Sau khi xác định được biểu thức chung cho hàm dạng theo công thức (6) có hai vấn đề đó là: Bài toán thuận và bài toán nghịch. Bài toán thuận là cung cấp các tọa độ cần xác định nhiệt độ và cường độ tham số cho mỗi nguồn, yêu cầu xác định cường độ tham số tại các tọa độ điểm đã cho. Bài toán ngược cho cường độ của mỗi nguồn yêu cầu tìm tọa độ của các điểm cho cương độ và tìm cường độ tham số max/min của trường. Sau đây là bài toán cụ thể nhữngvấn đề này và phương pháp thực hiện.
3.2.1 Bài toán thuận
Ở bài toán thuận, cho tọa độ (x, y, z) của một điểm trong không gian và cường độ tham số tại nguồn cần xác định hệ số hình dạng của từng nguồn theo công thức
Sau đó sử dụng công thức dưới đây để xác định cường độ tham số ( nhiệt độ ) tại điểm cần đo.
Giả sử rẳng nhiệt độ tại các đỉnh của mô hình nhà kính có cường độ như trong bảng 11
Bảng 3.11. Cường độ nhiệt tại mỗi nguồn
1 2 3 4 5 6 7 8
Khảo sát 9 điểm được đánh dấu như trong mô hình với các tọa độ đã cho có các giá trị nhiệt độ cụ thể được tính toán theo mô hình nội suy (1). Đồng thời thực hiện phép đo bằng dụng cụ đo tại chín điểm khảo sát này. Lấy giá trị tính toán theo mô hình nội
suy và giá trị đo thực tế so sánh với nhau ta được bảng sau.
Điểm khảo sát Nhiệt độ nội suy Nhiệt độ đo thực tế
p1(450,40,-38) 16.0955 15.8 – 16.52 p2(400,80,-76) 16.984 16.56 – 17.36 p3(350,120,-114) 17.8185 17.34 – 18.23 p4(300,160,-152) 18.752 18.4 – 18.14 p5(250,200,-190) 19.9375 19.46 – 20.27 p6(200,240,-228) 21.528 21.16 – 21.99 p7(150,280,-266) 23.6765 23.3 – 24.11 p8(100,320,-304) 26.536 26.11 – 26.92 p9(50,360,-342) 30.2595 29.79 – 30.62
Hình 3.14 Nhiệt độ nội suy và nhiệt độđo thực tế tại các điểm khảo sát
Nhận thấy nhiệt độ tính toán theo mô hình nội suy xấp xỉ so với nhiệt độ đo thực tế tại các điểm khảo sát với sai số 0.5 . Sai số này chấp nhận được trong môi trường khảo sát hay đối với hầu hết các lĩnh vực cần quan tâm đến nhiệt độ. Từ đó cho thấy mô hình nội suy nhiệt độ có thể xác định chính xác nhiệt độ tại một điểm trong không gian khảo sát mà không cần thực hiện một phép đo trực tiếp tại điểm đó.
3.2.2 Bài toán nghịch
Giả sử việc mô hình hóa trường đa cực (3) đã hoàn tất, cần xác định một điểm hoặc một tập điểm có cường độ là kcho trước nằm phía trong của trường. Đây là bài toán rất phổ biến trong kỹ thuật ở các lĩnh vực như truyền nhiệt, sấy…
Trở lại hình 1, gọi điểm pk(xk, yk, zk)là điểm có cường độ kcần tìm, với các tọa độ của nóchính là ẩn số. Theo (6), các ẩn này nằm trong hàm dạng và tại điểm có cường độ tham số ksẽ xảy ra quan hệ (1) viết cho điểm pknhư sau:
Dạng khai triển của biểu thức này là (8):
Bài toán được chuyển sang dạng tương đương để sử dụng phương pháp GRG [2] như (9):
Nghiệm của bài toán (9) là tập hợp điểm pk(xk, yk, zk)có cùng giá trị cường độ k
cần tìm.
Giả sử cần tìm tọa độ của một điểm có nhiệt độ đúng bằng 16.50 trong vùng khảo sát như trình bày trong bài toán thuận, theo (9) bài toán tối ưu có dạng như (10):
Point x y z temperature Target function 1 168.7518 17.98125 -237.098 16.500 1.19E-29 2 167.1076 68.21727 -204.131 20.000 3.87E-29 3 450.0942 152.0304 -0.00073 16.000 2.48E-23 4 157.6392 209.1048 -380 29.000 2.84E-29
Hình 3.4 Tọa độ một sốđiểm yêu cầu khi chạy trên solver với bài toán (10)
Point x y z temperature Target function 1 499.9927 399.9991 -0.03421 13.900 8.43E-31 2 499.9694 399.8653 -379.855 54.500 2.23E-26
Hình 3.5 Giá trị giới hạn về nhiệt của miền khảo sát
Bằng cách quét giá trị k trong biểu thức (9) trong khi đảm bảo các giá trị x,y,z nằm trong vùng khảo sát, kết quả khảo sát nhận được giá trị nhiệt độ nhỏ nhất và lớn nhất của trường nhiệt trong ví dụ này là 13.90C đến 54.50C. Tức là giới hạn bé nhất này lớn hơn giá trị nhiệt bé nhất tại nguồn số 8 và giá trị lớn nhất lớn hơn giá trị lớn nhất tại nguồn số 7 có thể cung cấp. Đây là các giới hạn mà dù quá trình trao đổi nhiệt có kéo dài hơn nữa các ngưỡng này vẫn giữ nguyên. Điều này sẽ không xảy ra nếu các nguồn nhiệt có kể đến sự suy hao do trao đổi nhiệt với môi trường xung quanh. Mô hình được đề xuất ở đây không phải là một hệ riêng lẻ độc lập nó được cấp năng lượng không đổi để các nguồn duy trì sự ổn định theo giá trị đặt ban đầu và không điều khiển phản hồi tham số nhiệt từ môi trường xung quanh. Khi các nguồn nhiệt không được cấp năng lượng để duy trì cường độ ban đầu, nếu biết quy luật nguội đi của nó sẽ giải được bài toán (9) dễ dàng, tuy nhiên trường hợp này nhiệt độ lớn nhất và nhỏ nhất nhận được sẽ có giá trị khác đi so với ở đây.
Kết luận:
Với mô hình toán, phương pháp và công cụ như trong luận văn trình bày hoàn toàn có thể xác định được nhanh chóng tọa độ của điểm có tham số theo yêu cầu:
1. Xác định được nhiệt độ tại điểm bất kì bên trong không gian khảo sát khi biếtđược tọa độ của điểm đó trong không gian khảo sát bằng hàm hàm dạng tối ưu.