3.2.1. Tập mờ và các phép toán tập mờ
Tập mờ do I. A. Zadeh khởi xướng từ năm 1965 [95] với mục tiêu cốt lõi là biểu diễn một tính chất của các đối tượng mà nhận thức về tính chất đó ở mỗi đối tượng là "mờ" (không rõ ràng), theo đó, con người có đánh giá khác nhau về tính chất đó trong môi trường đối tượng. Trải qua trên năm mươi năm phát triển, tập mờ đã có sự phát triển cao với ứng dụng rộng rãi trong rất nhiều lĩnh vực nghiên cứu và triển khai. Mục con này trình bày những nội dung cơ bản nhất về tập mờ. Ký hiệu X là không gian các đối tượng (điểm, dữ liệu) đang được quan tâm, ký hiệu x là phần tử tổng quát của X. Như vậy, X = {x}.
Định nghĩa 3.1 [95]
Một tập mờ A trong X được biểu diễn bằng một hàm thành viên (hay hàm
đặc trưng) fA(x) tương ứng mỗi đối tượng x ∈ X với một giá trị fA(x)
thuộc đoạn [0,1], trong đófA(x) biểu diễn “mức độ thành viên” của x trong
A.
Như vậy, độ thành viên (membership, cũng gọi độ thuộc) của các phần tử x ∈ X tới một tập mờ A có giá trị thuộc một miền liên tục từ 0 tới 1. Giá trị fA(x) càng gần 1 thì mức độ thành viên của x trong A càng cao. Khi A là một tập thông thường thì fA(x) chỉ nhận một trong hai giá trị 0 và 1, với fA(x) = 1 (fA(x)=0) tương ứng với tình huống đối tượng x thuộc (không thuộc) tập A. Như vậy, trong trường hợp này, hàm thành viên fA(x) rút gọn thành "hàm đặc trưng" của tập A (thường được ký hiệu là λA trong lý thuyết tập hợp). Tập thông thường Y ⊆ X còn được gọi là tập đơn giản (hay tập rõ:crisp set). Nói chung đối với tập mờ, không có quan hệ một phần tử x "thuộc" một tập mờ A mà chỉ có thể có quan hệ “phần tử x thuộc tập mờ A với mức độ fA(x)”. Nói một cách chặt chẽ, tập mờ A không phải là một tập hợp theo nghĩa thông thường, và như đã được đề cập, tập mờ chỉ dẫn một tính chất "mờ" của các đối tượng trong một tập các đối tượng.
Ví dụ 3.1 (Ví dụ về tập mờ)
Cho X là tập các số nguyên là tuổi của nhân viên trong công ty (X = [18, 60]: theo quy định của luật lao động). Trong công ty không có quy định về người già, song trong bài toán khai phá luật kết hợp với thuộc tính tuổi, cần đưa vào một tập mờ A “các nhân viên già” trong công ty. Khi đó, fA(x)=0
∀x ≤ 30, fA(x)=1 ∀x ≥55 và fA(x) đơn điệu không giảm trong khoảng x
từ 30 tới 55 và nhận giá trị từ 0 tới 1, chẳng hạn, fA(x)= ((x-30)/25) :
∀x ∈ [30,55].
Các khái niệm, phép toán (phép toán quan hệ, phép toán đại số), luật De Morgan đối với tập thông thường cũng được khảo sát đối với tập mờ.
Định nghĩa 3.2 [95] (Một số khái niệm, phép toán và luật De Morgan trên tập mờ)
• Tập mờ A được gọi là rỗng nếu fA(x)=0: ∀x ∈ X.
• Hai tập mờ A và B được gọi là bằng nhau, ký hiệu A = B, khi và
chỉ khi fA(x) = fB(x) ∀x ∈ X (ta viết fA = fB thay cho fA(x) =
fB(x)∀x ∈ X; tương tự viết fA ≤ fB thay chofA(x) ≤ fB(x) ∀x ∈ X; và mở rộng cho mọi dấu phép toán so sánh khác).
• Phần bù của tập mờ A, ký hiệu là ¬A, là tập mờ có hàm thành viên
f¬A = 1−fA.
• Tập mờ A được gọi là bị chứa trong tập mờ B (A "là tập con" của B
hoặc A "nhỏ hơn" B), ký hiệu A ⊂B, khi và chỉ khi fA ≤fB: A ⊂ B
⇔ fA ≤ fB. Định nghĩa tương tự cho các quan hệ giữa hai tập mờ và mở rộng cho nhiều tập mờ như "chứa" (“lớn hơn”), "chứa thực sự" (lớn hơn thực sự “), nhỏ nhất”, “lớn nhất”...
• Hợp của hai tập mờA(với hàm thành viênfA(x)) vàB (với hàm thành viên fB(x)) là một tập mờ C, ký hiệu C = A∪B, với hàm thành viên
fC(x) có giá trị là fC(x) = max[fA(x), fB(x)]∀x ∈ X : fC = fA∨fB. Phép hợp hai tập mờ ∨ có tính kết hợp: A∨(B ∨C) = (A∨B)∨C. Có thể chứng minh được khẳng định “hợp giữa hai tập mờ là tập mờ nhỏ nhất chứa cả hai tập mờ đó”.
• Giao của hai tập mờ A (với hàm thành viên fA(x)) và B (với hàm thành viên fB(x)) là tập mờ C, ký hiệu C = A∨B, với hàm thành viên
fC(x) có giá trị là fC(x) = min[fA(x), fB(x)]∀x∈ X : fC = fA∨fB. Phép giao hai tập mờ ∩ có tính kết hợp: A∩(B∩C) = (A∩B)∩C. Tương tự như trên, cũng chứng minh được khẳng định “giao giữa hai tập mờ là tập mờ lớn nhất bị chứa bởi cả hai tập mờ đó”.
• Tập mờ cũng đáp ứng Luật De Morgan như tập thông thường.
3.2.2. Ba ngữ nghĩa của tập mờ
Hợp và giao là hai phép toán có vai trò đặc biệt quan trọng trong lý thuyết tập mờ vì chúng là nền tảng cho việc kết hợp các tập mờ. Chính vì lý do đó, nhằm tạo nên cơ chế linh hoạt tích hợp các tập mờ, người ta đã tổng quá hóa công thức tính hàm thành viên của hợp (giao) hai tập mờ thông qua hai chuẩn s−norm và t−norm. Hàm f: [0,1]x[0,1] → [0,1]
được gọi là chuẩn s−norm(t−norm) nếu thỏa bốn tính chất: • Tính giao hoán: f(x, y) =f(y, x),∀x, y ∈ [0,1];
• Tính đơn điệu: nếu x ≤y thì f(x, z) ≤ f(y, z),∀z ∈ [0,1]; • Kết hợp: f(x, f(y, z)) = f(f(x, y), z),∀x, y, z ∈ [0,1];
• Trung tính với 0: f(x,0) = x,∀x ∈ [0,1] (Trung tính với 1: f(x,1) =
x,∀x∈ [0,1]).
Hàm max(x, y) là một hàm chuẩn s−norm, hàm min(x, y) là một hàm chuẩnt−norm. Nói một cách tổng quát, hợp (giao) của hai tập mờAvàB là tập mờ có hàm thành viênfA∪B(fA∩B đáp ứng chuẩns−norm(t−norm)
của hai hàm thành viên fA và fB. Chuẩn s−norm còn được gọi là chuẩn t−conorm.
Các phép toán đại số trên tập mờ được xác định tương ứng trên hàm thành viên, chẳng hạn, tích đại số AB(fAB = fAfB), tổng đại số A +
B(fA+B = fA+fB), hiệu tuyệt đối|A−B|(f|A−B| = |fA−fB|). Một quan hệ mờ trên tập X là một tập mờ trên XxX, có nghĩa là quan hệ mờ R trên X tương ứng với hàm thành viên fR trên tập XxX. Ngoài học ngữ
nghĩa gốc do A. Zadeh đưa ra, ba họ ngữ nghĩa khác cũng được sử dụng khá phổ biến. Một tóm tắt về bốn họ ngữ nghĩa tập mờ được chỉ ra ở Bảng 3.1 [16].
Như đã đề cập ở Chương 1, F. Bobillo và cộng sự [16] chỉ ra rằng ngữ
Họ mờ t-Normpq t-Conormpq Phủ địnhp Kéo theop⇒q
Zadeh min(p, q) max(p, q) 1−p max(1−p, q)
Lukasiewicz max(p+q−1,0) min(p+q,1) 1−p min(1−p+q,1)
Gódel min(p, q) max(p, q)
1 p= 0 0 p >0 1 p≤q q p > q Product p.q p+q−p.q 1 p= 0 0 p >0 1 p≤q q/p p > q Bảng 3.1: Họ các toán tử mờ
nghĩa mờ Gódel rất thú vị để nghiên cứu. Một mặt, chuẩn t (t-norm) và
chuẩn s (s-norm còn được gọi là t-conorm) theo ngữ nghĩa mờ Gódel giống như theo ngữ nghĩa mờ Zadeh cho nên cho tiềm năng ứng dụng rộng rãi trong ontology mờ vì các chuẩn nói trên cho phép việc kết hợp là không phụ thuộc chi tiết vào các ontology thành phần. Mặt khác, toán tử kéo theo (R-implication) theo ngữ nghĩa Gódel có tính logic tốt tránh được các hiệu ứng phản trực giác (counter-intuitive effects của toán tử kéo theo theo ngữ nghĩa Zadeh.
3.2.3. Toán tử mờ Gódel
Như đã giới thiệu trong Bảng 3.1, họ các toán tử mờ Gódel cơ bảnđược định nghĩa như sau [16]: được định nghĩa như sau [16]:
Phép giao hai tập mờ có hàm thành viên p,q:
pq = min{p, q} (3.1)
Phép hợp hai tập mờ có hàm thành viên p,q:
Phép phủ định tập mờ có hàm thành viên p:
p =
(
1 nếu p = 0,
0 ngược lại. (3.3)
Phép kéo theo của hai tập mờ có hàm thành viên p,q:
(p⇒ q) = (1 nếu p≤ q, ngược lại q) (3.4)
Phép tương đương của hai tập mờ có hàm thành viên p,q:
(p ⇔q) = (p ⇒q)(q ⇒ p) (3.5) Trong đó p, q ∈ [0,1]. Chúng ta nhận được: (p ⇔ q) = 1 nếu p = q, và
(p ⇔q) = min{p, q} trong trường hợp ngược lại.
Để mở rộng phép hợp và phép giao cho nhiều tập (hàm) mờ, phép giao và phép hợp các giá trị trong [0,1] thuộc một tập Γ được định nghĩa như sau:
Γ = inf Γ (3.6)
Γ = sup Γ (3.7)
trong đó giá trị sup hoặc inf thuộc đoạn [0,1].
Cho ∆ và ∆0 là hai miền tương ứng với các diễn dịch đối với LGMT. Cho hai tập mờ (còn được gọi là "quan hệ mờ") R, S : ∆ ×∆0 → [0,1], nếu R(x, y) ≤ S(x, y) với mọi hx, yi ∈ ∆×∆0, thì viết R ≤ S và nói rằng S
là lớn hơn hoặc bằng R. Phép hợp hai hàm mờ R và S, ký hiệu là RS:
∆×∆0 → [0,1] được định nghĩa như sau:
(RS)(x, y) =R(x, y)S(x, y). (3.8) Phép hợp hàm mờ được mở rộng cho nhiều hàm mờ: Nếu Z là một tập các hàm mờ ∆×∆0 → [0,1], thì phép hợp các hàm mờ thuộc Z (ký hiệu là Z) được định nghĩa như sau:
(Z)(x, y) = {Z(x, y) | Z ∈ Z} (3.9) Định nghĩa phép giao hai và nhiều hàm mờ là hoàn toàn tương tự.
Cho R : ∆×∆0 → [0,1] và S : ∆0 ×∆00 → [0,1], hàm tích của hai hàm mờ R◦S là một hàm có dạng ∆×∆00 → [0,1] được định nghĩa như sau: