Cơ sở lý thuyết bộ điều khiển trượt

6. Bố cục của luận án

4.1. Cơ sở lý thuyết bộ điều khiển trượt

4.1.1. Điều khiển trượt

Điều khiển trượt là một phương pháp điều khiển phi tuyến đơn giản hiệu quả. Để thiết kế thành phần điều khiển trượt cần phải biết rõ các thông số của mô hình đối tượng cũng như các chặn trên của các thành phần bất định của mô hình. Điều khiển trượt có dạng hàm dấu và có hiện tượng chattering các trạng thái xung quanh mặt trượt.

Điều khiển trượt ra đời khoảng đầu những năm 1960. Khi đó nền móng đầu tiên của điều khiển trượt được xây dựng bởi Emelyanov, một nhà điều khiển học người Nga. Mặc dù xuất hiện sớm như vậy, song mãi đến khi có những ấn phẩm xuất bản bằng tiếng anh đầu tiên, chẳng hạn như [88] của Utkin năm 1977, tư tưởng điều khiển trượt mới vượt được ra khỏi biên giới nước Nga và dần được hoàn thiện, nâng tầm tổng quát cả về lý thuyết cũng như ứng dụng như chúng ta được biết đến ở ngày hôm nay, đặc biệt là các ứng dụng vào hệ phi tuyến bất định, hệ nhiều đầu vào, ra, hệ không liên tục, hệ phức hợp, hệ có số chiều vô hạn lần .... Hiện nay bộ điều khiển trượt cơ bản đã được phát triển lên các bộ điều khiển trượt bậc cao, hiện đang được nhắc tới nhiều trong lĩnh vực điều khiển trượt chống rung (antichattering) cho hệ phi tuyến bất định.

Điều khiển trượt là phương pháp điều khiển tiếp cận rất mạnh mẽ để điều khiển các hệ thống phi tuyến và bất định. Đó là phương pháp điều khiển bền vững và có thể áp dụng cho hệ bất định và có tham số bị thay đổi lớn. Với một thiết bị lặn khi các tham số của hệ thay đổi liên tục; lực, vị trí, mô men, mô men quán tính… và các tác động qua lại làm cho mô hình thiết bị lặn trở nên phi tuyến mạnh thì phương pháp điều khiển trượt tỏ ra có ưu thế vượt trội, cho việc điều khiển chuyển động bền vững và bám theo quỹ đạo đặt của thiết bị lặn tự hành. Điều khiển chuyển động bất biến với nhiễu loạn và sự thay đổi thông số có thể sử dụng điều khiển ở chế độ trượt. Điều khiển kiểu trượt thuộc về lớp các hệ thống có cấu trúc thay đổi (Variable Structure System - VSS) với mạch vòng hồi tiếp không liên tục. Phương pháp điều khiển kiểu trượt có đặc điểm là tính bền vững rất cao do vậy việc thiết kế bộ điều khiển có thể được thực hiện mà không cần biết chính xác tất cả các thông số. Chỉ một số các thông số cơ bản hoặc miền giới hạn của chúng là đủ cho việc thiết kế một bộ điều khiển trượt (Variable Structure Controller - VSC).

TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com

4.1.2. Bộ điều khiển trượt cơ bản

Xét hệ không dừng có tín hiệu vào

d ( x , u , t) mô tả bởi:

x =f (x , u , d ,t )

[88] chứa thành phần bất định

(4.1)

trong đó x ∈R

cong trơn (n-m) chiều, thường được gọi là mặt trượt, mô tả bởi vector gồm m hàm trơn:

(4.2) chứa tất cả các quỹ đạo trạng thái mong muốn x(t) của hệ (theo một chỉ tiêu chất lượng cho trước). Mặt trượt (4.2) trên thường gặp ở dạng tổng quát, vì nó có dạng không dừng (cấu trúc mặt trượt bị thay đổi theo thời gian).

Nhiều trường hợp, để đơn giản trong điều khiển sau này và khi điều kiện cho phép, người ta chỉ cần sử dụng mặt trượt dừng (có cấu trúc không biến đổi theo thời gian):

s ( x ) = (s1 ( x ), s2 ( x ),..., sm ( x) )T = 0

Hình 4.1. Xác định tín hiệu điều khiển tiến về mặt trượt

Nhiệm vụ của điều khiển trượt là phải xác định tín hiệu điều khiển u để đưa hệ (4.1) tiến về mặt trượt (4.2) và giữ nó lại trên đó. Ta sẽ ký hiệu tín hiệu điều khiển cần tìm u đó là:

u

Trong đó:

(4.4)

TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com với x0 =x (t s ( x , thì t) = ue q 0

phải tạo ra được:

khi (4.5)

Trong Hình 4.1 minh họa vai trò của thành phần tín hiệu này đối với quỹ đạo trạng thái x(t) của hệ.

- u

N là thành phần tín hiệu làm cho x(t) tiến về mặt trượt. Như vậy, ở trường hợp mặt trượt dừng (4.3), khi sử dụng hàm xác định dương:

V ( s ) =

Thì đủ để x(t) tiến về mặt trượt là tín hiệu điều khiển

V ( s ) = s

Điều kiện (4.6) được gọi là điều kiện trượt và sử dụng với mặt trượt dừng (4.3). Khi đó các thành phần

Khi hệ (4.1) là hệ rõ và có cấu trúc affine:

Trong đó

Là ma trận có:

Vậy nếu ma trận

Không suy biến thì:

Từ điều kiện đủ (4.6) cho mặt trượt dừng (4.3) và tài liệu [88, 89] về sai lệch giá trị tín hiệuu N =ueq

4.1, thì:

theo quy ước tương tự như  ∆ , được mô tả như Hình

TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com s ( x ) = = = ∂ s + ∂ s H ( x , t)∆ ∂t ∂x

Do đó, giống như (4.8), ta đi đến một số sai lệch giá trị tín hiệu điều khiển hệ (4.1), ký hiệu như sau:

= ( ∆1 , ∆1 , ... , ∆m )T

 cho (4.9)

Với mặt trượt lý tưởng

∂s

H ( x , t ) =I (ma trận đơn vị)

∂x

s ( x)

dạng véc tơ hàm dừng, thỏa ,mãn điều kiện:

Như sau:

 Bộ điều khiển relay: ∆ k = − a k Trong đóak ( x ) > 0, ∀x và  1  sign ( s ) =   

 Với bộ điều khiển phản hồi tuyến tính:

s > 0

s < 0

s = 0

(4.10)

∆ = −Ls ( x)

 Với bộ điều khiển véc tơ đơn vị: ∆ = −k s ( x) s ( x) vớiL =LT vớik > 0 tùy chọn tùy chọn

Hiện tượng rung và kỹ thuật chống rung

Trong thực tế, do không tồn tại thiết bị tạo ra được hàmsign(.) định nghĩa bởi (4.10), mà thay vào đó là:

TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com

(4.11)

nên cũng sẽ không có được thành phần ue

q trong tín hiệu điều khiển, tức là chỉ có: u = uN

Điều này tạo ra hiện tượng rung (chattering) trong hệ, khi mà u phải chuyển đổi dấu của giá trị với tần số vô cùng lớn để giữ được x(t) trên mặt trượt s ( x , t) = 0 . Hình 4.2 minh họa nguyên nhân và Hình 4.3 minh họa hiệu ứng của hiện tượng rung này với quỹ đạo dạng zick zack xung quanh mặt trượt.

Hình 4.2. Nguyên nhân của hiện tượng rung

Hình 4.3. Hiện tượng rung trong bộ điều khiển trượt

Một số hàm liên tục vẫn thường được sử dụng để thay thế gần đúng cho hàm không liên tục (4.11) là:

TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com

sat(

Hàm hyperbolic tangent (Hình 4.4b):

sgn( s ) ≈ tanh( as)

Hình 4.4. Giải pháp chống rung cho bộ điều khiển trượt

Một kỹ thuật khác để làm giảm hiệu ứng rung là kỹ thuật trượt bậc cao. Phương pháp điều khiển trượt với mặt trượts ( x , t) được gọi là điều khiển trượt bậc r ≥ 2 , nếu ở đó tín hiệu điều khiển u đồng thời tạo ra được:

s ( x , t ) =s ( x , t ) = =s( r−1) ( x , t) = 0

4.1.3. Lý thuyết ổn định của Lyapunov áp dụng cho điều khiển phi tuyến

Điều khiển bền vững có thể phân tích bằng cách sử dụng công cụ là tín hiệu vào ra ổn định hoặc không gian trạng thái. Trong cách nghiên cứu theo tín hiệu vào ra, sự ổn định của bộ điều khiển một thiết bị lặn tự hành sử dụng thuyết khuếch đại nhỏ hay thuyết trọng lực. Trong cách nghiên cứu theo không gian trạng thái, phần lớn các thiết kế sử dụng thuyết ổn định của Lyapunov. Bộ điều khiển bền vững trong đối với mô hình nói chung hay thiết bị lặn dưới nước nói riêng được phân chia thành hai cách dựa trên việc sử dụng thuyết ổn định Lyapunop hay bền vững các tín hiệu vào ra:

Ổn định Lyapunov tại điểm cân bằng 0 nếu với ε tại δ phụ thuộc ε sao cho nghiệm x(t) của phương trình

> 0 bất kỳ bao giờ cũng tồn trên với x(0) = x0 thoả mãn:

x0 < δ → x (t ) < ε , ∀t ≥ 0 (4.13) Ổn định tiệm cận Lyapunov tại điểm cân bằng 0 nếu với ε > 0 bất kỳ bao giờ cũng tồn tại δ phụ thuộc ε sao cho nghiệm x(t) của phương trình trên với x(0) = x0

thoả mãn:

lim x (t ) = 0

TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com

Hình 4.5. Minh hoạ khái niệm ổn định Lyapunov

4.2. Xây dựng bộ điều khiển trượt tầng HSMC cho mô hình S-AUV24.2.1. Phương pháp điều khiển trượt tầng HSMC 4.2.1. Phương pháp điều khiển trượt tầng HSMC

Lý thuyết về điều khiển trượt tầng (HSMC) đã được trình bày đầy đủ trong tài liệu [90] cho lớp hệ SIMO. Trong [91] tác giả Zhimin Liu cũng tách hệ robot cầu hoạt động dưới nước thành hai hệ con để áp dụng HSMC với hệ có số đầu vào ít hơn số đầu ra. Thực chất HSMC là sự kết hợp giữa kỹ thuật backstepping với điều khiển trượt. Cấu trúc HSMC được trình bày trong Hình 4.6.

TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com

Lớp mô hình các hệ cơ cấu chấp hành thích sau:

có số đầu vào ít hơn số đâu ra, hay nói cách khác các hệ thiếu hợp với phương pháp điều khiển HSMC được biểu diễn như

 x  1 x  2  x  3 4   x  x  2 n −1  x  2n (4.15) Trong đó X = x x x  1 2 2n là hàm phi tuyến bị chặn và các độ.   i T

là véc-tơ biến trạng thái và u là đầu vào; các lớn hơn không và có điểm cân bằng tại gốc tọa

Hệ (4.15) bao gồm n hệ con và một tín hiệu điều khiển u. Bài toán thiết kế ở đây là xác định tín hiệu điều khiển u để đưa các biến trạng thái về gốc tọa độ.

Tương tự như kỹ thuật backstepping, HSMC được thiết kế tuần tự bắt đầu từ hệ con thứ nhất cho đến hệ con thứ n. Ở mỗi bước ta xác định được tín hiệu điều khiển

ảo u i đảm bảo cho hệ con thứ i và các hệ con trước đó ổn định theo nghĩa Lyapunov, tín hiệu điều khiển u cần tìm được xác định ở bước cuối cùng theo các bước sau đây:

Bước 1: Từ (4.15) , ta có mô hình của hệ con thứ nhất: x

 

Bài toán tổng hợp đặt ra ở đây là xác định tín hiệu điều khiển ảo gốc tọa độ khi có nhiễu đánh bật khỏi điểm cân bằng.

để x1

(4.16)

quay về

s1 = c1x1 +x2 (4.17) Trong đó c1 là hằng số dương.

TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com c1x2 + f1 + g1u1 c1x2 + f1 + g1 (u eq1 + usw1 ) c1x2 +f1 +g1u eq1 −k1s1 − η1 sgn s1 + η1 sgn s1 +k1s1 +g1usw1 =0 − k1s1 −η1 sgn s1 Với u1 =ueq1 +usw1

Từ hai điều kiện trong (4.18), ta xác định được:

(4.18) ueq1 = − (c1x2 +f1 )/ g1 và: u sw1 (4.19) (4.20) Bước 2: Mặt trượt

mặt trượt đã thiết kế cho hệ con thứ nhất.

S

Với: S1 ≡ s1 (vì dương.

Như bước trên ta phải xác định tín hiệu điều khiển ảou2 để đưa mặt trượt về 0,S2 → 0 . Do vậy ta định nghĩa hàm Lyapunov cho bước hai như sau:

Đạo hàm theo thời gian của ta có:

V (S 2 ) =S2S 2 =S 2 (λ1S1 + β1s2 )

TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com S λ1 (c1x2 +f1 +g1u 2 )+ β1 (c2x4 +f 2 +g 2u2 ) λ1 (c1x2 +f1 +g1 (u eq1 +u sw1 +u eq 2 +usw2 ))+ β1 (c2x4 +f 2 +g 2 (u eq1 +u sw1 +u eq 2 +usw2 )) β1 (c2x4 +f 2 +g 2u eq 2 )+u sw2 (λ1g1 + β1g2 )+ =0  λ1g1 + β1g 2 )u sw1 + λ1 (c1x2 +f1 +g1ueq1 )+ λ1g1u eq 2 + β1g 2ueq1 =0 u sw 2 (λ1g1 + β1g 2 )+ ( λ1g1 + β1g 2 )u sw1 + λ1g1u eq 2 + β1g 2u eq1 +k 2S 2 + η2 sgn S2 − =0  k 2S 2 +η2 sgn S2 ) −k 2S 2 −η2 sgn S2 (4.24) Thay (4.24) vào (4.23) ta có: V (S

Từ các điều kiện trong (4.24) ta xác định được ueq ueq2 =

− (c2x4 +f2 )/ g2 và: u = −u − λ1g1ueq 2 + β1g 2ueq1 −k 2S 2 + sw1+ gggβλλ2sw 2 và η β1g2 : (4.25) (4.25) (4.26) … Bước i: Mặt trượt S Si i được thiết kế λi −1 S i −1 +β i −1s i

dựa trên mặt trượt λ1Si−1 + βi−1 (ci x2i−1

+ si

và hệ

x2i )

con thứ i như sau: (4.27)

Với: λi −1 , βi −1, ci là các hằng số dương.

Như bước trên ta phải xác định tín hiệu điều khiển ảo

về 0, Si → 0 . Do vậy ta định nghĩa hàm Lyapunov cho bước hai như sau:

TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com

Đạo hàm theo thời gian của (4.22) ta có:

V

i (

Do đó, (4.29) được viết lại:

V =SS =S i Từ (4.18), (4.31) trở thành: Vi = Si Si = Si   r =1     ( 4.29) (4.30) (4.31) (4.32)

Với các phép biến đổi tương tự như bước 2, ta xác định được tín hiệu điều khiển

u và uswi : eqi u eqi … 93

(4.33)

TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com

Bước n:

Tiến hành tương tự như bước i, ta có mặt trượt sau:

S

n

= λ

n −1 Ở bước cuối ta xác định tín hiệu điều khiển

hệ (4.15). Tín hiệu điều khiển được xác định thông qua điều kiện tồn tại của hàm điều khiển Lyapunov sau :

Đạo hàmVn

V = 1

n 2 n

theo thời gian ta thu được:

V =S n n Ta cũng có từ (4.35) như sau: S n (4.37) (4.38) Do đó, (4.37) được viết lại:

V =S n n (4.39) Từ (4.15) và (4.38), (4.39) trở thành: = Sn = Sn = Sn (4.40)   

TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com

Với các phép biến đổi tương tự như bước i, ta xác định được tín hiệu điều khiển

ueq n và u u (4.41) (4.42)

Thế tín hiệu điều khiển của các bước vào (4.41) và (4.42) thu được luật điều khiển trượt tầng:

=

(4.43)

4.2.2. Xây dựng động lực học mô hình S-AUV2 bốn bậc tự do

Tùy theo các ứng dụng cụ thể mà ta chọn số bậc tự do phù hợp, số bậc tự do càng ít thì khả năng điều khiển sẽ đỡ phức tạp hơn. Đối với một thiết bị hoạt động trong môi trường nước thì việc điều khiển chính xác các vị trí, tọa độ của cả 6 bậc là hết sức phức tạp. Để đơn giản hóa đối với các loại thiết bị lặn tự hành cỡ nhỏ ta có thể bỏ 2 bậc tự do không cần thiết là: góc θ (chuyển động quay lật) và góc φ (chuyển động quay lắc), thì phương trình chuyển động của thiết bị lặn tự hành S-AUV2 gồm 4 bậc tự do được biểu diễn qua các đại lượng (động cơ đẩy, cánh lái hướng, bơm để lặn nổi), cánh lái phụ trong trường hợp nghiên cứu chỉ để tạo sự cân bằng cho thiết bị lặn. Mục đích để đơn giản hóa trong quá trình điều khiển mà vẫn đảm bảo được yêu cầu

sâu lặn). Trong nghiên cứu này tác giả tập trung xây dựng bộ điều khiển trượt tầng HSMC với mô hình thông số của S-AUV2 được tính toán, lựa chọn phù hợp.

Phương trình (2.16) sau khi bỏ đi 2 bậc tự do không cần thiết được viết thành: 95

TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com m u − vr + wq − x  m v − wp + ur − y  m  w − uq + vp − z  I zz r + ( I (4.44)

Hình 4.7. Thử nghiệm mô hình thiết bị lặn tự hành S-AUV2

Mô hình chuyển động bốn bậc tự do của thiết bị lặn S-AUV2 gồm :

η = x, y , z,ψ 

 

hướng S-AUV quay quanh trụcOz ;v = u , v, w, r  phươngOx, Oy , Oz

Phương trình động học phi tuyến của S-AUV2 bốn bậc tự do như sau:

Trong đó ma trận quay xung quanh trục Oz được biểu diễn như sau:  cos(ψ ) sin(ψ ) J(η) =    Ma trận quán tính hệ thống:

TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com

M =

Ma trận Coriolis và lực hướng tâm hệ thống:

mxg r +a2

(4.47)

(4.48)

Ma trận suy giảm thủy động lực học:

Xu +Xu|u| | u |  D ( v) =  Z    Với các ma trận (1) M =MT >0 (2)C ( v ) = −C (3) D ( v) > 0

(4)J (η) là ma trận quay xung quanh trụcOz và là ma trận trực giao

J −1

Theo phương trình (4.45), ta viết lại phương trình động học của S-AUV2 có 4 bậc tự do như sau:    + η C( = v ) (η)v

v+D ( v )v =τ

(4.50)

Trong đó hệ thống thiết bị lặn tự hành S-AUV2 là một hệ thiếu cơ cấu chấp hành bao gồm 2 tín hiệu đầu vào và 4 tín hiện đầu ra. Chính vì vậy, tách mô hình toán thành hai phần hệ thống thiếu chấp hành và hệ thống đủ chấp hành. Véc-tơ vị trí η

sẽ được chia làm hai phần η = η

và η

2

=  z ψ T cho trạng thái thiếu chấp hành. Tương tự, véc-tơ vận tốc

 

được chia làm hai phần với

phương trình động lực học của S-AUV2 được viết lại như sau:

TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com