Mệnh đề 2.2.2. Cho R là một nửa vành cộng-lũy đẳng. Khi đó, nếuC là một khung như là một R-nửa môđun trái thì C là B-nội xạ.
Chứng minh. Cho A là một nửa môđun con của một R-nửa môđun trái B và một R-đồng cấu ϕ :A −→ C.
Ta xác định ϕ :B −→C cho bởi:
ϕ(b) =_{ϕ(a)| a ≤ b, a∈ A} với mọi b ∈B.
Ta thấy ϕ là mở rộng của ϕ và ϕ(0A) = 0C. Khi đó với b1, b2 ∈ B ta có
ϕ(b1) +ϕ(b2) =ϕ(b1) +_{ϕ(a2)| a2 ≤b2, a2 ∈ A} (2.1) = _{ϕ(b1) +ϕ(a2)| a2 ≤ b2, a2 ∈A} =_{_{ϕ(a1)| a1 ≤ b1, a1 ∈A}+ϕ(a2)| a2 ≤b2, a2 ∈ A} (2.1) = _{_{ϕ(a1) +ϕ(a2)| a1 ≤ b1, a1 ∈ A} | a2 ≤ b2, a2 ∈A} =_{ϕ(a1) +ϕ(a2)| a1 ≤b1, a2 ≤ b2, a1, a2 ∈ A} =_{ϕ(a1+a2)| a1 ≤ b1, a2 ≤ b2, a1, a2 ∈A} =_{ϕ(a)| a ≤ b1+b2, a ∈A} =ϕ(b1+b2).
Vì vậy ϕ là một B-đồng cấu và C là một B-nội xạ.
Bổ đề 2.2.3. Nếu R là nửa thể cộng-lũy đẳng và C là một R-nửa môđun trái đầy đủ thì C thỏa mãn tính chất sau:
r_M = _{rx | x∈ M} với mọi r∈ R và M ⊆C. (2.3) Chứng minh. Ta giả sử rằng rr0 = r0r = 1. Kí hiệu W
M = W
{x | x ∈ M} và
rM = {rx | x ∈ M}. Khi đó x ≤ W
M với mọi x ∈ M. Suy ra rx ≤ rW
M
với mọi rx ∈ rM. Điều này chứng tỏ rW
M là cận trên của rM. Vì vậy
W rM ≤rW M. Mặt khác,rx ≤ W rM vớirx ∈ rM. Suy rax ≤r0W rM với mọix ∈ M, tức r0W
rM là cận trên củaM. Vì vậyW
M ≤ r0W rM và đồng thờirW M ≤ W rM. Tóm lại, rW M =W rM.
Mệnh đề 2.2.4. Cho R là một nửa thể cộng-lũy đẳng. Khi đó, nếu C là một khung như một R-nửa môđun trái thì C nội xạ.
Chứng minh. Cho A là một nửa môđun con của một R-nửa môđun trái B và một R-đồng cấu ϕ :A −→ C. Ta xét ánh xạ
ϕ: B −→ C
b−→ _{ϕ(a)| a≤ b, a ∈A}
Theo phép chứng minh của Mệnh đề 2.2.2, ta có ϕ : B −→ C là một B-đồng cấu nên phần còn lại ta chỉ cần chứng minh thêm rằng
rϕ(b) =ϕ(rb) với mọi r ∈ R và b ∈ B.
Thật vậy, giả sử rr0 = r0r = 1. Theo Bổ đề 2.2.3,
rϕ(b) = r_{ϕ(a)| a ≤ b, a∈ A}
(2.3)
= _{rϕ(a)| a ≤ b, a∈ A}.
Mặt khác,
Chúng ta sẽ chứng minh
{rϕ(a)| a ≤b, a ∈ A}= {ϕ(a0)| a0 ≤rb, a0 ∈A}. (2.4) Thật vậy, giả sử rϕ(a) là phần tử bất kỳ của {rϕ(a) | a ≤ b, a ∈ A}. Khi đó,
a≤ b và a ∈A kéo theo ra≤ rb và ra ∈ A. Bởi vì ϕ(ra) =rϕ(a) cho nên
rϕ(a)∈ {ϕ(a0)|a0 ≤rb, a0 ∈A}.
Ngược lại, giả sử ϕ(a0) là một phần tử bất kỳ của {ϕ(a0)| a0 ≤ rb, a0 ∈ A}. Khi đó, a0 ≤ rb và a0 ∈ A kéo theo r0a0 ≤ b và ra0 ∈ A. Do ϕ(a0) = ϕ(rr0a0) =
rϕ(r0a0) nên ϕ(a0)∈ {rϕ(a)| a ≤ b, a∈ A}. Vậy ta đã chứng minh được (2.4), tức là rϕ(b) = ϕ(rb).