Một số bài toán thực tế đƣợc áp dụng để dạy học các phƣơng trình toán

7. Cấu trúc của luận văn

2.3. Một số bài toán thực tế đƣợc áp dụng để dạy học các phƣơng trình toán

toán trong trung học cơ sở

2.3.1. Một số bài toán thực tế áp dụng cho phương trình bậc nhất một ẩn

* Khái niệm

Phƣơng trình bậc nhất một ẩn là phƣơng trình có dạng: ax b 0(a0) ,

a b là các hằng số

Phƣơng trình bậc nhất một ẩn ax b 0(a0) có một nghiệm duy nhất x b a





* Cách giải

- Thực hiện các phép tính (mở dấu ngoặc, cộng trừ, nhân chia, rút gọn các hạng tử đồng dạng...).

- Chuyển vế (đƣa các hạng tử có ẩn về một vế, các hằng số về một vế) - Thu gọn về phƣơng trình đơn giản.

* Một số phương trình đặc biệt khi hệ số

- Phƣơng trình dạng 0.x b b ( 0) => Phƣơng trình vô nghiệm - Phƣơng trình dạng 0.x0 => Phƣơng trình có vô số nghiệm

Ví dụ 2.1.

Bƣớc 1: Tìm hiểu một tình huống thực tiễn có chứa kiến thức và phương pháp

thuộc phương trình.

Tình huống: giao thông (đƣờng bộ, đƣờng thuỷ, ...) với các phƣơng tiện khác nhau, vận tốc khác nhau, quãng đƣờng cũng có thể khác nhau, ...

Bƣớc 2: Mô phỏng tình huống và xác định đường lối giải quyết;

Lƣợc bỏ những chi tiết không bản chất toán học để đƣa về dạng toán giải phƣơng trình. Bài toán trên có hai phƣơng tiện tham gia chuyển động là ôtô và canô. Giáo viên hƣớng dẫn học sinh lập bảng gồm 3 dòng và 4 cột nhƣ trên hình vẽ.

Vì yêu cầu bài toán tìm vận tốc của ô tô và ca nô nên học sinh có thể chọn vận tốc của ca nô hay ô tô làm ẩn x(km h/ ,x0). Các yếu tố còn lại là thời gian, quãng đƣờng sẽ đƣợc biểu diễn dựa vào mối quan hệ với vận tốc. Từ đó, học sinh có thể lập phƣơng trình bài toán thông qua mối quan hệ quãng đƣờng vì thời gian bài đã cho.

Bƣớc 3: Xây dựng bài toán

Đƣờng sông từ A đến B ngắn hơn đƣờng bộ AB là 10 km, từ A đến B ca nô đi hết 3 giờ 20 phút, còn ô tô đi hết 2 (giờ). Vận tốc ô tô lớn hơn vận tốc ca nô là 17 km mỗi giờ. Tính vận tốc của mỗi phƣơng tiện trên.

Bảng tổng hợp thời gian - vận tốc-quãng đường của ca nô và ôtô

Vận tốc (km/h) Thời gian (h) Quãng đƣờng (km)

Ca nô x 3 20 ' 31

3

h  h 31 10

3x 3 x

Ô tô x17 2 2x17

Mối quan hệ để lập phƣơng trình là quan hệ giữa quãng đƣờng ca nô và ô tô đi.

Bƣớc 4: Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Gọi vận tốc của ca nô đi là x (km/h, x > 0). Vận tốc ô tô là: x17 (km/h). Nên quãng đƣờng ca nô đi đƣợc là: 31 10

3x 3 x km Quãng đƣờng ô tô đi đƣợc là: 2x17 km.

Vì quãng đƣờng sông ngắn hơn quãng đƣờng trên bộ là 10 km nên ta có phƣơng trình:   10 2 0 17 1 2 34 10 3 4 24 10 3 3 x x x x x         

Giải phƣơng trình ta đƣợc x18 (thỏa mãn điều kiện).

Bƣớc 5: Hiểu lời giải bài toán theo cả 2 mặt cú pháp và ngữ nghĩa để trả lời cho câu hỏi ở tình huống thực tiễn ban đầu.

- Mặt cú pháp: Quy tắc giải phƣơng trình bậc nhất.

- Mặt ngữ nghĩa: Tìm số chƣa biết thỏa mãn một đẳng thức dựa trên tính

chất của các phép tính.

- Chuyển đổi về câu hỏi ban đầu để trả lời.

Vậy vận tốc ca nô là 18 (km/h) và vận tốc ô tô là 18 + 17 = 35 (km/h).

Bƣớc 6: Đánh giá và điều chỉnh mô hình để tiếp tục vận dụng vào giải các bài toán thực tiễn khác.

- Mô hình bài toán chuyển động, đƣa về lập và giải phƣơng trình bậc nhất. - Tƣơng tự:

Một người đi chèo thuyền từ A đến B cách nhau 56 km. Khi đi từ B đến A, người đó đi xe đạp bằng đường bộ dài hơn trước 19 km, nhưng với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là 3 km/h đi, biết thời gian đi nhiều hơn thời gian về là 1 giờ 30 phút. Tính vận tốc lúc chèo thuyền và đi xe đạp.

Ví dụ 2.2. Một ngƣời đàn ông cao 6 ft

mong muốn tìm chiều cao của một tòa nhà bốn tầng nhất định. Anh ta đo bóng của tòa nhà và thấy nó dài 28 ft, trong khi bóng của chính anh ta dài

3,5 ft. Vậy tòa nhà cao bao nhiêu?

Lời giải. Chúng ta có thể gọi h là chiều cao của tòa nhà

Chúng ta sử dụng thực tế là các hình

tam giác trong hình là đồng dạng với nhau. Hãy nhớ rằng với bất kỳ cặp tam giác đồng dạng, tỷ lệ của các cạnh tƣơng ứng là bằng nhau. Từ đó, ta mô hình

hóa những thông tin bài cho.

Thông tin của bài toán Mô hình hóa

Chiều cao tòa nhà h

Tỉ số chiều cao và bóng ngôi nhà

28

h

Tỉ số chiều cao và bóng ngƣời đó 6 3, 5

Vì tam giác lớn và tam giác bé đồng dạng với nhau, nên ta có phƣơng trình:

6 28 3,5 h  6.28 48 3,5

h  nhân hai vế với 28 Vậy chiều cao ngôi nhà là 48 ft

Chú ý: Hai cái bóng phải đƣợc đo đồng thời. Nếu đo tại 2 thời điểm khác

nhau thì kết quả sẽ không còn chính xác.

Một số bài toán vận dụng tƣơng tự

Bài toán 2.1. Bảng giá cƣớc của hãng xe Taxi Vinasun chủng loại Toyota Vios (5 chỗ)

Mở cửa (VNĐ) Đến 30 km (VNĐ) Lớn hơn 30 km (VNĐ)

11000/500m 14500/1km 11600/1km

Dựa vào thông tin bảng giá cƣớc của hãng xe Taxi Vinasun chủng loại xe 5 chỗ a/ Hãy tính Số tiền hành khách phải trả Hành khách đi đoạn đƣờng 0.5 km Hành khách đi đoạn đƣờng 20 km Hành khách đi đoạn đƣờng 30 km

b/ Nếu biết hành khách đó đi một đoạn đƣờng là x (km), hãy thiết lập công thức tính số tiền y theo x?

c/ Nếu biết hành khách đó đã trả 554750 VNĐ, theo em hành khách đó đã ngồi trên taxi đi đƣợc bao nhiêu km?

Hướng dẫn:

a/ Học sinh sử dụng thông tin trong bảng 2; từ đó, giải quyết vấn đề đặt ra. b/ Học sinh phải biện luận đƣợc điều kiện của x qua giải quyết số liệu cụ thể ở tình huống 1. Ta có tóm tắt kết quả nhƣ sau:

11000 y nếu x0,5   11000 – 0.5 .14500 y  x nếu 0,5 x 30   11000 29,5.14500 – 30 .11600 y   x nếu x30

c/ Học sinh so sánh số tiền hành khách đã trả lớn hơn giá trị lớn nhất của hàm số

 

11000 0.5 .14500

y  x .

Từ đó thay y 554750 vào công thức y 11000 29,5.14500   x 30 .11600 với 30

x để tìm x.

Bài toán 2.2. Bảng cƣớc của một công ty A đƣợc cho nhƣ hình sau thì một du

khách đi taxi quãng đƣờng 30 km thì phải trả số tiền bao nhiêu? Giá mở cửa (VNĐ) Trong phạm vi 25km

(VNĐ)

Từ km thứ 26 trở đi (VNĐ)

11000/0,6km 13000/1km 11000/1km

Hướng dẫn:

Gọi quãng đƣờng đi là x km x( , 0). Khi x0 thì số tiền là 0 đồng.

Khi x0, 6thì số tiền phải trả là 10000 đồng.

Khi x25thì số tiền phải trả là: 10000 13000. 25 0, 6   11000 . x25 đồng.

Mà x30nên số tiền phải trả là:

10000 13000. 25 0, 6      11000. 30 25     382200 đồng.

2.3.2. Một số bài toán thực tế áp dụng cho phương trình bậc hai một ẩn

* Khái niệm

Phƣơng trình bậc hai một ẩn là phƣơng trình có dạng: ax2  bx c 0 (a0) * Công thức nghiệm: Phƣơng trình 2 ) 0 ( 0 ax   bx c a có 2 4 b ac    . + Nếu  = 0 thì phƣơng trình có nghiệm kép: 1 2

2 b x x a    .

+ Nếu  < 0 thì phƣơng trình vô nghiệm.

+ Nếu  > 0 thì phƣơng trình có 2 nghiệm phân biệt:

1 2 b x a     ; 2 2 b x a    

Ví dụ 2.3. Tình huống thực tế dẫn đến lập và giải phƣơng trình bậc hai

Bƣớc 1: Tìm hiểu một tình huống thực tiễn có chứa kiến thức và phương pháp thuộc phƣơng trình bậc hai.

Tình huống: Một mảnh vƣờn trồng rau hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng là 4m và diện tích bằng 320 m2. Kích thƣớc mỗi chiều của mảnh vƣờn là bao nhiêu?

Bƣớc 2: Mô phỏng tình huống và xác định đường lối giải quyết.

Bƣớc 3: Xây dựng bài toán

x

4

x4m

- Diện tích mảnh vƣờn là 320m2nên ta có phƣơng trình:

  2

4 320 4 320 0

x x  x  x 

- Ta có bài toán giải phương trình bậc hai một ẩn x24x3200 (bài toán 1).

Bƣớc 4: Giải bài toán bằng cách lập phương trình

2

' 2 320 324 ' 18

      

1 2 18 20

x      (loại vì không thoả mãn điều kiện).

2 2 18 16

x     (thỏa mãn điều kiện).

Bƣớc 5: Hiểu lời giải bài toán theo cả 2 mặt cú pháp và ngữ nghĩa để trả lời

cho câu hỏi ở tình huống thực tiễn ban đầu;

- Mặt cú pháp: Quy tắc giải phƣơng trình bậc hai.

- Mặt ngữ nghĩa: Tìm số chƣa biết thỏa mãn đẳng thức dựa trên tính chất

của các phép tính.

- Chuyển đổi về câu hỏi ban đầu để trả lời.

Chiều rộng mảnh vƣờn là 16m; khi đó chiều dài là 16 4 20(m)

Bƣớc 6: Đánh giá và điều chỉnh mô hình để tiếp tục vận dụng vào giải các bài

toán thực tiễn khác

- Mô hình bài toán diện tích hình chữ nhật, đƣa về lập và giải phƣơng trình bậc hai.

- Vận dụng tƣơng tự: Có thể xây dựng bài toán tƣơng tự về chuyển động, năng suất lao động, nhiệt lƣợng tỏa ra trong dây dẫn tỷ lệ với bình phƣơng dòng điện chạy qua trong Vật lý, ....

Bài toán 2.3. (Dạng tình huống công việc làm chung - làm riêng)

Theo dự kiến để xây xong một bức tƣờng thì một đội thợ có 2 tổ phải làm chung trong 6 ngày. Sau 2 ngày làm chung với nhau thì tổ I đƣợc điều đi làm việc khác, tổ II hoàn thiện nốt phần việc còn lại trong 10 ngày. Hỏi nếu

mỗi tổ làm riêng thì sau bao lâu sẽ xây xong bức tƣờng (với giả thiết sức làm trong mỗi ngày của một tổ là nhƣ nhau).

Ví dụ 2.4.

Trong Vật lý, ngƣời ta biết nhiệt lƣợng (Jun) toả ra ở một dây dẫn có điện trở cố định R (ôm) trong thời gian t (giây) phụ thuộc vào cƣờng độ dòng điện I (ampe) theo công thức: Q = 0,24 I2Rt. Hãy tính xem khi ngƣời ta cần đến một nhiệt lƣợng 216J trong thời gian 1 giây đối với một điện trở

100

R  thì cần đến dòng điện I là bao nhiêu ampe?

Tình huống thực tiễn ở môn học khác làm xuất hiện nhu cầu dẫn đến phƣơng trình bậc hai: mô hình hóa toán học hình thành phƣơng trình bậc hai: Bƣớc 1: Tìm hiểu một tình huống thực tiễn có chứa kiến thức và phương pháp thuộc phƣơng trình bậc hai.

Tình huống: Trong cuộc sống, một dây dẫn có dòng điện chạy qua sẽ sinh ra nhiệt lƣợng, ngƣời ta đo đạc đƣợc nhiệt lƣợng đó tỷ lệ với điện trở, thời gian và cƣờng độ dòng điện. Vậy làm nhƣ thế nào để tính đƣợc nhiệt lƣợng và cƣờng độ dòng điện?...

Bƣớc 2: Mô phỏng tình huống và xác định đường lối giải quyết. Tình huống trên được nghiên cứu trong Vật lý công thức: Q = 0,24 I2Rt.

Bƣớc 3: Xây dựng bài toán- Gọi x x 0là cƣờng độ dòng điện cần tìm, khi đó ta thay thế các giá trị đã biết vào công thức Vật lý Q 0, 24I Rt2 thu đƣợc:

2

2160, 24x .100.1

- Ta có bài toán giải phương trình bậc hai một ẩn : 2

24x 216 hay x9.

Bƣớc 4: Giải bài toán bằng cách lập phương trình Dùng quy tắc giải phƣơng trình bậc hai, ta tìm đƣợc 2 nghiệm x3hoặc x  3.

Bƣớc 5: Hiểu lời giải bài toán theo cả 2 mặt cú pháp và ngữ nghĩa để trả lời

cho câu hỏi ở tình huống thực tiễn ban đầu.

- Mặt cú pháp: Bài toán giải phƣơng trình bậc hai, 2 nghiệm 3 và -3, đối

chiếu với điều kiện ta có một nghiệm x = 3.

- Mặt ngữ nghĩa: Tìm hai số có bình phƣơng bằng 9.

- Ý nghĩa thực tế: chuyển đổi về câu hỏi ban đầu để trả lời: cần cƣờng độ dòng điện I = 3 (Ampe) để thỏa mãn yêu cầu tình huống ban đầu.

Bƣớc 6: Đánh giá và điều chỉnh mô hình để tiếp tục vận dụng vào giải các bài toán thực tiễn khác.

- Mô hình bài toán Vật lý về quan hệ giữa nhiệt lƣợng - điện trở - cƣờng độ dòng điện với thời gian.

- Vận dụng thực tế: Có thể thiết kế bài tập tƣơng tự dẫn đến phƣơng trình bậc hai.

Ví dụ 2.5. Một vật đƣợc ném hoặc bắn thẳng lên trên với tốc độ ban đầu

 / 

o

v ft s 1ft 30,5cm sẽ đạt tới chiều cao của h ft( ) sau t giây, trong đó h và

t có liên quan theo công thức: h 16t2v to

Giả sử rằng một viên đạn đƣợc bắn thẳng lên trên với tốc độ ban đầu là vo 800 /ft s. Con đƣờng của nó đƣợc hiển thị trong hình.

(a) Khi nào viên đạn rơi trở lại mặt đất? (b) Khi nào nó đạt đến độ cao 6400 ft? (c) Khi nào nó đạt đến độ cao 2 mi?

(d) Điểm cao nhất mà viên đạn đạt đƣợc là bao nhiêu?

Lời giải.

Vì bài cho vận tốc ban đầu vo 800 /ft s, nên ta có

2

16 800

h  t  t

Khi viên đạn rơi xuống đất thì h0, nên ta có phƣơng trình

2

0 16t 800t do h0

0 16 (t t50) phân tích thành tích Do đó t0 hoặc t50

Vậy tại thời điểm 50 giây sau khi ném thì vật ở mặt đất (b) Khi đạn đạt đến độ cao 6400 ft, nên ta có

2 6400 16t 800t do h6400 2 16t 800t6400 0 chuyển vế 2 50 400 0

t  t  chia hai vế cho 16 (t10)(t40)0 phân tích thành nhân tử

10

t  hoặc t40 nghiệm

Viên đạn đạt 6400 ft sau 10 giây (khi đi lên) và một lần nữa sau 40 giây (khi rơi xuống đất) (c) 2mi (dặm) là 2 . 5280  10560 ft 2 10560 16t 800t do h10560 2 16t 800t105600 chuyển vế 2 50 660 0

t  t  chia hai vế cho 16

2

( 50) 4.660 140

      tính biệt thức 

Vì  0, nên phƣơng trình không có nghiệm thực. Vì thế viên đạn không thể đạt đƣợc độ cao 2mi

(d) Điểm cao nhất mà viên đạn đạt đƣợc là bao nhiêu?

Mỗi độ cao mà viên đạn đạt đƣợc là hai lần, một lần khi đi lên và một lần khi rơi xuống. Ngoại trừ duy nhất là điểm cao nhất của đƣờng dẫn của nó, chỉ đạt đƣợc một lần. Điều này có nghĩa là với giá trị cao nhất của h, ta có cách giải sau: 2 16 800 h  t  t 2 16t 800t h 0 chuyển vế

2 ( 800) 4.(16). 0 640000 64 0 10000 h h h          Vậy độ cao nhất đạt đƣợc là 10000ft.

Khi chúng ta sử dụng đại số để mô hình hóa một tình huống vật lý, đôi khi chúng ta phải sử dụng các công thức cơ bản từ hình học. Ví dụ: chúng ta có thể cần một công thức cho một khu vực hoặc chu vi, hoặc công thức liên quan đến các cạnh của các tam giác đồng dạng, hoặc Định lý Pythagore. Hầu hết các công thức này đƣợc liệt kê trong sách giáo khoa. Ví dụ tiếp theo sử dụng các công thức hình học này để giải quyết một số vấn đề trong thực tế.

Ví dụ 2.6. Một khu vƣờn vuông có lối đi

rộng 3 ftxung quanh rìa ngoài của nó, nhƣ trong hình. Nếu diện tích của toàn bộ khu vƣờn, bao gồm cả lối đi là 2

18000 ft , thì diện tích trồng cây là bao nhiêu?

Lời giải. Chúng ta đƣợc yêu cầu tìm chiều

dài và chiều rộng của diện tích trồng. Vì vậy, ta đặt

x là cạnh của phần hình diện tích trồng cây. Từ đó, ta mô hình hóa những thông tin bài toán.

Thông tin bài toán Mô hình hóa toán học

Cạnh phần hình diện tích trồng cây x