Mô hình viên đạn rơi

2

0 16t 800t do h0

0 16 (t t50) phân tích thành tích Do đó t0 hoặc t50

Vậy tại thời điểm 50 giây sau khi ném thì vật ở mặt đất (b) Khi đạn đạt đến độ cao 6400 ft, nên ta có

2 6400 16t 800t do h6400 2 16t 800t6400 0 chuyển vế 2 50 400 0

t  t  chia hai vế cho 16 (t10)(t40)0 phân tích thành nhân tử

10

t  hoặc t40 nghiệm

Viên đạn đạt 6400 ft sau 10 giây (khi đi lên) và một lần nữa sau 40 giây (khi rơi xuống đất) (c) 2mi (dặm) là 2 . 5280  10560 ft 2 10560 16t 800t do h10560 2 16t 800t105600 chuyển vế 2 50 660 0

t  t  chia hai vế cho 16

2

( 50) 4.660 140

      tính biệt thức 

Vì  0, nên phƣơng trình không có nghiệm thực. Vì thế viên đạn không thể đạt đƣợc độ cao 2mi

(d) Điểm cao nhất mà viên đạn đạt đƣợc là bao nhiêu?

Mỗi độ cao mà viên đạn đạt đƣợc là hai lần, một lần khi đi lên và một lần khi rơi xuống. Ngoại trừ duy nhất là điểm cao nhất của đƣờng dẫn của nó, chỉ đạt đƣợc một lần. Điều này có nghĩa là với giá trị cao nhất của h, ta có cách giải sau: 2 16 800 h  t  t 2 16t 800t h 0 chuyển vế

2 ( 800) 4.(16). 0 640000 64 0 10000 h h h          Vậy độ cao nhất đạt đƣợc là 10000ft.

Khi chúng ta sử dụng đại số để mô hình hóa một tình huống vật lý, đôi khi chúng ta phải sử dụng các công thức cơ bản từ hình học. Ví dụ: chúng ta có thể cần một công thức cho một khu vực hoặc chu vi, hoặc công thức liên quan đến các cạnh của các tam giác đồng dạng, hoặc Định lý Pythagore. Hầu hết các công thức này đƣợc liệt kê trong sách giáo khoa. Ví dụ tiếp theo sử dụng các công thức hình học này để giải quyết một số vấn đề trong thực tế.

Ví dụ 2.6. Một khu vƣờn vuông có lối đi

rộng 3 ftxung quanh rìa ngoài của nó, nhƣ trong hình. Nếu diện tích của toàn bộ khu vƣờn, bao gồm cả lối đi là 2

18000 ft , thì diện tích trồng cây là bao nhiêu?

Lời giải. Chúng ta đƣợc yêu cầu tìm chiều

dài và chiều rộng của diện tích trồng. Vì vậy, ta đặt

x là cạnh của phần hình diện tích trồng cây. Từ đó, ta mô hình hóa những thông tin bài toán.

Thông tin bài toán Mô hình hóa toán học

Cạnh phần hình diện tích trồng cây x Cạnh của cả khu vƣờn là x6 Diện tích cả khu vƣờn là  2 6 x Từ đó ta có

Vì diện tích của cả khu vƣờn = 2

18000 ft  2

6 18000

x

  

Hình 2.3. Mô hình vườn rau rau

Nên ta có 6 18000

x  Căn bậc hai hai vế 18000 6

x  Trừ hai vế cho 6 128

x

Vậy cả khu vƣờn hình vuông 128 ft128 ft

2.3.3. Một số bài toán thực tế áp dụng cho hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Ví dụ 2.7

Một đoàn tàu 15 toa chạy ngang qua một cột mốc từ đầu máy đến hết toa cuối cùng mất 7 giây. Nếu đoàn tàu chạy qua cây cầu dài 378m thì thời gian kể từ khi đầu máy bắt đầu lên cầu cho đến khi toa cuối cùng rời khỏi cầu là 25 giây. Tìm vận tốc, chiều của đoàn tàu.

Bƣớc 1: Tìm hiểu một tình huống thực tiễn có chứa kiến thức và phương pháp về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Tình huống: Chuyển động của tàu hỏa khi vào và ra khỏi cầu. Bƣớc 2: Mô phỏng tình huống và xác định đường lối giải quyết;

Xem xét mối quan hệ giữa quãng đƣờng - thời gian - vận tốc của chuyển động; xác định đƣờng lối đƣa về mô hình toán học phƣơng trình, hệ phƣơng trình.

Bƣớc 3: Xây dựng bài toán

Gọi vận tốc của đoàn tàu là x (km/h, x > 0), Gọi chiều dài của đoàn tàu là y (m, y >0).

Tàu chạy qua cột mốc mất 7 giây nghĩa là tàu chạy qua cột mốc hết chiều dài của thân tàu. Vì thế tàu đi đƣợc quãng đƣờng bằng thân tàu hết 7

giây. Ta có phƣơng trình: y7x (1)

Vì đoàn tàu 15 toa có chiều dài đáng kể nên khi đầu máy bắt đầu vào cây cầu dài 378m cho đến khi toa cuối cùng rời khỏi cây cầu mất 25 giây nghĩa

là tàu đi quãng đƣờng y + 378(m) mất 25 giây.

Ta có phƣơng trình: y37825x (2)

Kết hợp (1) và (2) ta đƣợc hệ phƣơng trình bậc nhất hai ẩn sau:

7 378 25 y x y x      

Nhƣ vậy, chúng ta đã chuyển đƣợc về bài toán: Giải hệ phƣơng trình 7 378 25 y x y x      

Bƣớc 4: Giải bài toán bằng cách giải hệ phương trình

Giải hệ phƣơng trình bằng phƣơng pháp thế, ta có: x21;y147(thỏa mãn điều kiện).

Bƣớc 5: Hiểu lời giải bài toán theo cả 2 mặt cú pháp và ngữ nghĩa để trả lời

cho câu hỏi ở tình huống thực tiễn ban đầu.

- Mặt cú pháp: Quy tắc giải hệ phƣơng trình bậc nhất hai ẩn

- Mặt ngữ nghĩa: Tìm 2 số chƣa biết thỏa mãn hai đẳng thức dựa trên

tính chất của các phép tính.

- Chuyển đổi về câu hỏi ban đầu để trả lời

Vậy chiều dài đoàn tàu: 147m Vận tốc đoàn tàu là 21m/s.

Bƣớc 6: Đánh giá và điều chỉnh mô hình để tiếp tục vận dụng vào giải các bài toán thực tiễn khác

- Mô hình bài toán chuyển động đƣa về lập và giải phƣơng trình bậc nhất. - Vận dụng tƣơng tự: Có thể thay thế tàu hỏa bởi ô tô, tàu thuỷ hoặc phƣơng tiện giao thông khác và giữ nguyên các dữ kiện con số; hoặc chuyển sang dạng bài toán về diện tích của vật hình chữ nhật, bài toán năng suất công việc (cũng có mối quan hệ Sab, tổng sản phẩm = năng suất x thời gian tƣơng tự với s vt.

Bài toán 2.4.

Tìm vận tốc và chiều dài của một chiếc tàu thuỷ biết con tàu ấy chạy ngang qua trạm gác bến Ninh Kiều (Cầu Thơ) tính từ mũi tàu đến đuôi tàu mất 10 giây. Cho biết bến tàu dài 257m và thời gian kể từ khi mũi tàu bắt đầu vào bến cho đến khi đuôi tàu rời khỏi bến là 25 giây.

Bài toán 2.5.

Một xe đầu kéo chạy ngang qua một trạm soát vé tự động (không dừng) mất 2 giây. Cho biết chiều dài toàn bộ của trạm 30 m và thời gian kể từ khi đầu xe bắt đầu đi vào trạm cho đến khi đuôi xe rời khỏi trạm là 3 giây. Tìm vận tốc và chiều dài của xe đầu kéo?

Chú ý: Các bài toán chuyển động trên dùng cho các phƣơng tiện chuyển động

có chiều dài đáng kể.

2.3.4. Một số bài toán thực tế áp dụng cho bất phương trình bậc nhất một ẩn

* Khái niệm

Bất phƣơng trình dạng ax b 0 (hoặc ax b 0, ax b 0, ax b 0) trong đó ;

a blà hai số đã cho và a0, đƣợc gọi là bất phƣơng trình bậc nhất một ẩn. * Một số quy tắc biến đổi bất phương trình

Quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân hai vế với một số.

Ví dụ 2.8.

Một ngƣời bán hàng có không quá 50 000 đồng gồm 12 tờ tiền với hai loại mệnh giá: 2000 đồng và loại 5000 đồng. Hỏi ngƣời đó có bao nhiêu tờ tiền loại 5000 đồng?

Bƣớc 1: Tìm hiểu một tình huống thực tiễn có chứa kiến thức và phương pháp về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Tình huống: Tìm số tờ tiền có thể có

Bƣớc 2: Mô phỏng tình huống và xác định đường lối giải quyết;

Bƣớc 3: Xây dựng bài toán

Gọi xlà số tờ giấy bạc loại 5000 đồng xN*,x12 Số tờ tiền loại 2000 đồng là 12x

Vì số tiền không quá 50 000 đồng nên ta có bất phƣơng trình sau: 5000x2000(12x)50000

Nhƣ vậy, chúng ta đã chuyển đƣợc về bài toán:

Giải bất phƣơng trình bậc nhất một ẩn 5000x2000(12x)50000 Bƣớc 4: Giải bài toán bằng cách giải bất phương trình bậc nhất

5000 2000(12 ) 50000 5000 24000 2000 50000 3000x 26000 26000 3000 26 3 x x x x x x             

Kết hợp với điều kiện ta có x là những số nguyên dƣơng từ 1 đến 8. Bƣớc 5: Hiểu lời giải bài toán theo cả 2 mặt cú pháp và ngữ nghĩa để trả lời

cho câu hỏi ở tình huống thực tiễn ban đầu.

- Mặt cú pháp: Quy tắc giải bất phƣơng trình bậc nhất một ẩn

- Mặt ngữ nghĩa: Tìm một số chƣa biết thỏa mãn hai đẳng thức dựa trên

tính chất của các phép tính.

- Chuyển đổi về câu hỏi ban đầu để trả lời

Vậy số tờ tiền mệnh giá 5000 đồng từ 1 đến 8 tờ.

Bƣớc 6: Đánh giá và điều chỉnh mô hình để tiếp tục vận dụng vào giải các bài toán thực tiễn khác.

Bài toán 2.6.

Trong kì thi cuối năm, bạn Nam phải thi bốn môn Toán, Văn, Ngoại ngữ và Hóa học. Nam đã thi đƣợc 3 môn và đƣợc kết quả nhƣ bảng sau:

Môn Toán Hóa Ngoại ngữ

Kì thi cuối năm nay quy định muốn đạt loại giỏi thì phải có điểm trung bình các môn thi là từ 8 điểm trở lên, không có môn nào dƣới 6,5 đồng thời một trong hai môn Toán hoặc Văn phải trên điểm 8. Biết môn Toán và Ngữ văn đƣợc tính hệ số 2. Hãy cho biết, để đạt loại giỏi thì bạn Nam phải có điểm thi môn Ngữ văn ít nhất là bao nhiêu điểm?

Hướng dẫn.

Gọi x là điểm thi môn Ngữ văn, theo đề bài ta có điều kiện 6,5 x 10. Ta có điểm trung bình của cả 4 môn học là: 8.2 .2 7 10 33 .2

6 6

x x

    

Để đạt đƣợc giỏi thì điểm trung bình phải từ 8 điểm trở lên, nên ta có bất phƣơng trình: 33 .2 8 6 33 2 48 2 15 7,5 x x x x         

Vậy để đạt loại giỏi thì Nam có điểm thi môn Ngữ văn ít nhất 7,5 điểm.

2.3.5. Một số bài toán thực tế phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

* Giá trị tuyệt đối

Giá trị tuyệt đối của một số a, kí hiệu là |a| đƣợc định nghĩa nhƣ sau:

khi a 0 khi a < 0 a a a     

* Một số biến đổi cơ bản của giá trị tuyệt đối

Kiến thức Ví dụ

1. a 0   4 4 0 Giá trị tuyệt đối của một số

luôn luôn lớn hơn hoặc bằng 0.

Kiến thức Ví dụ

3. ab  a b. 2.5  2 . 5 Giá trị tuyệt đối của một tích

đƣợc tính bằng tích của các giá trị tuyệt đối.

4. a a b 0

b  b  5 5

8 8



  Giá trị tuyệt đối của một thƣơng thì bằng thƣơng các giá trị tuyệt đối.

5. a b  a b     9 1 9 1 Giá trị tuyệt đối của một

tồng thì nhỏ hơn hoặc bằng tổng các giá trị tuyệt đối. Khoảng cách trên đƣờng thẳng thực giữa các số -2 và 11 là bao nhiêu?

Hình trên cho chúng ta thấy khoảng cách là 13. Chúng ta đến đây bằng cách tìm một trong hai giá trị tuyệt đối của 11 ( 2)  hoặc  2 11. Từ đó ta có thể nhận thấy: Nếu a và b là những số thực, thì khoảng cách giữa hai điểm a và b trên trục số thực là:

d a b( , )  a b b a

Ta có khoảng cách giữa số: - 8 và 2 là: d a b( , )   2 ( 8) 10 10

Có thể kiểm tra qua hình dƣới

Ví dụ: Biểu đồ dƣới đây biểu thị nhiệt

độ cao nhất trong ngày của Omak, Washington, và Geneseo, New York trong một tuần nào đó của tháng 6. Gọi TO là nhiệt độ của Omak và TG là nhiệt độ của Geneseo. Hãy tính TOTG và TOTG cho mỗi ngày. Vậy trong hai giá trị trên thì giá trị nào cho ta nhiều thông tin hơn.

So sánh nhiệt độ Omak và Geneseo

Nhƣ vậy, khi ta tính giá trị tuyệt đối thì chúng ta có thể thấy nhanh hơn độ chênh nhiệt độ của hai nơi…

2.3.6. Một số bài toán thực tế áp dụng cho hệ bất phương trình bậc nhất

Một số ví dụ minh họa Ví dụ 2.9.

Một hộ ở Bát Tràng sản xuất 2 loại sản phẩm là bát và lọ hoa. Để sản xuất một chiếc bát cần 0,5 kg đất cao lanh

và một giờ để làm, đem lại mức lãi 4000 đồng; Để sản xuất một lọ hoa cần 1kg đất cao lanh và 0,5 giờ để làm, đem lại mức lãi 3000 đồng. Với lƣợng nguyên liệu là 50kg và thời gian 70 giờ thì phải sản xuất bao nhiêu chiếc mỗi loại để thu đƣợc tổng số tiền lãi cao nhất ?

Lời giải.

Gọi lần lƣợt là số bát và lọ hoa cần sản xuất để thu đƣợc nhiều tiền nhất (x 0, y 0)

Khi đó số tiền thu đƣợc là : f x y ; 4000x3000y đồng. Số lƣợng nguyên liệu sản xuất bát và lọ hoa là : 0,5 x  y

Với lƣợng nguyên liệu là 50 kg và thời gian 70 giờ nên ta có hệ bất phƣơng trình: 0 0 0 0 (*) 0, 5 50 2 100 0, 5 70 2 140 x x y y x y x y x y x y                          

Vì thế ta tìm giá trị lớn nhất của hàm số là f x y , trên tập nghiệm.

Miền nghiệm của hệ bất phƣơng trình cần tìm là tứ giác OABC (kể cả biên). Hàm số f x y ; 4000x3000ysẽ đạt giá trị lớn nhất khi x y, là tọa độ một trong các đỉnh O0; 0 ,  A0; 50 ,  B 60; 20 ,  C 70; 0 .

Mà ta có :

f 0; 00; f 0; 50150000; f 60; 20  300000; f 70 ; 0280000 Suy ra f x y ;  lớn nhất khi x y;   60; 20 . Do đó cần sản xuất 60 chiếc bát và 20 lọ hoa thì tổng tiền lãi cao nhất.

2.4. Vận dụng dạy các bài toán về phƣơng trình toán học thông qua bài toán thực tế toán thực tế

2.4.1. Biện pháp 1: Sử dụng dạy học các bài toán thực tế thông qua dạy học mô hình hóa để gợi động cơ mở đầu. mô hình hóa để gợi động cơ mở đầu.

2.4.1.1. Cơ sở khoa học và ý nghĩa của biện pháp

Nguyễn Bá Kim [6]:

“Gợi động cơ là làm cho học sinh có ý thức về ý nghĩa của những hoạt

động và của đối tượng hoạt động. Động cơ thúc đẩy nhằm biến mục tiêu sư phạm thành mục tiêu cá nhân, thay vì chỉ là công thức chính thức, đặt vấn đề hình thức ... Động cơ thúc đẩy không chỉ là việc làm khi bắt đầu một kiến thức nhất định (thường là một bài học), mà phải được dạy trong suốt quá trình giảng dạy”

gợi động cơ trung gian, gợi động cơ kết thúc. Nhƣ vậy trong dạy học toán, giáo viên có thể và cần thiết gợi động cơ mở đầu khi đặt vấn đề tìm hiểu một chƣơng, một bài, một mục, một khái niệm, một định lí, hay một qui tắc, một phƣơng pháp toán học mới.

Theo Nguyễn Bá Kim [6]: “Thông thường khi bắt đầu một nội dung lớn,

chẳng hạn một phân môn hay một chương, ta nên cố gắng gợi động cơ xuất phát từ thực tế hoặc với nội dung nhỏ hơn thì có thể gợi động cơ từ nội bộ toán học”

Nhƣ vậy, tác dụng của gợi động cơ trong dạy học toán là tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, kích thích hứng thú học tập cho học sinh, đảm bảo thu hút học sinh vào quá trình học tập và duy trì tính tích cực trong quá trình nhận thức học tập môn toán.

Các cách gợi động cơ trong môn Toán và quan điểm vận dụng

Gợi động cơ theo hƣớng gắn toán học với thực tiễn là dùng thực tiễn để gợi động cơ, có thể gợi động cơ từ: thực tế từ nội bộ toán học, thực tế từ