Định nghĩa 3.11 (Bảo toàn LΦ-tương tự hai chiều của khái niệm)
Một khái niệm C của LΦ được gọi là bảo toàn LΦ-tương tự hai chiều giữa các diễn dịch chứng kiến nếu, với mọi cặp diễn dịch chứng kiến I, I0 và với bất kỳ x ∈ ∆I và x0 ∈ ∆I0, nếu x ∼Φ x0 thì CI(x) = CI0(x0).
Bổ đề 3.1 (Tính chất của diễn dịch chứng kiến).
Cho I và I0 là hai diễn dịch chứng kiến và Z là LΦ-mô phỏng hai chiều mờ giữa I và I0. Khi đó, các tính chất sau đây là đúng với mọi khái niệm
C ∈LΦ, mọi vai trò R ∈LΦ, ∀x ∈ ∆I và ∀x0 ∈ ∆I0:
• Z(x, x0) ≤ (CI(x) ⇔ CI0(x0)) ;
• ∀y ∈ ∆I : ∃y0 ∈ ∆I0, Z(x, x0)RI(x, y) ≤ Z(y, y0)RI0(x0, y0) ;
• ∀y0 ∈ ∆I0 : ∃y ∈ ∆I, Z(x, x0)RI0(x0, y0) ≤ Z(y, y0)RI(x, y) Chứng minh:.
định trong bổ đề này. Chẳng hạn, với bất đẳng thức đầu tiên:
Theo bất đẳng thức 3.11 đối với ∀A ∈ C trong Định nghĩa 3.9, và tính chất kết hợp và phân phối của các phép toán trên tập mờ (theo ngữ nghĩa Gódel), nhận được Z(x, x0) ≤(CI(x) ⇔ CI0(x0)). Định lý bảo toàn LΦ-tương tự hai chiều của khái niệm sau đây là hệ quả của Bổ đề 3.1.
Định lý 3.1 (Tính bảo toàn LΦ-tương tự hai chiều của khái niệm). Mọi khái niệm LΦ là bảo toàn LΦ-tương tự hai chiều giữa các diễn dịch. Bổ đề 3.2 (Cận trên của quan hệ Z(x, x0)).
ChoI và I0 là các diễn dịch chứng kiến vớiL0
Φ và Z một LΦ-mô phỏng hai chiều mờ giữa I và I0. Khi đó, với mọi khái niệm C của L0
Φ, mọi x ∈ ∆I
và mọi x0 ∈ ∆I0, Z(x, x0) ≤ (CI(x) ⇔CI0(x0)).
Định nghĩa 3.12 (TBox mờ bảo toàn LΦ-tương tự hai chiều )
Một TBox mờ T được gọi là bảo toàn LΦ-tương tự hai chiều mờ giữa các diễn dịch chứng kiến nếu, với mọi diễn dịch I và I0 là mô phỏng hai chiều
LΦ với nhau, I |= T khi và chỉ khi I0 |= T. Khái niệm bảo toàn của các ABox choLΦ-mô phỏng hai chiều giữa các diễn dịch được định nghĩa tương tự.
Định lý 3.2 (LΦ-tương tự hai chiều của TBox).
Nếu U ∈ Φ và I 6= ∅, thì mọi TBox mờ trong LΦ là LΦ-tương tự hai chiều giữa các diễn dịch chứng kiến.
Định lý 3.3 (LΦ-tương tự hai chiều của ABox).
Cho A là một ABox mờ trong LΦ. Nếu O ∈ Φ hoặc A chỉ chứa các khẳng
định có dạng C(a) ./ p, thì A là bảo toàn LΦ-tương tự hai chiều giữa các diễn dịch chứng kiến.