Hàm Gaussian có giá trị =2.
đó sự kết hợp ngầm định giữa tính không dương của ’(u) và hình dạng các điểm điều khiển không thể mang lại một giải pháp duy nhất.
Từ những thảo luận trên rút ra kết luận rằng: có thể theo hai chiến lược để đảm bảo ảnh hưởng cục bộ. Cách tiếp cận đầu tiên có cơ sở lý thuyết nhưng tốn kém thời gian. Đó là dùng cơ sở Gaussian không có ngưỡng. Trong trường hợp này thời gian tính toán trên mỗi điểm ảnh bằng số điểm điều khiển nhân với thời gian ước lượng một Gaussian. Một khó khăn khác khi dùng Gaussian không có ngưỡng nằm ở thực tế là không nhận được ảnh hưởng cục bộ đích thực của các điểm điều khiển. Vấn đề này sẽ được thảo luận kỹ qua ví dụ trong phần tiếp theo. Chiến thuật thứ 2 là chọn một hàm cơ sở có hỗ trợ chắc chắn. Trong trường hợp này thời gian chạy để chuyển đổi một điểm ảnh là số điểm điều khiển mà khoảng cách của nó nhỏ hơn bán kính được hỗ trợ. Hàm transition và hàm spline bậc 3 một phía có điểm ngưỡng tự nhiên, vì thế thích hợp cho việc ước lượng trực tiếp. Tuy nhiên giống như hàm Gaussian được làm tròn, chọn hàm như trên sẽ không đảm bảo tính có thể giải được.
Phần còn lại cần quan tâm bây giờ là xác định liệu có tồn tại một hàm cơ sở có dạng hàm Gaussian với hỗ trợ chắc chắn mà đảm bảo tính có thể giải được cho nội suy trong R2(và R3). Hàm:
t t t t g 0 0 / 1 1 1 2 (2.16)
Có hỗ trợ cục bộ, là hàm giảm và đảm bảo tính có thể giải được bằng cách ước lượng trực tiếp công thức (2.8). Tuy nhiên hàm này không có dạng Gaussian. Nhưng trong thực nghiệm, hàm này cho kết quả khả quan miễn là dùng tham số cục bộ lớn. Thực nghiệm đã chứng minh rằng dùng lớn bằng hai lần ở các hàm cơ sở có hỗ trợ chắc chắn đã đề cập ở trên mang lại các kết quả tương đương.
chắn mà lại đảm bảo tính có thể giải được trong Rn
với mọi n. Lý do là một hàm như vậy phải có dạng biểu diễn như sau:
t u u du t g( ) exp ' 0 2 2 (2.17)
Với (u) không âm và bị chặn. Vì hàm mũ luôn luôn dương và ’(u)
là không âm nên toàn bộ công thức là dương với mọi t.
Thực tế trong thực nghiệm, sử dụng các hàm có hỗ trợ chắc chắn đã nói ở trên mang lại các công thức có thể giải được không phải là điều ngẫu nhiên. Kí hiệu G là ma trận NN tương ứng với phần bên trái của công thức (2.4), trong đó N là số điểm điều khiển. Chú ý phần tử thứ (i,j) của G là
j i
ij g x x
G . Bằng trực giác ta thấy Gij đo ảnh hưởng của điểm điều khiển thứ i đến chuyển đổi tại điểm điều khiển thứ j. Từ đó suy ra Gii=1, và tất cả các phần tử ngoài đường chéo góc đều không âm và nhỏ hơn một. Tuy nhiên do ảnh hưởng cục bộ của mỗi điểm điều khiển nên Gij với i j rất hiếm khi đạt đến một và thường bị triệt tiêu. Vì thế tồn tại lời giải cho hệ tuyến tính (2.8) và lời giải này ổn định về mặt số học. Ngoài ra, tính có thể giải được của công thức (2.8) một lần nữa đảm bảo cho tính duy nhất của RBFT và đảm bảo cho lược đồ thiết lập thành phần affine đã chọn.
2.4.5. Nhận xét
Hiệu quả do phân tách thành phần affine và thành phần radial của chuyển đổi RBFT được thể hiện rõ nét nhất qua ứng dụng chuyển đổi chỉ dùng một điểm điều khiển. Vì không có điểm điều khiển nào để xác định thành phần affine nên nó có giá trị là một. Hình 2.13 thể hiện kết qủa của chuyển đổi đó. Trước đây người ta cũng đã nhận được kết quả tương tự nhưng dùng sáu điểm điều khiển, do đó tăng đáng kể thời gian chạy. Ngoài ra, năm trong số sáu điểm điều khiển đóng vai trò là điểm cố định, ánh xạ thực sự chỉ được điều khiển bởi một điểm. Do đó hầu hết các điểm được sử dụng để khắc
phục những thiếu sót trong cấu trúc chuyển đổi. Việc phân chia ánh xạ thành các thành phần affine và radial cho phép khắc phục nhược điểm này.
Hình 2.14 thể hiện ứng dụng của RBFT để chỉnh sửa các đặc trưng khuôn mặt. Vì các đặc trưng cần chỉnh sửa hiển nhiên có tính cục bộ nên việc phân chia chuyển đổi thành thành phần toàn cục (affine) và thành phần cục bộ (radial) là rất quan trọng. Nắn chỉnh cái trán đã ảnh hưởng đến mắt, do đó phải sử dụng một số điểm điều khiển để cố định vị trí của mắt.