc tăng thêm 30 triệu đồng so với năm trƣớc đĩ” và “kể từ quý làm việc thứ hai, mức lƣơng sẽ đƣợc tăng thêm 5 triệu đồng so với quý trƣớc đĩ” ?

H. giả thiết trả lƣơng theo năm và theo quý cĩ liên hệ gì với nhau? Liên hệ này liên quan thế nào tới các ẩn?

Đ. 1 năm cĩ 4 quý do đĩ nếu tính tổng Sn cho phƣơng án 1 thì phải tính tổng T4n

cho phƣơng án 2.

H. cĩ thể phát biểu bài tốn dƣới dạng khác đƣợc khơng? Đ. Cho 2 dãy số  un : 1 1 360 30 n n u u  u       và  vn : 1 1 70 5 n n v v  v       .Tìm tổng lớn hơn trong 2 tổng 1 2 .... , 1 2 .... 4 n n n n S    u u u T    v v v ?

Bƣớc 2: Xây dựng chƣơng trình giải

H. Bạn đã gặp bài tốn nào nhƣ thế này hoặc tƣơng tự nhƣ thế này? Đ. Bài tốn tính tổng các số hạng của một dãy số.

H. Dãy số cho bởi cách nào? Muốn tính tổng ta phải làm thế nào? Đ. Dãy số cho bởi hệ thức truy hồi.

H. Muốn tính tổng ta phải làm thế nào? Điều đĩ cĩ khả thi khơng?

Đ. Phải tìm các số hạng của tổng , điều này khơng làm đƣợc vì chƣa biết cần tính bao nhiêu số hạng.

H. Dãy số nhƣ thế nào thì dễ tìm tổng? Dãy số này cĩ tính chất đĩ khơng? Cĩ liên quan đến định lí nào khơng?

Đ. Dãy số cĩ quy luật, các dãy đặc biệt. 2 dãy này là CSC nên cĩ định lí để tính tổng .

H. Lập tổng cho các cấp số cộng này. Làm sao để chọn tổng lớn hơn? Đ.  un là CSC cĩ số hạng đầu u1 , cơng sai d nên  

1 1 2 n n n d S nu   

 vn là CSC cĩ số hạng đầu v1 , cơng sai d‟ và trong n năm cĩ 4n quý nên   4 1 4 4 1 4 2 n n n d T nv    Để chọn tổng lớn hơn phải so sánh 2 tổng.

H. Làm sao so sánh 2 tổng? 2 tổng đã tƣờng minh chƣa?

Câu hỏi khám phá thêm khi nhìn lại nội dung lời giải:

- Em cảm thấy trong quá trình tìm kiếm lời giải cho bài tốn, phần nào dễ sai lầm nhất? phần nào em thấy khĩ khăn nhất?

Bài 4) Bài tốn đào giếng

Tìm hiểu tiền cơng khoan giềng của hai cơ sở khoan giếng ngƣời ta đƣợc biết

-Ở cơ sở A: Giá của mét khoan đầu tiên là 80000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá mỗi mét khoan tăng 5000 đồng so với giá của mét khoan ngay trƣớc nĩ.

-Ở cơ sở B: Giá của mét khoan đầu tiên là 60000 đồng, và kể từ mét khoan thứ hai giá mỗi mét sau tăng thêm 7% giá mét khoan ngay trƣớc nĩ.

Một ngƣời muốn chọn một trong hai cơ sở nĩi trên để thuê khoan một giếng sâu 20 mét. Hỏi ngƣời ấy nên chọn cơ sở nào, nếu chất lƣợng cũng nhƣ thời gian khoan giếng của hai cơ sở trên là nhƣ nhau?

Nếu độ sâu giếng cần khoan là 25m thì cĩ cịn chọn cơ sở nhƣ trên khơng? Vì sao?

Hƣớng dẫn HS khám phá lời giải

Bước 1: Hiểu rõ bài tốn

H. Giả thiết cho gì? ẩn là gì? Yêu cầu gì?

Đ. Bài tốn cĩ giả thiết về hai phƣơng án trả khoan giếng với cách tính phí khác nhau.

Yêu cầu chọn cơ sở khoan giếng cĩ lợi (về chi phí) cho ngƣời thuê. Ẩn là tổng chi phí cho cùng một độ sâu theo từng cơ sở.

H. Tập số tiền trả theo mỗi mét khoan liên quan đến khái niệm tốn học nào? cĩ thể sử dụng khái niệm đĩ để bài tốn tƣờng minh hơn khơng?

Đ. Lập thành dãy số, gọi un là số tiền (đơn vị nghìn đồng) trả cho cơ sở A ở mét thứ n,vn (đơn vị nghìn đồng) là số tiền trả cho cơ sở B ở mét thứ n, dãy số thu đƣợc là

 un và  vn

Ẩn là Sn    u1 u2 .... u Tn, n    v1 v2 .... vn

H. Cĩ thể biểu diễn điều kiện “kể từ mét khoan thứ hai, giá mỗi mét khoan tăng 5000 đồng so với giá của mét khoan ngay trƣớc nĩ” và “kể từ mét khoan thứ hai giá mỗi mét sau tăng thêm 7% giá mét khoan ngay trƣớc nĩ” ?

Đ.un1 un5 và vn1  vn 7%.vn

Đ. Cho 2 dãy số  un : 1 1 80 5 n n u u  u       và  vn : 1 1 60 7%. n n n v v  v v       .Tìm tổng nhỏ hơn trong 2 tổngSn    u1 u2 .... u Tn, n    v1 v2 .... vn cho trƣờng hợp n=20 và n=25?

Bƣớc 2: Xây dựng chƣơng trình giải

H. Bạn đã gặp bài tốn nào nhƣ thế này hoặc tƣơng tự nhƣ thế này? Đ. Bài tốn tính tổng các số hạng của một dãy số.

H. Dãy số cho bởi cách nào? Muốn tính tổng ta phải làm thế nào?

Đ. Dãy số cho bởi hệ thức truy hồi. Tổng tính đƣợc khi biết tất cả các số hạng

H. Dãy số nhƣ thế nào thì dễ tìm tổng? Dãy số này cĩ tính chất đĩ khơng? Cĩ liên quan đến định lí nào khơng?

Đ. Dãy số cĩ quy luật, các dãy đặc biệt. 2 dãy này là CSC và CSN nên cĩ định lí để tính tổng .

H. Lập tổng cho các cấp số cộng này. Làm sao để chọn tổng nhỏ hơn? Đ.  un là CSC cĩ số hạng đầu u1 , cơng sai d nên  

1 1 2 n n n d S nu   

 vn là CSN cĩ số hạng đầu v1 , cơng bội q nên 1.1 1 n n q T u q    Để chọn tổng nhỏ hơn phải so sánh 2 tổng.

H. Làm sao so sánh 2 tổng? 2 tổng đã tƣờng minh chƣa? Đ. Tính trực tiếp và so sánh 2 số.

Câu hỏi khám phá thêm khi nhìn lại nội dung lời giải:

- Cĩ thể tìm đƣợc lời giải khác khơng? Liệu khoan từ bao nhiêu mét thì chọn cơ sở A, từ bao nhiêu mét thì lựa chọn cơ sở B?

Một số bài tập rèn luyện Bài 1.Bài tốn dân số

Dân số Việt Nam Năm 2013 là 90 triệu ngƣời, với tỉ lệ tăng tự nhiên là 1,1%. Dự

đốn dân số của Việt Nam năm 2020?

Bài 2.Bài tốn xây dựng

Ngƣời ta định xây dựng 1 tịa tháp 11 tầng tại ngơi chùa nọ, theo cấu trúc diện tích của mặt sàn tầng trên bằng nửa diện tích mặt sàn tầng dƣới, biết diện tích mặt đáy

tháp là 128 m2. Hãy giúp các bậc thầy nhà chùa ƣớc lƣợng số gạch hoa cần dùng để lát nền nhà. Để đồng bộ các nhà sƣ muốn lát nền nhà bằng gạch hoa cỡ 30cm.30cm.

Bài 3. Một hào đổi lấy 5 xu

Tƣơng truyền vào một ngày nọ, cĩ một nhà tốn học đến gặp một nhà tỉ phú và đề nghị đƣợc bán tiền cho ơng ta theo thể thức sau: Liên tục trong 30 ngày, mỗi ngày nhà tốn học bán cho nhà tỉ phú 10 triệu đồng với giá 1 đồng ở ngày đầu tiên, và kể từ ngày thứ 2, mỗi ngày nhà tỉ phú phải mua với giá gấp đơi ngày hơm trƣớc. Khơng một chút đắn đo, nhà tỉ phú đồng ý ngay tức thì, lịng thầm cảm ơn nhà tốn học đã cho ơng một cơ hội hốt tiền nằm mơ cũng khơng thấy. Hỏi nhà tỉ phú đã lãi đƣợc bao nhiêu trong vụ mua bán kì lạ này?

Bài 4. Tuổi hĩa thạch

Carbon (C) cĩ hai đồng vị là C14 và C12 (nguồn gốc của C14 chính là N14 chuyển hĩa dƣới ảnh hƣởng của các tia vũ trụ). Hai đồng vị này cĩ tính chất hĩa học tƣơng tự nhau, tuy nhiên C14 là đồng vị phĩng xạ vì vậy nĩ bị phân rã và giảm dần khối lƣợng theo thời gian, trong khi đồng vị C12 vẫn bền vững và khơng bị mất đi. Trong thời gian sống, thực vật hấp thụ CO2 và các chất chứa Carbon khác, nghĩa