2.3.1 Phương pháp nộisuy sử dụng hàm dạng lý thuyết
Phương pháp nội suy r,s,t là phương pháp nội suy dùng hàm dạng dựa trên cơ sở các phần tử 3 chiều. Phần tử bất kỳ với n đỉnh sẽ có n hàm định dạng.
Với phần tử 8 đỉnh như hình vẽ, chúng ta sẽ có 8 hàm định dạng riêng biệt. Tổng quát hóa chúng ta có thể xây dựng hàm định dạng bậc nhất, bậc hai, bậc ba… Hàm định
dạng bậc càng cao thì càng cần nhiều các điểm chuẩn cho mỗi phần tử. Việc lựa chọn bậc của hàm định dạng tối ưu phụ thuộc vào bản chất biến thiên sai số trong mỗi phần tử, khi luật biến thiên phức tạp chúng ta cần phải dùng hàm định dạng bậc cao để có thể nhận được giá trị nội suy của sai số với độ chính xác cao hơn, điều này lại đòi hỏi biết trước nhiều hơn sai số tại các điểm chuẩn, thời gian xử lý và bộ nhớ máy tính lớn hơn.
Hình 2.2 Hệ tọa độ( r,s,t) cho các hàm định dạng
Hàm định dạng cho 8 phần tử trên hình 2.2 xác định như sau:
(2-3)
Ởđây r,s,t là hệ tọa độ để xác định các giá trị nội suy có gốc tại trọng tâm của phần tử và được tính theo công thức sau:
(2-4)
Trong công thức này a, b, c là giá trị các bán trục của phần tử theo phương x, y, z tương ứng.
(2-5)
Như vậy giá trị các tọa độ r, s, t sẽ biến thiên từ -1 tới +1.
Các hàm định dạng với sơ đồ chia phần tử bất kỳ đều phải thỏa mãn ba điều kiện sau:
- Thứ nhất: Giá trị các hàm định dạng của mỗi điểm bằng 1 tại chính điểm đó, còn giá trị của tất cả các hàm định dạng khác tại điểm đó đều bằng không.
- Thứ hai: Giá trị các hàm định dạng giảm dần từ 1 tại điểm đó tới 0 tại các điểm chuẩn khác.
Ni (pi) = [1 ≪ 𝑖 = 𝑗
0 ≪ 𝑖1 = 𝑗
-Thứ ba: Tổng giá trị các hàm định dạng tại một điểm bất kỳ đều bằng 1.
Tới đây chúng ta hoàn toàn có thể xác định được giá trị các hàm định dạng tại một điểm bất kỳ theo công thức sau:
(2-6)
Trong đó:
t: là nhiệt độ tại điểm cần tính trong lòng hộp;
ti: nhiệt độ đã biết tại các điểm chuẩn do các cảm biến nhiệt cung cấp; n: số cảm biến nhiệt sử dụng.
Khi quét hết không gian trong lòng hộp theo cả ba chiều x, y, z có thể cho ra trường nhiệt độ trong cả khối hộp.Việc xử lý dữ liệu sau đó để ra quyết định phù hợp với mục đích yêu cầu của từng nhiệm vụ cụ thể.
2.3.2 Phương pháp nội suy sử dụng hàm dạng thực nghiệm
Trong kỹ thuật, việc nội suy một loại tham số vật lý cụ thể nào đó trong các môi trường hay trường vật lý khác nhau cần sử dụng các hàm dạng khác nhau. Nếu hàm
dạng không đúng việc nội suy sẽ mắc phải sai số tính toán lớn, sai số này là sai số phương pháp hay sai số thuật toán. Để phép nội suy hàm dạng khớp với một kiểu thay thế cụ thể nào đó,việc xác định kiểu hàm dạng là cần thiết và kỹ thuật hồi quy sau đây
Theo hình 2.1, khi pithay đổi các hàm dạng (N1,N2,...,Nn)icũng biến đổi theo. Giả sử khảo sát một tập hợp n điểm nằm phía bên trong của trường n nguồn (1,2, ...,
n) với toàn bộ (n+1) giá trị cường độ tham số (1,2, ...,n,pi) biết trước thông qua đo đạc, giữ nguyên cường độ tham số tại các nguồn, chỉ thay đổi điểm khảo
sát. Theo
(1)hệ phương trình sau đây hoàn toàn xác định được:
{
𝜂𝑝1 = 𝑁1(1). 𝜂1+ 𝑁2(1). 𝜂2+ ⋯ + 𝑁𝑛(1). 𝜂𝑛 ⋮ 𝜂𝑝𝑛 = 𝑁1(𝑛). 𝜂1+ 𝑁2(𝑛). 𝜂2+ ⋯ + 𝑁𝑛(𝑛). 𝜂𝑛
(2-7)
Hệ phương trình (3) không đủ điều kiện để giải do nó có n2ẩn số trong khi chỉ có n phương trình. Bây giờ thực nghiệm ngược lại, tức là tại một điểm khảo sát piduy nhất giữ cho các hàm dạng không thay đổi là (N1,N2,...,Nn)i, chỉ thay đổi cường độ n nguồn
phát sao cho: { 𝜂𝑝𝑖(1) = 𝑁1. 𝜂1(1)+ 𝑁2. 𝜂2(1)+ ⋯ + 𝑁𝑛. 𝜂𝑛(1) ⋮ 𝜂𝑝𝑖(𝑛) = 𝑁1. 𝜂1(𝑛) + 𝑁2. 𝜂2(𝑛)+ ⋯ + 𝑁𝑛. 𝜂𝑛(𝑛) (2-8)
Từ đây xác định được giá trị dừng của hàm dạng tại tất cả các nguồn:
[ 𝑁1 ⋮ 𝑁𝑛 ] 𝑝𝑖 = [ 𝜂1(1) ⋯ 𝜂𝑛(1) … … … 𝜂1(𝑛) ⋯ 𝜂𝑛(𝑛) ] −1 . [ 𝜂𝑝𝑖(1) ⋮ 𝜂𝑝𝑖(𝑛) ] (2-9)
Một bộ giá trị dừng duy nhất theo (5) không đủ để xác định được hàm dạng tổng quát, cần đổi sang một loạt điểm khảo sát khác, chẳng hạn khảo sát các điểm từ p1÷ pm
để có được: [ 𝑁1 ⋮ 𝑁𝑛 ] 𝑝1 ; [ 𝑁1 ⋮ 𝑁𝑛 ] 𝑝2 ;… ; [ 𝑁1 ⋮ 𝑁𝑛 ] 𝑝𝑚 (2.10)
Như vậy luật hồi quy cho phép xác định được hàm dạng tổng quát ở nguồn thứ i như sau:
( Np(i1) , Np(i2) ,..., Npm(i) ) fi ( x , y , z ) (2.11)
Do yêu cầu đặc biệt của hàm dạng là kết quả nội suy tại một nguồn bằng chính giá trị cường độ tại nguồn đó. Từ đó rút ra rằng, hàm dạng có giá trị dừng lớn nhất tại chính nguồn của nó, giảm dần theo các hướng khác và bằng không tại nguồn khác. Vì vậy nên đưa chính các nguồn vào khảo sát (5) trước khi hồi quy tìm hàm dạng tổng quát (2-11).