7. Cấu trúc của luận văn
2.4.1. Biện pháp 1: Sử dụng dạy học các bài toán thực tế thông qua dạy học
mô hình hóa để gợi động cơ mở đầu.
2.4.1.1. Cơ sở khoa học và ý nghĩa của biện pháp
Nguyễn Bá Kim [6]:
“Gợi động cơ là làm cho học sinh có ý thức về ý nghĩa của những hoạt
động và của đối tượng hoạt động. Động cơ thúc đẩy nhằm biến mục tiêu sư phạm thành mục tiêu cá nhân, thay vì chỉ là công thức chính thức, đặt vấn đề hình thức ... Động cơ thúc đẩy không chỉ là việc làm khi bắt đầu một kiến thức nhất định (thường là một bài học), mà phải được dạy trong suốt quá trình giảng dạy”
gợi động cơ trung gian, gợi động cơ kết thúc. Nhƣ vậy trong dạy học toán, giáo viên có thể và cần thiết gợi động cơ mở đầu khi đặt vấn đề tìm hiểu một chƣơng, một bài, một mục, một khái niệm, một định lí, hay một qui tắc, một phƣơng pháp toán học mới.
Theo Nguyễn Bá Kim [6]: “Thông thường khi bắt đầu một nội dung lớn,
chẳng hạn một phân môn hay một chương, ta nên cố gắng gợi động cơ xuất phát từ thực tế hoặc với nội dung nhỏ hơn thì có thể gợi động cơ từ nội bộ toán học”
Nhƣ vậy, tác dụng của gợi động cơ trong dạy học toán là tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, kích thích hứng thú học tập cho học sinh, đảm bảo thu hút học sinh vào quá trình học tập và duy trì tính tích cực trong quá trình nhận thức học tập môn toán.
Các cách gợi động cơ trong môn Toán và quan điểm vận dụng
Gợi động cơ theo hƣớng gắn toán học với thực tiễn là dùng thực tiễn để gợi động cơ, có thể gợi động cơ từ: thực tế từ nội bộ toán học, thực tế từ khoa học khác, thực tế từ đời sống. Tác giả vận dụng lí luận vào gợi động cơ mở đầu gắn toán học với thực tế nhƣ sau:
+) Gợi động cơ từ nhu cầu trong nội bộ toán học: lấy chính nhu cầu có thật của toán học ra để làm thực tế nảy sinh kiến thức, ở đây là chúng ta sử dụng kiến thức cũ để đặt vấn đề cho kiến thức mới xem nhu cầu đó là một thực tế dẫn đến việc cần có kiến thức, phƣơng pháp mới.
+) Gợi động cơ từ nhu cầu ở khoa học khác: từ nhu cầu kiến thức của các khoa học khác cần phải sử dụng kiến thức và phƣơng pháp toán học.
+) Gợi động cơ từ nhu cầu thực tế đời sống: từ thực tế đời sống có nhiều tình huống cần phải sử dụng đến công cụ toán học mới giải quyết đƣợc.
2.4.1.2. Cách thức thực hiện biện pháp
Ở đề tài này, trong dạy học giải bài toán bằng cách lập phƣơng trình, hệ phƣơng trình tác giả quan tâm đến sử dụng dạy học mô hình hóa để thực hiện
thực hiện điều đó chúng tôi có sử dụng những cách sau:
a) Gợi động cơ từ nhu cầu thực tế phát triển của chính toán học.
Gợi động cơ xuất phát từ nội bộ toán học có các cách: đáp ứng nhu cầu xóa bỏ sự hạn chế; hƣớng tới sự tiện lợi, hợp lí hóa công việc; chính xác hóa một khái niệm; hƣớng tới sự hoàn chỉnh và hệ thống; lật ngƣợc vấn đề; xét tƣơng tự; khái quát hóa; tìm sự liên hệ và phụ thuộc; tìm sai lầm, phát hiện nguyên nhân sai lầm và sửa sai lầm. Thƣờng những cách trên dùng để gợi động cơ mở đầu. Ngoài ra, còn có gợi động cơ xuất phát từ thực tế đƣợc sử dụng ở cả ba khâu gợi động cơ.
Ví dụ 2.10.
Gợi động cơ mở đầu (hoặc kết thúc) khi dạy hàm số bậc nhất.
Giáo viên mô tả một tình huống quan sát thực tế khi chúng ta đi tàu hỏa: Tại sao khi đi tàu hỏa, hành khách thường nghe thấy những âm thanh tiếng động phát ra một cách đều đặn? Nhƣng khi đi bằng ô tô thì tại sao chúng ta không thấy loại âm thanh giống nhƣ vậy?
Giáo viên dùng câu hỏi dẫn dắt để học sinh phát hiện đƣợc: Đƣờng tàu hỏa đƣợc tạo ra bằng cách ghép nối giữa các thanh ray. Vấn đề là tại sao cần phải để hở một khoảng cách nhất định giữa hai thanh ray? Phân tích dẫn đến kiến thức liên môn Vật lý “sự giãn nở vì nhiệt độ thay đổi” ... Từ đó đặt câu hỏi “Cần phải để hở một khoảng cách tối thiểu bao nhiêu và tối đa là bao nhiêu?”, dẫn đến nhu cầu xét giá trị của biểu thức axb, trong đó a là hệ số giãn nở vì nhiệt, b là chiều dài ban đầu của thanh ray, x là khoảng biến thiên nhiệt độ ...
Để trả lời câu hỏi trên, chúng ta cần đến một kiến thức mới của toán học đó là hàm số bậc nhất.
+) Gợi động cơ bằng cách quy lạ về quen.
Giáo viên yêu cầu học sinh liên hệ giữa giả thiết của bài toán với tri thức đã học, liên hệ tri thức cần giải quyết với những tri thức cũ tƣơng tự bằng
đã gặp dạng toán gần giống? Khi học sinh đã nhớ lại đƣợc bài toán liên quan mà các em đã có lần giải rồi, giáo viên đặt câu hỏi tiếp: có thể sử dụng bài toán đó đƣợc không? Hãy sử dụng cách giải bài toán đó? Có cần thêm vào một số yếu tố phụ thì mới áp dụng đƣợc cách giải bài toán đó không?
Ví dụ 2.11.
Khi dạy giải bài toán bằng cách lập hệ phƣơng trình bậc nhất hai ẩn, xuất phát từ bối cảnh học sinh đã biết một tình huống quen thuộc là các bƣớc giải bài toán bằng cách lập phƣơng trình bậc nhất một ẩn, giáo viên gợi ý để đƣa tình huống mới bài toán và các bƣớc giải bằng cách lập hệ phƣơng trình bậc nhất hai ẩn về bối cảnh quen thuộc nhƣ đối với phƣơng trình bậc nhất một ẩn.
Phƣơng trình bậc nhất một ẩn Hệ phƣơng trình bậc nhất hai ẩn
Bƣớc 1: Chọn ẩn số, đơn vị và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.
Bƣớc 1: Chọn hai ẩn số, đơn vị và đặt điều kiện thích hợp cho các ẩn số.
Bƣớc 2: Lập một phƣơng trình với ẩn đã chọn:
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn, các đại lượng đã cho. - Lập phương trình thể hiện mối quan hệ giữa các đại lượng trong bài.
Bƣớc 2: Lập các phƣơng trình với hai ẩn đã chọn:
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn, các đại lượng đã cho. - Lập hệ gồm hai phương trình hai ẩn biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bƣớc 3: Giải phƣơng trình bậc nhất một ẩn theo quy tắc đã học.
Bƣớc 3: Giải hệ phƣơng trình bậc nhất hai ẩn theo phƣơng pháp đã học
Bƣớc 4: Chọn nghiệm thích hợp và trả lời với chú ý: Mỗi nghiệm của phương trình là chỉ là một số x0 nào
Bƣớc 4: Chọn nghiệm thích hợp và trả lời với chú ý: Mỗi nghiệm của hệ phƣơng trình là một cặp số
b) Gợi động cơ xuất phát từ môn học khác
Ví dụ 2.12.
Từ tình huống môn Hóa học (Chƣơng 3 - Hóa học 8): Phương trình phản ứng và tính số mol theo phương trình phản ứng, giáo viên dạy Toán có
thể gợi động cơ nhƣ sau
+ Gợi động cơ mở đầu khi dạy khái niệm phương trình: Từ tình huống
phản ứng Hóa học giữa một Axit tác dụng với một Bazo tạo ra muối C và nƣớc , sau khi viết đƣợc H2SO4 + NaOH Na2SO4 + H2O. Giáo viên đặt
vấn đề làm nhƣ thế nào có thể cân bằng đƣợc phƣơng trình phản ứng? Vì khối lƣợng các chất tham gia phản ứng và khối lƣợng các chất thu đƣợc sau phản ứng là bằng nhau, nên đối chiếu với hóa trị của các chất có mặt trong phản ứng ... ta cần xác định đƣợc các hệ số đối với H2SO4; NaOH; Na2SO4; H2O để cân bằng về mặt hóa trị ... Từ đó cần đến công cụ phƣơng trình ... và tìm đƣợc:
2NaOH + H2SO4 = Na2SO4 + 2H2O
+ Gợi động cơ mở đầu khi dạy tỷ lệ thức; hoặc đại lượng tỷ lệ thuận; hoặc phương trình.
Theo phƣơng trình phản ứng thì ta có mối quan hệ tỷ lệ thuận giữa số mol của Chất A với số mol của Chất C thu đƣợc ... Từ đó dẫn đến nhu cầu tìm đại lƣợng thứ tƣ khi biết 3 đại lƣợng trong mối liên hệ theo tỷ số bằng nhau:
1 1
a a
c c . Bài toán này cần đến công cụ giải bằng cách lập phƣơng trình ...
c) Gợi động cơ xuất phát từ thực tế đời sống
Ví dụ 2.13.
Giáo viên đƣa ra tình huống thực tế về quá trình xây dựng hầm đi bộ tại ngã tƣ đƣờng Xuân La - Võ Chí Công, quận Tây Hồ, thành
phố Hà Nội. Các kĩ sƣ muốn xây dựng một hầm có mặt cắt hình dạng một parabol. Giả sử lập một hệ tọa độ Oxy sao cho đỉnh O của parabol trùng với gốc tọa độ, và parabol có phƣơng trình là y x2 . Ngƣời ta tính rằng: Cổng Parabol cần có thiết kế sao cho điểm cao nhất cách nền hầm 2,5 m; và ngƣời ta có thể chuyển đƣợc một kiện thiết bị có dạng một khối hộp chữ nhật kích thƣớc 2m 2m 1,5m vào bên trong đƣờng hầm. Khi đó
khoảng cách nằm ngang dọc theo mặt đất giữa hai cạnh của hầm cần phải đạt là bao nhiêu mét? Ở đây có thể dùng hàm số 2
y x để tính toán: Ta có OH = 2,5m nên điểm H(0;-2,5). Thay y 2,5vào 2
y x thì tìm đƣợc
2,5 1, 6
x m
Từ hình vẽ, ta có khoảng cách MN cần lớn hơn 3,2 m.
2.4.2. Biện pháp 2: Sử dụng dạy học các bài toán thực tế thông qua phương pháp mô hình hóa để dạy học kiến thức mới.
2.4.2.1. Cơ sở khoa học và ý nghĩa của biện pháp
Khi hình thành kiến thức mới, để hiểu rõ và có hứng thú học tập cũng nhƣ thấy đƣợc lợi ích tác dụng của kiến thức toán học, học sinh cần biết đến nguồn gốc của kiến thức đó trong thực tiễn. Vì vậy, dạy học mô hình hóa sẽ giúp cho giáo viên và học sinh xây dựng kiến thức mới bằng cách tìm hiểu nhu cầu, hoàn cảnh thực tế dẫn đến kiến thức - “gần giống với hoàn cảnh,
con đường, cách thức” mà loài ngƣời đã tìm đến, thu đƣợc kiến thức đó
trong lịch sử. Sau đó giáo viên tổ chức học sinh khái quát hóa để có kiến thức, quy luật toán học (điều đó cũng tương tự như quá trình loài người hình
thành kiến thức toán học đó trong lịch sử). 2.4.2.2. Cách thức thực hiện biện pháp
Việc sử dụng dạy học mô hình hóa hỗ trợ hình thành kiến thức mới cần đƣợc tiến hành đồng bộ với những phƣơng pháp dạy học (cả truyền thống và
chỉ là: dạy học mô hình hóa lồng ghép vào đặt trong sự kết hợp các phƣơng pháp dạy học, với mục đích, tác dụng cụ thể là “giúp học sinh đƣợc tiếp cận với kiến thức không phải là ở dạng có sẵn, mà tìm tòi phát hiện kiến thức mới trong những tình huống có nội dung, nguồn gốc từ thực tiễn. Khi đó, giáo viên phối hợp sử dụng các phƣơng pháp dạy học với dạy học mô hình hóa để thiết kế, khai thác những tình huống thực tiễn, tổ chức hƣớng dẫn học sinh học kiến thức mới theo con đƣờng khám phá, giải quyết vấn đề.
Minh họa thông qua hình thành phương trình bậc nhất và phương pháp giải.
Ví dụ 2.14. Tình huống thực tiễn về chuyển động với các vận tốc khác nhau.
* Tình huống thực tiễn:
Một ôtô đi quãng đường AB dài 60km theo tốc độ dự kiến trong một thời gian nhất định. Trên nửa quãng đường đầu, do đường xấu nên mỗi giờ ôtô chỉ đi được với vận tốc ít hơn dự định là 6km. Để đến B đúng dự định, trên nửa quãng đường còn lại, ôtô cần phải đi với vận tốc cao hơn dự định 10km mỗi giờ. Tìm thời gian dự kiến ban đầu để ôtô đi hết quãng đường?
*Mô hình hóa toán học:
Giáo viên chỉ cho học sinh thấy nếu đặt ẩn là thời gian dự định thì phƣơng trình đƣợc lập khá cồng kềnh. Vì dạng toán chuyển động thì quãng đƣờng, vận tốc, thời gian có mối liên hệ với nhau nên ta có thể đặt ẩn phụ là vận tốc dự định. Khi đó việc liên hệ giữa các đại lƣợng bài toán dễ dàng hơn. Vậy ở bài toán này ta tiến hành mô hình hóa toán học nhƣ sau:
- Vận tốc dự định của ôtô là x x 0. Khi đó lƣợng thời gian dự định đi sẽ là 60
x . Vận tốc thực ở nửa quãng đƣờng đầu sẽ là (x6)và thời gian đi là 30 6
x
- Vận tốc cần đi ở nửa quãng đƣờng sau là x10 và thời gian cần đi nửa quãng đƣờng sau là 30
10
x
30 30 60 (1)
6 10
x x x
* Sử dụng công cụ toán học giải bài toán:
Phƣơng trình (1) là ở dạng phƣơng trình chứa ẩn ở mẫu. Ta biến đổi đƣa về dạng phƣơng trình bậc nhất 3x90 0và tìm đƣợc x30.
*Đối chiếu với tình huống ban đầu để trả lời:
Vì quãng đƣờng là 60 km mà vận tốc dự kiến là 30 (km/h) nên suy ra thời gian dự định là 60/30 = 2 giờ. Nhƣ vậy, ban đầu ngƣời ta dự định mất khoảng thời gian 2 giờ để vƣợt qua quãng đƣờng AB
Ví dụ 2.15.
*Tình huống thực tiễn:
Giáo viên đƣa ra tình huống: Ở một khu du lịch Bà Nà Hills có dự kiến trang bị hệ thống cáp treo để chở khách tham quan. Qua khảo sát thì có thể lắp đặt đƣợc 36 cabin gồm 2 loại
cabin: loại chở đƣợc 2 ngƣời và loại chở đƣợc 4 ngƣời. Thời gian để mỗi cabin di chuyển hết một vòng là 1 giờ. Để mỗi giờ công ty du lịch chở đƣợc tối đa 100 khách thì phải lắp mỗi loại cabin bao nhiêu chiếc?
*Mô hình hóa toán học:
Giáo viên vấn đáp học sinh để phân tích tình huống và tiến hành mô hình hóa toán học nhƣ sau:
- Nếu ta xem x x N là số cabin chở đƣợc 2 ngƣời thì 36x là số ca bin chở đƣợc 4 ngƣời.
- Số ngƣời do 36 cabin chở đƣợc là 2x4 36 x
Hình 2.4. Hệ thống cáp treo Bà Nà Hills
Khi đó, chúng ta có bài toán: Tìm x sao cho 2x4 36 x 100 (thực chất là giải phƣơng trình bậc nhất 1 ẩn)
*Sử dụng công cụ toán học giải bài toán: Giải phƣơng trình.
Ta có:2x144 10044, tức là x22(thỏa mãn điều kiện).
Chú ý: Thực chất, bài toán này chính là một dạng biểu đạt khác đi của bài toán cổ “Gà, Chó” ... Ở đây, giáo viên cũng có thể đƣa về dạng bài toán giải hệ phƣơng trình bậc nhất hai ẩn (x - số cabin chở 2 ngƣời; x - số cabin chở 4 ngƣời):
36
x y (1) và 2x4y100 (2)
Nhờ vậy, giáo viên dùng đƣợc hình ảnh đồ thị để giải thích bản chất của kết quả tìm đƣợc.
*Đối chiếu với tình huống ban đầu để trả lời:
Và nhờ vậy, ta có thể trả lời đƣợc câu hỏi ban đầu: Cần lắp đặt 22 cabin loại chở đƣợc 2 ngƣời và 36 -22 = 14 cabin loại chở đƣợc 2 ngƣời. Nhờ công cụ toán học, ta tính đƣợc số cabin của từng loại và lƣợng ngƣời chở đƣợc (ở đây là 100) ăn khớp với số lƣợng cabin, nhờ thế mà khai thác đƣợc tối đa năng suất của mỗi cabin, không thừa, cũng không thiếu.
*Hình thành kiến thức mới
Sau khi phân tích và giải đƣợc bài toán, giáo viên gợi ý học sinh so sánh, đối chiếu với bài toán “Gà, chó” giải bằng phƣơng pháp số học đã học ở tiểu học để thấy ta có thể giải bài toán theo cách trên một cách đơn giản, ngắn gọn hơn.
Giáo viên tóm tắt lại quá trình giải và giúp HS rút ra khái niệm về phƣơng trình bậc nhất một ẩn cùng với cách giải loại phƣơng trình mới này.
Minh họa thông qua hình thành kiến thức về phƣơng trình bậc hai và