Định hƣớng và nguyên tắc thiết kế hoạt động dạy học toán phƣơng

7. Cấu trúc của luận văn

2.2. Định hƣớng và nguyên tắc thiết kế hoạt động dạy học toán phƣơng

trình thông qua các bài toán thực tế

2.2.1. Định hướng

Để thiết kế hoạt động dạy học toán thông qua các bài toán thực tế thì phải biết các mô hình hóa toán học, tác giả tiến hành theo định hƣớng:

1 - Lựa chọn, sƣu tầm, tìm hiểu và khai thác một số tình huống thực tiễn có ngữ cảnh gắn với bài toán giải bằng cách lập phƣơng trình, hệ phƣơng trình trong sách giáo khoa, sách bài tập, tài liệu tham khảo và các nguồn tài liệu trên mạng.

2 - Xây dựng mô hình toán học (sử dụng mô hình theo Nguyễn Danh Nam) - ở đây là dạng bài toán giải bằng cách lập phƣơng trình, hệ phƣơng

trình.

3 - Dựa trên 6 nguyên tắc và 7 bƣớc thiết kế hoạt động mô hình hóa.

2.2.2. Nguyên tắc

Trong dạy học mô hình hóa, một khâu mang tính quyết định là thiết kế hoạt động mô hình hóa tình huống. Theo Lesh & Doerr, thiết kế hoạt động mô hình hóa dựa trên 6 nguyên tắc:

Nguyên tắc 1: Nguyên tắc xây dựng mô hình mô hình hóa. Nguyên tắc 2: Nguyên tắc gắn với thực tế.

Nguyên tắc 3: Nguyên tắc tự đánh giá. Nguyên tắc 4: Nguyên tắc xây dựng tài liệu. Nguyên tắc 5: Nguyên tắc chia sẻ, khái quát hóa. Nguyên tắc 6: Nguyên tắc hiệu quả, đơn giản.

Vận dụng trong thực tế dạy học toán THCS ở Việt Nam, tác giả tập trung vào 3 nguyên tắc sau đây khi thiết kế hoạt động dạy học:

Nguyên tắc 1: Các hoạt động mô hình hóa vừa phải đảm bảo tính khoa

học, chính xác, chặt chẽ của toán học nhưng cũng cần bám sát nội dung chương trình SGK và nhất là khả năng ứ n g dụng vào thực tiễn của kiến thức và phương pháp mà học sinh được học trong môn toán ở THCS.

Nguyên tắc 2: Các hoạt động mô hình hóa phải chú trọng rèn luyện thói

quen và kỹ năng giải quyết vấn đề thực tế cho học sinh.

Nguyên tắc 3: Các hoạt động mô hình hóa phải có tính khả thi và tính

vừa sức (cả về vốn kiến thức và khả năng nhận thức) với đối tượng học sinh

đồng thời phù hợp với phương tiện, điều kiện dạy và học môn toán ở THCS.

Các hoạt động và bài tập mô hình hóa các tình huống thực tiễn cần đƣợc sắp xếp từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp. Việc sắp xếp đó giúp học sinh có thể tự mình giải quyết đƣợc một bài toán. Chính điều này có ý nghĩa rất lớn về mặt tâm lý. Ngƣợc lại, việc gặp thất bại ngay từ những bài toán đầu tiên dễ làm cho học sinh mất tinh thần, có thể làm bất lợi cho quá trình tổ chức hoạt động dạy và học tiếp theo. Do đó, trong khi thiết kế các hoạt động và hệ thống bài tập theo dạy học mô hình hóa là rất quan trọng. Giáo viên cần chú ý đến các các cấp trình độ của ngƣời học nhƣ: học sinh có thể không thể hiểu tình huống, học sinh có thể chỉ hiểu tình huống thực tiễn không có cấu trúc, học sinh có thể tìm mô hình thật qua vấn đề thực tiễn, học sinh cũng có thể thiết lập vấn đề toán học từ tình huống thực tiễn hoặc học sinh có thể trải nghiệm quá trình mô hình hóa và kiểm nghiệm lời giải trong tình huống.

cấp độ phù hợp, đảm bảo đúng trình độ của học sinh nhằm nâng cao hiệu quả của hoạt động mô hình hóa vấn đề thực tiễn trong dạy học môn Toán.

2.3. Một số bài toán thực tế đƣợc áp dụng để dạy học các phƣơng trình toán trong trung học cơ sở toán trong trung học cơ sở

2.3.1. Một số bài toán thực tế áp dụng cho phương trình bậc nhất một ẩn

* Khái niệm

Phƣơng trình bậc nhất một ẩn là phƣơng trình có dạng: ax b 0(a0) ,

a b là các hằng số

Phƣơng trình bậc nhất một ẩn ax b 0(a0) có một nghiệm duy nhất x b a





* Cách giải

- Thực hiện các phép tính (mở dấu ngoặc, cộng trừ, nhân chia, rút gọn các hạng tử đồng dạng...).

- Chuyển vế (đƣa các hạng tử có ẩn về một vế, các hằng số về một vế) - Thu gọn về phƣơng trình đơn giản.

* Một số phương trình đặc biệt khi hệ số

- Phƣơng trình dạng 0.x b b ( 0) => Phƣơng trình vô nghiệm - Phƣơng trình dạng 0.x0 => Phƣơng trình có vô số nghiệm

Ví dụ 2.1.

Bƣớc 1: Tìm hiểu một tình huống thực tiễn có chứa kiến thức và phương pháp

thuộc phương trình.

Tình huống: giao thông (đƣờng bộ, đƣờng thuỷ, ...) với các phƣơng tiện khác nhau, vận tốc khác nhau, quãng đƣờng cũng có thể khác nhau, ...

Bƣớc 2: Mô phỏng tình huống và xác định đường lối giải quyết;

Lƣợc bỏ những chi tiết không bản chất toán học để đƣa về dạng toán giải phƣơng trình. Bài toán trên có hai phƣơng tiện tham gia chuyển động là ôtô và canô. Giáo viên hƣớng dẫn học sinh lập bảng gồm 3 dòng và 4 cột nhƣ trên hình vẽ.

Vì yêu cầu bài toán tìm vận tốc của ô tô và ca nô nên học sinh có thể chọn vận tốc của ca nô hay ô tô làm ẩn x(km h/ ,x0). Các yếu tố còn lại là thời gian, quãng đƣờng sẽ đƣợc biểu diễn dựa vào mối quan hệ với vận tốc. Từ đó, học sinh có thể lập phƣơng trình bài toán thông qua mối quan hệ quãng đƣờng vì thời gian bài đã cho.

Bƣớc 3: Xây dựng bài toán

Đƣờng sông từ A đến B ngắn hơn đƣờng bộ AB là 10 km, từ A đến B ca nô đi hết 3 giờ 20 phút, còn ô tô đi hết 2 (giờ). Vận tốc ô tô lớn hơn vận tốc ca nô là 17 km mỗi giờ. Tính vận tốc của mỗi phƣơng tiện trên.

Bảng tổng hợp thời gian - vận tốc-quãng đường của ca nô và ôtô

Vận tốc (km/h) Thời gian (h) Quãng đƣờng (km)

Ca nô x 3 20 ' 31

3

h  h 31 10

3x 3 x

Ô tô x17 2 2x17

Mối quan hệ để lập phƣơng trình là quan hệ giữa quãng đƣờng ca nô và ô tô đi.

Bƣớc 4: Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Gọi vận tốc của ca nô đi là x (km/h, x > 0). Vận tốc ô tô là: x17 (km/h). Nên quãng đƣờng ca nô đi đƣợc là: 31 10

3x 3 x km Quãng đƣờng ô tô đi đƣợc là: 2x17 km.

Vì quãng đƣờng sông ngắn hơn quãng đƣờng trên bộ là 10 km nên ta có phƣơng trình:   10 2 0 17 1 2 34 10 3 4 24 10 3 3 x x x x x         

Giải phƣơng trình ta đƣợc x18 (thỏa mãn điều kiện).

Bƣớc 5: Hiểu lời giải bài toán theo cả 2 mặt cú pháp và ngữ nghĩa để trả lời cho câu hỏi ở tình huống thực tiễn ban đầu.

- Mặt cú pháp: Quy tắc giải phƣơng trình bậc nhất.

- Mặt ngữ nghĩa: Tìm số chƣa biết thỏa mãn một đẳng thức dựa trên tính

chất của các phép tính.

- Chuyển đổi về câu hỏi ban đầu để trả lời.

Vậy vận tốc ca nô là 18 (km/h) và vận tốc ô tô là 18 + 17 = 35 (km/h).

Bƣớc 6: Đánh giá và điều chỉnh mô hình để tiếp tục vận dụng vào giải các bài toán thực tiễn khác.

- Mô hình bài toán chuyển động, đƣa về lập và giải phƣơng trình bậc nhất. - Tƣơng tự:

Một người đi chèo thuyền từ A đến B cách nhau 56 km. Khi đi từ B đến A, người đó đi xe đạp bằng đường bộ dài hơn trước 19 km, nhưng với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là 3 km/h đi, biết thời gian đi nhiều hơn thời gian về là 1 giờ 30 phút. Tính vận tốc lúc chèo thuyền và đi xe đạp.

Ví dụ 2.2. Một ngƣời đàn ông cao 6 ft

mong muốn tìm chiều cao của một tòa nhà bốn tầng nhất định. Anh ta đo bóng của tòa nhà và thấy nó dài 28 ft, trong khi bóng của chính anh ta dài

3,5 ft. Vậy tòa nhà cao bao nhiêu?

Lời giải. Chúng ta có thể gọi h là chiều cao của tòa nhà

Chúng ta sử dụng thực tế là các hình

tam giác trong hình là đồng dạng với nhau. Hãy nhớ rằng với bất kỳ cặp tam giác đồng dạng, tỷ lệ của các cạnh tƣơng ứng là bằng nhau. Từ đó, ta mô hình

hóa những thông tin bài cho.

Thông tin của bài toán Mô hình hóa

Chiều cao tòa nhà h

Tỉ số chiều cao và bóng ngôi nhà

28

h

Tỉ số chiều cao và bóng ngƣời đó 6 3, 5

Vì tam giác lớn và tam giác bé đồng dạng với nhau, nên ta có phƣơng trình:

6 28 3,5 h  6.28 48 3,5

h  nhân hai vế với 28 Vậy chiều cao ngôi nhà là 48 ft

Chú ý: Hai cái bóng phải đƣợc đo đồng thời. Nếu đo tại 2 thời điểm khác

nhau thì kết quả sẽ không còn chính xác.

Một số bài toán vận dụng tƣơng tự

Bài toán 2.1. Bảng giá cƣớc của hãng xe Taxi Vinasun chủng loại Toyota Vios (5 chỗ)

Mở cửa (VNĐ) Đến 30 km (VNĐ) Lớn hơn 30 km (VNĐ)

11000/500m 14500/1km 11600/1km

Dựa vào thông tin bảng giá cƣớc của hãng xe Taxi Vinasun chủng loại xe 5 chỗ a/ Hãy tính Số tiền hành khách phải trả Hành khách đi đoạn đƣờng 0.5 km Hành khách đi đoạn đƣờng 20 km Hành khách đi đoạn đƣờng 30 km

b/ Nếu biết hành khách đó đi một đoạn đƣờng là x (km), hãy thiết lập công thức tính số tiền y theo x?

c/ Nếu biết hành khách đó đã trả 554750 VNĐ, theo em hành khách đó đã ngồi trên taxi đi đƣợc bao nhiêu km?

Hướng dẫn:

a/ Học sinh sử dụng thông tin trong bảng 2; từ đó, giải quyết vấn đề đặt ra. b/ Học sinh phải biện luận đƣợc điều kiện của x qua giải quyết số liệu cụ thể ở tình huống 1. Ta có tóm tắt kết quả nhƣ sau:

11000 y nếu x0,5   11000 – 0.5 .14500 y  x nếu 0,5 x 30   11000 29,5.14500 – 30 .11600 y   x nếu x30

c/ Học sinh so sánh số tiền hành khách đã trả lớn hơn giá trị lớn nhất của hàm số

 

11000 0.5 .14500

y  x .

Từ đó thay y 554750 vào công thức y 11000 29,5.14500   x 30 .11600 với 30

x để tìm x.

Bài toán 2.2. Bảng cƣớc của một công ty A đƣợc cho nhƣ hình sau thì một du

khách đi taxi quãng đƣờng 30 km thì phải trả số tiền bao nhiêu? Giá mở cửa (VNĐ) Trong phạm vi 25km

(VNĐ)

Từ km thứ 26 trở đi (VNĐ)

11000/0,6km 13000/1km 11000/1km

Hướng dẫn:

Gọi quãng đƣờng đi là x km x( , 0). Khi x0 thì số tiền là 0 đồng.

Khi x0, 6thì số tiền phải trả là 10000 đồng.

Khi x25thì số tiền phải trả là: 10000 13000. 25 0, 6   11000 . x25 đồng.

Mà x30nên số tiền phải trả là:

10000 13000. 25 0, 6      11000. 30 25     382200 đồng.

2.3.2. Một số bài toán thực tế áp dụng cho phương trình bậc hai một ẩn

* Khái niệm

Phƣơng trình bậc hai một ẩn là phƣơng trình có dạng: ax2  bx c 0 (a0) * Công thức nghiệm: Phƣơng trình 2 ) 0 ( 0 ax   bx c a có 2 4 b ac    . + Nếu  = 0 thì phƣơng trình có nghiệm kép: 1 2

2 b x x a    .

+ Nếu  < 0 thì phƣơng trình vô nghiệm.

+ Nếu  > 0 thì phƣơng trình có 2 nghiệm phân biệt:

1 2 b x a     ; 2 2 b x a    

Ví dụ 2.3. Tình huống thực tế dẫn đến lập và giải phƣơng trình bậc hai

Bƣớc 1: Tìm hiểu một tình huống thực tiễn có chứa kiến thức và phương pháp thuộc phƣơng trình bậc hai.

Tình huống: Một mảnh vƣờn trồng rau hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng là 4m và diện tích bằng 320 m2. Kích thƣớc mỗi chiều của mảnh vƣờn là bao nhiêu?

Bƣớc 2: Mô phỏng tình huống và xác định đường lối giải quyết.

Bƣớc 3: Xây dựng bài toán

x

4

x4m

- Diện tích mảnh vƣờn là 320m2nên ta có phƣơng trình:

  2

4 320 4 320 0

x x  x  x 

- Ta có bài toán giải phương trình bậc hai một ẩn x24x3200 (bài toán 1).

Bƣớc 4: Giải bài toán bằng cách lập phương trình

2

' 2 320 324 ' 18

      

1 2 18 20

x      (loại vì không thoả mãn điều kiện).

2 2 18 16

x     (thỏa mãn điều kiện).

Bƣớc 5: Hiểu lời giải bài toán theo cả 2 mặt cú pháp và ngữ nghĩa để trả lời

cho câu hỏi ở tình huống thực tiễn ban đầu;

- Mặt cú pháp: Quy tắc giải phƣơng trình bậc hai.

- Mặt ngữ nghĩa: Tìm số chƣa biết thỏa mãn đẳng thức dựa trên tính chất

của các phép tính.

- Chuyển đổi về câu hỏi ban đầu để trả lời.

Chiều rộng mảnh vƣờn là 16m; khi đó chiều dài là 16 4 20(m)

Bƣớc 6: Đánh giá và điều chỉnh mô hình để tiếp tục vận dụng vào giải các bài

toán thực tiễn khác

- Mô hình bài toán diện tích hình chữ nhật, đƣa về lập và giải phƣơng trình bậc hai.

- Vận dụng tƣơng tự: Có thể xây dựng bài toán tƣơng tự về chuyển động, năng suất lao động, nhiệt lƣợng tỏa ra trong dây dẫn tỷ lệ với bình phƣơng dòng điện chạy qua trong Vật lý, ....

Bài toán 2.3. (Dạng tình huống công việc làm chung - làm riêng)

Theo dự kiến để xây xong một bức tƣờng thì một đội thợ có 2 tổ phải làm chung trong 6 ngày. Sau 2 ngày làm chung với nhau thì tổ I đƣợc điều đi làm việc khác, tổ II hoàn thiện nốt phần việc còn lại trong 10 ngày. Hỏi nếu

mỗi tổ làm riêng thì sau bao lâu sẽ xây xong bức tƣờng (với giả thiết sức làm trong mỗi ngày của một tổ là nhƣ nhau).

Ví dụ 2.4.

Trong Vật lý, ngƣời ta biết nhiệt lƣợng (Jun) toả ra ở một dây dẫn có điện trở cố định R (ôm) trong thời gian t (giây) phụ thuộc vào cƣờng độ dòng điện I (ampe) theo công thức: Q = 0,24 I2Rt. Hãy tính xem khi ngƣời ta cần đến một nhiệt lƣợng 216J trong thời gian 1 giây đối với một điện trở

100

R  thì cần đến dòng điện I là bao nhiêu ampe?

Tình huống thực tiễn ở môn học khác làm xuất hiện nhu cầu dẫn đến phƣơng trình bậc hai: mô hình hóa toán học hình thành phƣơng trình bậc hai: Bƣớc 1: Tìm hiểu một tình huống thực tiễn có chứa kiến thức và phương pháp thuộc phƣơng trình bậc hai.

Tình huống: Trong cuộc sống, một dây dẫn có dòng điện chạy qua sẽ sinh ra nhiệt lƣợng, ngƣời ta đo đạc đƣợc nhiệt lƣợng đó tỷ lệ với điện trở, thời gian và cƣờng độ dòng điện. Vậy làm nhƣ thế nào để tính đƣợc nhiệt lƣợng và cƣờng độ dòng điện?...

Bƣớc 2: Mô phỏng tình huống và xác định đường lối giải quyết. Tình huống trên được nghiên cứu trong Vật lý công thức: Q = 0,24 I2Rt.

Bƣớc 3: Xây dựng bài toán- Gọi x x 0là cƣờng độ dòng điện cần tìm, khi đó ta thay thế các giá trị đã biết vào công thức Vật lý Q 0, 24I Rt2 thu đƣợc:

2

2160, 24x .100.1

- Ta có bài toán giải phương trình bậc hai một ẩn : 2

24x 216 hay x9.

Bƣớc 4: Giải bài toán bằng cách lập phương trình Dùng quy tắc giải phƣơng trình bậc hai, ta tìm đƣợc 2 nghiệm x3hoặc x  3.

Bƣớc 5: Hiểu lời giải bài toán theo cả 2 mặt cú pháp và ngữ nghĩa để trả lời

cho câu hỏi ở tình huống thực tiễn ban đầu.

- Mặt cú pháp: Bài toán giải phƣơng trình bậc hai, 2 nghiệm 3 và -3, đối

chiếu với điều kiện ta có một nghiệm x = 3.

- Mặt ngữ nghĩa: Tìm hai số có bình phƣơng bằng 9.

- Ý nghĩa thực tế: chuyển đổi về câu hỏi ban đầu để trả lời: cần cƣờng độ dòng điện I = 3 (Ampe) để thỏa mãn yêu cầu tình huống ban đầu.

Bƣớc 6: Đánh giá và điều chỉnh mô hình để tiếp tục vận dụng vào giải các bài toán thực tiễn khác.

- Mô hình bài toán Vật lý về quan hệ giữa nhiệt lƣợng - điện trở - cƣờng độ dòng điện với thời gian.

- Vận dụng thực tế: Có thể thiết kế bài tập tƣơng tự dẫn đến phƣơng trình