Năm 1950, J. Nash [65] đề xuất một khung toán học đơn giản, gọn gàng để nghiên cứu về đàm phán. Trong khung đàm phán này:
• Một tập N = {1, . . . , n} gồm n tác tử;
• Một tập kết quả có thể (possible outcomes) O; • Một tập bất đồng có thể {D};
• Mỗi tác tử i có một hàm lợi ích von Neumann - Morgenstern ui :
OS
{D} → R∗. Lợi ích của tập n tác tử được biểu diễn bằng bộ lợi ích, S = {(u1(o), . . . , un(o)) ∈ Rn : o ∈ O};
• Khi phát sinh sự kiện bất đồng D, bộ lợi ích khi bất đồng d = (u1(D), . . . , un(D)) được xây dựng.
• Cặp (S, d) được gọi là một bài toán đàm phán. Tập tất cả các bài toán đàm phán được ký hiệu là B.
Tiếp đó, J. Nash định nghĩa giải pháp đàm phán là:
• Một hàm f : B →Rn ánh xạ từng bài toán đàm phán (S, d) tới một kết quả duy nhất f(S, d) ∈ S;
• Một lý thuyết tiên đề đàm phán với một tập bốn tiên đề trực quan như sau [65] :
1. Tính bất biến đối với biểu diễn lợi ích tương đương1: Bài toán đàm phán (S0, d0) có được từ (S, d) theo các biến đổi s0i = αisi + βi và di0 = αidi + βi trong đó αi > 0, từ đó suy ra fi(S0, d0) =αifi(S, d) +βi với i = 1, . . . , n.
2. Tối ưu Pareto
Nếu (S, d) là một bài toán đàm phán, s, s0 ∈ S, và si ≤ s0i đối với bất kỳ i = 1, . . . , n và sj < s0j đối với một số j = 1, . . . , n, thì f(S, d) 6= s.
3. Sự độc lập của các lựa chọn không thích hợp
Nếu (S, d) và (S0, d) là những bài toán đàm phán sao cho S0 ⊆ S và f(S, d) ∈ S0 thì f(S, d) =f(S0, d).
4. Tính đối xứng
Nếu bài toán đàm phán (S, d) là đối xứng, tức là d1 = . . . = dn
và (s1, . . . , sn) ∈ S ⇔ (sπ(1), . . . , sπ(n)) ∈ S đối với bất kỳ hoán vị π trên 1, . . . , n thì f1(S, d) =. . . = fn(S, d).
J. Nash chỉ ra rằng các tiên đề được đề xuất nhằm đặc tả tính duy nhất của giải pháp đàm phán x = (x1, . . . , xn) và nó được gọi là giải pháp đàm phán Nash. Giải pháp này có được khi tích Πni=1(xi−di) đạt cực đại.