Định nghĩa 3.13 (Diễn dịch mờ L0
Φ-bảo toàn phương thức) Một diễn dịch mờ I được gọi là L0
Φ-bảo toàn phương thức theo ngữ nghĩa Gódel (viết tắt là L0
Φ- bảo toàn phương thức) nếu đáp ứng các điều kiện sau đây:
• Với mọi p ∈ (0,1], mọi x ∈ ∆I, mọi vai trò cơ sở R của LΦ và mọi tập vô hạn khái niệm trong L0
Φ, nếu với mọi tập con hữu hạn Λ của
Γ, tồn tại y ∈ ∆I sao cho RI(x, y)CI(y) ≥ p với mọi C ∈ Λ, thì tồn tại y ∈ ∆I sao cho RI(x, y)CI(y) ≥ p với mọi C ∈ Γ;
• Nếu Q ∈ Φ, thì với mọi p ∈ (0,1], mọi x ∈ ∆I, mọi vai trò cơ sở R
của LΦ, mọi tập vô hạn Γ các khái niệm trong L0
Φ và mọi n ∈ N, nếu với mọi tập con hữu hạn Λcủa Γ, tồn tại n phần tử khác nhau đôi một
y1, . . . , yn ∈ ∆I sao cho RI(x, yi)CI(yi) ≥ p với mọi 1 ≤i ≤ n và
C ∈ Λ, thì tồn tại n phần tử khác nhau đôi một y1, . . . , yn ∈ ∆I sao cho RI(x, yi)CI(yi) ≥ p với mọi 1 ≤ i ≤n và C ∈ Γ;
• Nếu U ∈ Φ, thì với mọi p ∈ (0,1] và mọi tập vô hạn khái niệm Γ
trong L0
Φ, nếu với mọi tập con hữu hạn Λ của Γ, tồn tại y ∈ ∆I sao cho CI(y) ≥ p với mọi C ∈ Λ, thì tồn tại y ∈ ∆I sao cho CI(y) ≥p
với mọi C ∈ Γ.
Rõ ràng, mọi diễn dịch mờ hữu hạn là L0
Φ- bảo toàn phương thức với Φ
bất kỳ.
Nếu U /∈ Φ, thì mọi diễn dịch mờ giới hạn hình ảnh đối với Φ là L0 Φ-bảo toàn phương thức .
Định lý 3.4 (LΦ-mô phỏng hai chiều mờ lớn nhất giữa hai diễn dịch mờ). Cho I và I0 là các diễn dịch mờ, chứng kiến với L0
Φ và là L0
Φ-bảo toàn phương thức.
Quan hệ mờ Z : ∆I ×∆I0 →[0,1] được xác định như sau:
Z(x, x0) = {CI(x) ⇔ CI0(x) | C là một khái niệm của L0Φ}.
chính là LΦ-mô phỏng hai chiều mờ lớn nhất giữa I và I0.
Cho hai diễn dịch mờ I, I0 và x ∈ ∆I, x0 ∈ ∆I0, ký hiệu x ≡Φ x0 chỉ dẫn CI(x) =CI0(x0) cho mọi khái niệm C của LΦ. Tương tự, ký hiệu x ≡0
Φ x0 chỉ dẫn CI(x) =CI0(x0) đối với mọi khái niệm C của L0
Φ.
Hệ quả 3.1 (Tương tự hai chiều mờ của các phần tử). Cho I và I0 là hai diễn dịch mờ và x ∈ ∆I, x0 ∈ ∆I0.
• Nếu I và I0 là L0
Φ-chứng kiến và L0
Φ- bảo toàn phương thức thì
x ∼Φ x0 khi và chỉ khi x ≡0 Φ x0.
• Nếu I và I0 là hai diễn dịch mờ LΦ-hữu hạn ảnh thì
x ∼Φ x0 khi và chỉ khi x ≡0Φ x0.
• Nếu I và I0 là LΦ-chứng kiến và L0
Φ- bảo toàn phương thức thì
x ≡Φ x0 khi và chỉ khi x ∼Φ x0 khi và chỉ khi x ≡0 Φ x0.
Chứng minh: Khẳng định 1 (tương ứng, khẳng định 3) suy luận trực tiếp từ Định lý 3.4 và Bổ đề 3.2 (tương ứng, 3.1). Khẳng định 2 suy luận trực
tiếp từ khẳng định 1.
Hệ quả sau đây là kết quả suy luận trực tiếp từ Định lý 4.4 và Bổ đề 4.1.
Hệ quả 3.2 (Điều kiện LΦ-tương tự hai chiều của hai diễn dịch). Cho I và I0 là hai diễn dịch mờ LΦ-chứng kiến và L0
Φ- bảo toàn phương thức. Khi đó, I và I0 là LΦ-tương tự hai chiều khi và chỉ khi aI ≡0
Φ aI0 đối với mọi a ∈ I.