Rõ ràng hàm dạng lý thuyết thể hiện sự đối xứng trong kết cấu không gian nội suy, nó rất thuận tiện khi sử dụng do tính có sẵn của nó. Tuy nhiên khi đối chứng thực nghiệm cho thấy độ chính xác của hàm dạng thực nghiệm đem lại luôn vượt trội hơn so với hàm dạng lý thuyết, kết quả sẽ luôn trùng nhau tại các điểm lấy mẫu đo, do vậy có thể thấy rằng sai số trong tình huống này chính là sai số do dạng hàm chưa hợp lý mang lại (sai số phương pháp).
Với những gì cho thấy kết quả so sánh này hoàn toàn có cơ sở để tin tưởng rằng trong điều kiện cùng một mật độ điểm mẫu, phương pháp hàm dạng thực nghiệm luôn cho kết quả tốt hơn do trường tham số không đối xứng lý tưởng. Mặc dù hàm dạng thực nghiệm có chi phí thành lập cao hơn nhưng điều này xứng đáng với độ chính xác kết quả mà nó mang lại.
2.5 Bài toán thuận nghịch dựa trên mô hình trường
2.5.1 Bài toán thuận
Sau khi xác định biểu thức tổng quát của các hàm dạng , sẽ có hai bài toán là bài toán thuận và bài toán ngược. Bài toán thuận cho trước tọa độ và cường độ tham số từng nguồn, yêu cầu xác định cường độ tham số tại một điểm cho trước tọa độ.
Bài toán ngược sẽ cho trước cường độ từng nguồn, yêu cầu tìm tọa độ của những điểm có cường độ cho trước, tìm cường độ tham số max/min của trường. Dưới đây lần lượt trình bày các bài toán này và phương pháp thực hiện.
Ở bài toán thuận, khi cho trước tọa độ (x,y,z) của một điểm trong không gian và cường độ tham số tại các nguồn. Cần xác định hệ số dạng của mỗi nguồn , sau đó sử dụng để xác định cường độ tham số tại điểm yêu cầu.
2.5.2 Bài toán nghịch
Giả sử việc mô hình hóa trường đa cực đã hoàn tất, cần xác định một điểm hoặc một tập điểm có cường độ là kcho trước nằm phía trong của trường. Đây là bài toán rất phổ biến trong kỹ thuật ở các lĩnh vực như truyền nhiệt, sấy…
Trở lại hình 1, gọi điểm pk(xk, yk, zk) có cường độ klà điểm cần tìm. Các biến tọa độ
(2-14)
Dạng khai triển của biểu thức này là (8):
(2-15)
Bài toán được chuyển sang dạng tương đương để sử dụng phương pháp GRG [2] như (9):
𝑥𝑚𝑖𝑛≤ 𝑥 ≤ 𝑥𝑚𝑎𝑥
𝑦𝑚𝑖𝑛≤ 𝑦 ≤ 𝑦𝑚𝑎𝑥 (2-16)
𝑧𝑚𝑖𝑛≤ 𝑧 ≤ 𝑧𝑚𝑎𝑥
Nghiệm của bài toán (2-16) là tập hợp điểm pk(xk, yk, zk) có cùng giá trị cường độ
kcần tìm.
Bằng cách quét giá trị ktrong biểu thức (2-16) trong khi đảm bảo các giá trị x,y,z nằm trong vùng khảo sát, kết quả khảo sát nhận được giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của trường liên tục.
2.5.3 Phương pháp GRG
Về công cụ thuật toán GRG hiệu quả rõ nét trên mô hình này, dưới đây là giới thiệu về thuật toán GRG.
Xét bài toán tối ưu:
f ( x) Minimize subject :
Trong đó hàm f(x) và hi(x) phải liên tục và khả vi tại x và lân cận của x thỏa
mãn:
{x | xlk≤ x≤ xuk k = 1,..., n} (2-17)
Trước hết khai triển gần đúng hàm f(x) và hi(x) tại x1như sau:
𝑓̃(x,x1)=f(x1) + ∇𝑓(x1)(x-x1)
Các biến số được chia thành 2 tập là 𝑥̂ là các biến cơ sở và 𝑥̅là các biến không cơ sở. Các hệ số ∇ℎ1(x) cững chia thành 2 tập hợp là ∇ℎ̂1 và ∇ℎ̅1(x) chứa các biến cơ sơ và không cơ sở theo thứ tự đó dạng khai triển của 2 đại lượng này như sau:
Bm*m = [ ∇ℎ̂1 ∇ℎ̂2 . .. ∇ℎ̂m] và Am*(n-m) = [ ∇ℎ̅1 ∇ℎ̅2 . .. ∇ℎ̅m] (2-19)
Vì x1 là phương án xấp xỉ đầu chấp nhận được, thỏa các ràng buộc của bài toán nên nghiệm kế tiếp có thể viết là:
ℎ̃(x,x1)=h1(x1) + ∇ℎ1(x1)(x-x1)=0 , i=1,..,m và ∇ℎ1(x1)(x-x1) i=1,..,m. (2-20)
Biểu diễn các điều kiện ràng buộc dưới dạng như sau:
[𝐵 𝐴̅] [𝑥̂ − 𝑥̂1
𝑥̅ − 𝑥̅1] = 0 (2-21)
Tập hợp các biến cơ sở có thể biểu diễn bởi phương trình:
𝑥̂=𝑥̂1-B-1𝐴̅(𝑥̅ − 𝑥̅1) (2-22)
Nếu x1là lời giải tối ưu, gradient của hàm mục tiêu phải bằng không, có nghĩa là:
𝜕𝑓̃ 𝜕𝑥̅ = 𝜕𝑓̃ 𝜕𝑥̂ 𝜕𝑥̂ 𝜕𝑥̅ +𝜕𝑓̃ 𝜕𝑥̅̅̅̅1 = ∇𝑓̅(x1) - ∇ 𝑓̂(x1)B-1𝐴̅ = 0 (2-23)
Phương trình (2-12) xem như lượng giảm véc tơ gradient, nếu véc tơ gradient giảm bằng 0 tại giá trị x1 thì nó cũng thỏa mãn điều kiện cân bằng Lagrange. Trái lại nếu di chuyển dọc theo hướng 𝑑̅ = −𝑓̃ sẽ đạt được giá trị nhỏ hơn của hàm mục tiêu.
Giá trị mới này sẽ được giữ lại, theo phương trình (1) các biến cơ sở sẽ biến đổi theo hướng𝑑̂ = - B-1𝐴̅𝑑̅ , do đó hướng tìm kiếm nghiệm mới của bài toán sẽ là:
d = [𝑑̂
𝑑̅] (2-24)
Các hướng tìm kiếm đã xác định nhưng độ dài bước đi trên hướng đó chưa tính được, giá trị của bước đi trên các hướng tìm kiếm đã chọn sẽ thay đổi theo từng vòng lặp. Theo Powell, để xác định được độ dài bước tìm kiếm có thể sử dụng một quy trình gồm hai pha như sau.
Giả sử rằng hướng tìm kiếm d tại điểm hiện thời x đã xác định được, gọi bước tìm kiếm lớn nhất có thể đạt được trên hướng d là D được chia đều làm mười phần, pha 1 gồm các bước như sau:
Với k = 1
FA=F(x) DA=0 FB=F(x) DB=0 FC=F(x) DC=0
Step 1. y = x+Dd and FY=F(y) let FC=FB DC=DB FB=FA DB=DA FA=FY DA=D
Step 2 . If FA<FB then k=k+1, D=kD. Back to step 1. If FA>FB and k=1 then
let DB=0.5(DA+DC) and calculates y=x+DB*d and FY.
Let FB=FY back to main program. If FA>FB and k>1 then back to main program. Pha 2:
Trên hướng tìm kiếm của pha 1 có thể điểm tối ưu nằm trong khoảng (xa, xc), trong
pha này powell giới thiệu một phương pháp ước lượng bằng hàm bậc hai để tính toán vị trí của điểm tối ưu.
Bước 1: sử dụng kết quả của pha 1, vị trí gần đúng của điểm tối ưu được cho bởi công thức sau: 𝑥∗=1 2 (𝑥𝑐2−𝑥𝑏2)𝐹𝐴+(𝑥𝑎2−𝑥𝑐2)𝐹𝐵+(𝑥𝑏2−𝑥𝑎2)𝐹𝐶 (𝑥𝑐− 𝑥𝑏)𝐹𝐴+(𝑥𝑎− 𝑥𝑐)𝐹𝐵+(𝑥𝑏− 𝑥𝑎)𝐹𝐶 (2-25) Bước 2: Xác định (2-26)
Nếu xảy ra điều kiện:
(2-27)
thì dừng tìm kiếm và quay lại chương trình chính.
Trái lại sẽ hủy bỏ các giá trị không chấp nhận được xa, xb, xc và chấp nhận điểm
x*sắp xếp ba điểm xa, xb, xctheo thứ tự xa>xb>xcvà quay lại bước 1.
Nếu tọa độ của điểm tìm kiếm vượt ra ngoài vùng chấp nhận được, cần điều chỉnh lại bằng phương pháp Newton như sau:
Tính m ràng buộc:
(2-28) Quy trình này được lặp đi lặp lại cho đến khi:
‖𝑥𝑖+1− 𝑥𝑖‖<
Nếu tất cả các điều kiện dừng được thỏa mãn, giá trị mới của lời giải sẽ nằm trong vùng chấp nhận được.
Về cơ bản thuật toán GRG gồm các bước chính sau đây:
Bước 1: tìm một phương án xuất phát chấp nhận được và chia nó ra làm hai tập hợp là biến cơ sở và biến không cơ sở kí hiệu lần lượt là𝑥̂𝑘 và 𝑥̈𝑘
Bước 2: xác định hướng tìm kiếm, sử dụng phương trình (2.8) để tính gradient của các biến không cơ sở, xem xét các điều kiện biên với mỗi biến và thực hiện các biến đổi sau:
𝑑̅ = {
∇𝑓 ̃ 𝑖𝑓 ∇𝑓 ̃ > 0 𝑎𝑛𝑑 𝑥̅ − 𝑥𝑙̅ > 𝜀 −∇𝑓 ̃ 𝑖𝑓 ∇𝑓 ̃ < 0 𝑎𝑛𝑑 𝑥̅𝑢 − 𝑥𝑙̅ > 𝜀
0 𝑂𝑡ℎ𝑒𝑟𝑤𝑖𝑠𝑒
(2-29)
Tiếp tục kiểm tra điều kiện tối ưu, nếu |𝑑̅|< quá trình dừng lại, nếu không thỏamãn cần thay đổi 𝑑̅theo các phương trình (2-29). Sử dụng phương trình (2-24) để
tính 𝑑̅ và cuối cùng là xác định hướng tìm kiếm d.
Bước 3: Thực hiện quá trình tìm kiếm gồm hai pha như đã giới thiệu ở trên.
Bước 4: Kiểm tra điều kiện ràng buộc của bài toán, nếu điểm tìm kiếm vượt ra ngoài vùng giới hạn cần điều chỉnh lại bước tìm kiếm theo phương pháp Newton như nói ở trên.
Bước 5: Thay đổi tập cơ sở
Nếu các biến số tiệm tiến tới giới hạn của chúng, chẳng hạn:
xk – xlk < or xuk– xk < (2-30)
Khi đó biến phải loại ra khỏi tập cơ sở và trở thành biến không cơ sở, nói cách khác các biến không cơ sở có giá trị tuyệt đối lớn nhất trong véc tơ gradient được lựa chọn để đưa vào tập các biến cơ sở. Do các biến đã thay đổi, tính cập nhật lại các ma trận B và sau đó quay lại bước 2.
2.5.4 Trình tối ưu solver của Excel
Thông thường những ứng dụng toán học được định hướng chủ yếu với Matlab và mapple nhưng các thực nghiệm cụ thể cho thấy những hàm chuẩn của các công cụ này không hiệu quả khi giải bài toán tối ưu dưới dạng hệ phương trình siêu việt hoặc tối ưu hóa hàm siêu việt bị ràng buộc giống như mô hình bài toán giới thiệu ở đây.
Giải thuật được sử dụng ở đây là phương pháp giảm gradient tổng quát về bản chất là một phương pháp có sử dụng đạo hàm. Do các tìm kiếm được thực hiện theo hướng hàm giảm giá trị mạnh nhất, là hướng ngược với hướng của véc tơ gradient nên kết quả được cải thiện mạnh nhất sau mỗi vòng lặp. Chương trình ứng dụng cụ thể là gói Solver được tích hợp kèm theo Excel của MS OFFICE. Chương trình này sẵn có trên bất cứ máy tính nào, tuy nhiên solver là gói tùy chọn trong khi cài đặt nên nếu không lựa chọn cài đặt ngay từ đầu có thể cần cài bổ xung khi muốn sử dụng.