Các đặc trưng khi sửa răng cửa hàm dưới

lại của đường cong sẽ thay đổi thế nào? Ta sẽ dùng phương trình của đường cong B-spline để giải quyết vấn đề này.

Chú ý, đường cong B-spline không nội suy qua tất cả các điểm điều khiển nhưng nó xấp xỉ hình dạng của đường cong đó. Và khi một điểm điều khiển thay đổi, B-spline dễ dàng điều khiển sự thay đổi của các điểm còn lại để tìm ra đường cong mới. B-spline nói trong phần này gồm các đoạn đường cong mà các hệ số của đa thức chỉ phụ thuộc vào một vài điểm điều khiển. Đó là các điểm điều khiển cục bộ. Như vậy di chuyển một điểm điều khiển sẽ chỉ ảnh hưởng tới một phần nhỏ của đường cong. Hơn thế nữa thời gian tính toán sẽ giảm đi rất nhiều.

B-spline bậc ba xấp xỉ qua m+1 điểm điều khiển P0,P1,...,Pm, m3, bao gồm m-2 đoạn đường cong đa thức bậc ba Q3, Q4, ...,Qm. Mặc dù các đoạn đường cong này chỉ xác định trong khoảng 0t<1 nhưng ta có thể điều chỉnh các tham số (thay thế t=t+k) để cho miền tham số phù hợp với chuỗi các đoạn đường cong. Miền tham số cho đoạn đường cong Q3 là titti+1, với 3im. Trong trường hợp đặc biệt m=3, chỉ có một đoạn đường cong Q3 xác định trong khoảng t3tt4 bởi bốn điểm điều khiển từ P0 tới P3.

Với mỗi giá trị i4, có một điểm kết nối hoặc nút giữa Qi-1 và Qi tại giá trị tham số ti; giá trị tham số tại mỗi điểm điều khiển gọi là giá trị nút. Điểm đầu tiên và cuối cùng tại t3 và tm+1 cũng gọi là nút. Như vậy, có tất cả m-1 nút. Hình 3.13 mô tả đường cong B-spline kín được tạo ra một cách dễ dàng. Các điểm điều khiển P0, P1, P2 được lặp đến cuối dãy sau: P0, P1, v.v.., P0, P1, P2.

Thuật ngữ đều có nghĩa là các nút cách đều nhau theo tham số t. Không giảm tổng quát, giả sử t3=0 và khoảng cách ti+1-ti=1.

Mỗi một đoạn trong số m-2 đoạn đường cong của đường cong B-spline được xác định bởi bốn trong số m+1 điểm điều khiển. Thực tế, đoạn đường cong Qi được xác định bởi các điểm Pi-3, Pi-2, Pi-1 và Pi. Như vậy ma trận hình

học B-spline GBsi của đoạn đường cong Qi là:

GBsi = [Pi-3 Pi-2 Pi-1 Pi], 3im (3.1)

Đoạn đường cong đầu tiên, Q3 xác định bởi các điểm từ P0 tới P3 trong khoảng tham số t3=0 tới t4=1, Q4 xác định bởi các điểm từ P1 tới P4 trong khoảng tham số t4=1 tới t5=2 và đoạn đường cong cuối cùng Qm xác định bởi các điểm Pm-3, Pm-2, Pm-1 và Pm trong khoảng tham số tm=m-3 tới tm+1=m-2. Tổng quát, đoạn đường cong Qi bắt đầu tại một điểm gần điểm Pi-2 và kết thức gần điểm Pi-1. Như vậy, đoạn đường cong Qi quan hệ ràng buộc với một đa giác tạo bởi bốn điểm điều khiển.

Mỗi một đoạn đường cong xác định bởi bốn điểm điều khiển, mỗi một điểm điều khiển (trừ điểm đầu tiên và điểm cuối trong dãy P0, P1, v.v.., Pm) tác động tới bốn đoạn đường cong. Nếu di chuyển một điểm điều khiển thì bốn đoạn đường cong mà điểm này tác động tới sẽ bị di chuyển theo cùng một hướng; các đoạn đường cong khác không bị ảnh hưởng. Tác động này do đặc tính của điều khiển cục bộ của B-spline và của các loại spline đề cập trong phần này. P0 P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t10 Q3 Q4 Q5 Q6 Q7 Q8 Q9

Điểm điều khiển Nút

y(t)

x(t)