Trong phần này ta xét một ví dụ cụ thể về nửa vành c-đơn là nửa vành tự đồng cấu End(M) để hiểu hơn về cấu trúc của lớp nửa vành đặc biệt này. Định nghĩa 3.2.1. Cho (M,+) là một vị nhóm giao hoán lũy đẳng. Một nửa vành con S ⊆ End(M) được gọi là trù mật nếu nó chứa tự đồng cấu
ea,b ∈ End(M) với mọi a, b∈ M, trong đó ea,b được xác định bởi: ea,b(x) := 0 nếu x+a =a b trường hợp khác x ∈M.
Ví dụ 3.2.2. Ta xét hai nửa vành bậc 2, là các nửa vành R0 và S0 xác định bởi: R0: + 0 1 0 0 1 1 1 1 · 0 1 0 0 0 1 0 0 S0: + 0 1 0 0 1 1 1 1 · 0 1 0 0 0 1 0 1
S0 chính là nửa vành Boolean và cũng xem nó như nửa vành tự đồng cấu
End(M2) với (M2,+) = ({0,1}, max). Trường hợp tầm thường, R0 và S0 là
c-đơn.
Nhận xét 3.2.3. Cho(M,+) là một vị nhóm giao hoán lũy đẳng. Ta xác định một quan hệ cho bởi: x ≤ y nếu và chỉ nếu x+y = x với mọi x, y ∈ M. Khi đó, ≤ là một quan hệ thứ tự bộ phận trên M, trong đó 0≤ x với mọi x ∈ M. Do đó, ea,b(x) = 0 nếu x≤ a b trường hợp khác a, b, x∈ M.
Bổ đề 3.2.4. Với a, b ∈ M ta có ea,b ∈ End(M). Ngoài ra, với f ∈ End(M)
và a, b, c, d ∈M, ta có f ◦ea,b = ea,f(b) và ec,d◦f ◦ea,b = 0 nếu f(b)≤ c ea,d trường hợp khác. Nếu (M,+) có một phần tử hút α ∈ M thì e0,α là một phần tử hút của (End(M),+).
Chứng minh. Với mọix, y ∈ M, ta có x+y ≤ a nếu và chỉ nếux ≤ a vày ≤a. Suy ra, ea,b(x+y) = 0 nếu và chỉ nếu ea,b(x) = 0 và ea,b(y) = 0, nghĩa là nếu và chỉ nếu ea,b(x) +ea,b(y) = 0. Vì vậy ea,b ∈ End(M).
Bây giờ nếu f ∈ End(M) và a, b ∈ M thì dễ dàng thử lại f ◦ea,b = ea,f(b).
Áp dụng công thức đó hai lần ta được:
ec,d◦f ◦ea,b = ec,d◦ea,f(b) = ea,ec,d(f(b)) =
0 nếu f(b)≤ c ea,d trường hợp khác.
Hơn nữa, với bất kỳ h∈ End(M) và x ∈M \ {0} ta có
(h+e0,α)(x) =h(x) +α = α =e0,α(x)
nghĩa là h+e0,α =e0,α. Ta suy ra điều phải chứng minh.
Mệnh đề 3.2.5. Cho (M,+) là một vị nhóm giao hoán lũy đẳng có một phần tử hút. Khi đó nửa vành con trù mật R ⊆ End(M) bất kỳ là c-đơn. Trong trường hợp đặc biệt, chính End(M) là c-đơn.
Chứng minh. Cho ∼⊆ R× R là một quan hệ tương đẳng nửa vành. Giả sử rằng ∼6= idR, tức là tồn tại f, g ∈ R thỏa f 6= g mà f ∼ g. Khi đó tồn tại
b ∈M sao cho f(b)6=g(b) và không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng
f(b) c := g(b).
Với mọi a, d ∈M ta có ea,b ∈ R và ec,d ∈ R. Bởi vì ∼ là một quan hệ tương đẳng cho nên
ec,d◦f ◦ea,b ∼ ec,d◦g◦ea,b.
Theo Bổ đề 3.2.4, ea,d ∼ 0.
Trong trường hợp đặc biệt, e0,α ∼ 0 (trong đó α ∈ M là phần tử hấp thụ). Do ∼ là một quan hệ tương đẳng nêne0,α ∼ 0 =h+e0,α ∼ h+ 0 =h vớih∈ R
bất kỳ. Vì vậy ∼= R×R, tức là R không có quan hệ tương đẳng không tầm thường.
3.2.2 Một số tính chất của nửa vành c-đơn
Trước hết chúng tôi trình bày tổng quan một số tính chất cho nửa vành
c-đơn hữu hạn và từ những lập luận hoàn toàn tương tự ta có kết quả cho nửa vành c-đơn bất kỳ.
Nhận xét 3.2.6. Cho R là một nửa vành c-đơn hữu hạn. Nếu bảng nhân của
R có hai dòng (cột) giống nhau thì một trong hai điều sau đây thỏa mãn:
(i) Tồn tại c∈ R sao cho xy = c với mọi x, y ∈ R;
(ii) |R| = 2.
Chứng minh. Xét quan hệ ∼ trên R được xác định bởi:
x∼ y nếu xz = yz với mọi z ∈ R
là một quan hệ tương đẳng. Giả sử ∼6= idR, tức là tồn tại r1 6= r2 sao cho
r1z =r2z với mọi z ∈R, đồng thời ∼= R×R. Vì vậy,
xz = yz với mọi x, y, z ∈R. (3.1) Giả sử (R,·) không giản ước trái. Khi đó tồn tại a, b, c, d ∈ R sao cho
da = db = c và a 6= b. Nhưng xa = ya, xb = yb với mọi x, y ∈ R. Suy ra
da= ya, db =yb và đồng thời ya =yb = c với mọi y ∈ R. Bây giờ xét quan hệ tương đẳng ≈ xác định bởi:
x ≈y nếu zx =zy với mọi z ∈R. (3.2) Do a 6= b và a ≈ b suy ra ≈= R×R. Vì vậy zx = zy với mọi x, y, z ∈ R. Khi đó với mọi x, y ∈R ta có xy (3=.2) xa (3=.1) da= c.
Tiếp theo giả sử (R,·) giản ước nhân trái. Cố định x ∈ R và đặt z = x2. Khi đó xz = zx. Nhưng yz = xz và yx = zx với mọi y ∈ R nên yz = yx. Do tính giản ước trái nên x2 = z = x, tức (R,·) là lũy đẳng. Hơn nữa, với mọi
x ∈ R, x+x = x2+x2 = (x+x)x (3=.1) x2 = x, tức (R,+) là lũy đẳng. Ta sẽ chứng minh rằng |R| ≤ 2. Thật vậy, giả sử |R| = n >2. Với mỗi tập con khác rỗng A ⊆ R gọi
σA = X
x∈A
x và σ =σR.
Giả sử rằng A ⊂ R với |A| = n−1. Ta xét quan hệ cho bởi
Ta kiểm tra được∼ là một quan hệ tương đương. Do(R,·)lũy đẳng và phương trình (3.1) nên với mỗi c ∈ R ta có
cσA = σAσA = σA và cσ =σσ =σ.
Vì vậy cσA ∼ cσ. Tương tự,
σAc =c2 =c và σc= c2 = c.
nên σAc ∼ σc. Mặt khác, (R,+) là lũy đẳng nên σ+c = σ và
σA +c = σA nếu c ∈A, σ trường hợp khác .
Tóm lại, ∼ là một quan hệ tương đẳng. Mà |R| > 2 nên ∼= idR, đồng thời
σA = σ với mọi tập con thực sự A ⊂ R với |A| = n−1.
Bằng cách qui nạp, chúng ta sẽ chứng minh được rằng σA = σ với bất kỳ tập con khác rỗng A ⊆ R. Cho A ⊂ R với |A| = k−1 và xét lại quan hệ cho bởi:
∼= idR ∪ {(σA, σ),(σ, σA)}.
Như chứng minh trên ∼ là một quan hệ tương đương nhân. Hơn nữa,
σA+c = σA nếu c ∈A σA∪{c} trường hợp khác .
Nhưng c /∈ A suy ra |A∪ {c}|= k, tức là σA∪{c} = σ (do giả thiết qui nạp). Vì vậy∼là một quan hệ tương đẳng. Do∼6= R×Rnên∼=idR, đồng thờiσA = σ. Nhưng trong trường hợp đặc biệt, điều đó cho thấy với mỗix ∈R, x = σ{x} =σ
(mâu thuẫn). Vì vậy |R| = 2.
Trường hợp thay thế dòng bởi cột. Nếu R có hai cột giống nhau thì ta xét nửa vành (R0,+,∗) xác định bởi (R0,+) = (R,+) và x∗y = yx và áp dụng lý luận tương tự như trên.
Bổ đề 3.2.7. Cho R là một nửa vành c-đơn hữu hạn. Khi đó, một trong các điều sau đây thỏa mãn:
(i) (R,+) là một nhóm;
(ii) R có một phần tử cộng-hút α.
Chứng minh. Xét quan hệ ∼ trên R được xác định bởi:
x ∼ y nếu tồn tại t∈ R: x+t =y +t.
Ta kiểm tra được∼ là một quan hệ tương đẳng. Nếu∼=idR thì(R,+)là giản ước. Suy ra (R,+) là một nhóm.
Mặt khác, giả sử ∼= R×R. Khi đó, với mọi x, y ∈ R tồn tại tx,y ∈ R sao cho x+tx,y =y +tx,y. Đặt
σ = X
x∈R
x và α = σ+σ.
Với x, y ∈ R tồn tại σ0 ∈ R sao cho σ =tx,y +σ0. Khi đó,
x+σ = x+tx,y +σ0 =y +tx,y +σ0 = y+σ.
Trong trường hợp đặc biệt, x+σ = σ+σ với mọi x∈ R. Vậy với mọi x∈ R x+α = x+σ +σ = (σ+σ) +σ =σ+σ =α.
Điều này chứng tỏ α là một phần tử cộng-hút.
Mệnh đề 3.2.8. Cho R là một nửa vành c-đơn hữu hạn. Khi đó, một trong các điều sau đây thỏa mãn:
(i) (R,+,·) là một vành;
(ii) R có một phần tử hút;
(iii) R là cộng-lũy đẳng.
Chứng minh. Theo Bổ đề 3.2.7, chúng ta có thể giả sử rằng R có một phần tử cộng-hút α. Ta xét quan hệ ∼ trên R xác định bởi:
Khi đó ∼ là một quan hệ tương đẳng. Do đó ∼=idR hay ∼=R×R.
Trường hợp 1: Giả sử ∼=R×R. Khi đó với mọix ∈R, x+x =α+α =α.
Vì vậy xα = x(α+α) = xα+xα = α. Hoàn toàn tương tự, αx = α. Tóm lại,
α là một phần tử hút.
Trường hợp 2: Giả sử∼=idR. Ta xét quan hệ ≈ trên R được xác định bởi:
x≈ y nếu tồn tại u, v ∈R và i≥ 0 sao cho
2ix =y +u và 2iy =x+v.
Khi đó, 2(2x) = (x) + 3x và2(x) = (2x) + 0 suy ra x ≈2x với mọi x∈ R. Nếu
≈= idR thì x = 2x với mọi x∈ R. Do đó R là cộng-lũy đẳng.
Bây giờ giả sử rằng ≈= R×R và cho x ∈R. Khi đó xα≈ α, tức là tồn tại
v ∈ R và i ≥0 sao cho
2ixα = α+v = α.
Do đó,
xα =x(2iα) = 2ixα =α.
Tương tự, αx =α. Tóm lại, α là một phần tử hút.
3.3 Nửa môđun nội xạ trên nửa vành c-đơn
Tiếp theo ta trình bày tổng quan một kết quả của Zumbr¨agel [23], thể hiện mối quan hệ của nửa vành c-đơn và một phép chứng minh tương đối đơn giản sau đây.
Định lý 3.3.1. Cho R là một nửa vành c-đơn. Khi đó, một trong hai điều sau đây thỏa mãn:
(i) R là một nửa vành cộng-lũy đẳng;
(ii) R là một vành.
Chứng minh. Với x∈ R bất kỳ và n∈N. Khi đó ta viết
nx:= x+· · ·+x
| {z }
n-lầnx
Gọi R+x := {y +x | y ∈ R}. Bây giờ với x, y ∈ R ta xác định một quan hệ ∼ trên R cho bởi:
x∼ y ⇐⇒ ∃m, n ∈N : mx∈ R+y, ny∈ R+x.
Khi đó ta kiểm tra được ∼ là một quan hệ tương đẳng.
Mặt khác, do R là một nửa vành c-đơn nên ∼= idR hay ∼=R×R. Trong trường hợp ∼= idR ta có x ∼ x+x. Vì vậy R là cộng-lũy đẳng. Còn trong trường hợp∼= R×Rvới mọi x ∈ Rta có x∼ 0, tức là ta đạt được0∈ R+x. Điều này chứng tỏ (R,+) là một nhóm hay R là một vành.
Định lý 3.3.2. Nếu R là một nửa vành c-đơn thì mọi R-nửa môđun trái đều có thể nhúng được vào trong một R-nửa môđun trái nội xạ.
Chứng minh. Áp dụng Định lý 3.3.1 ta có R là một vành hoặc một nửa vành cộng-lũy đẳng. Trong trường hợp thứ nhất, áp dụng [4, Proposition 18.6] ta có điều phải chứng minh. Còn trong trường hợp 2, áp dụng Định lý 2.2.16 ta có điều phải chứng minh.
Vì vậy ta có kết quả sau đây.
Hệ quả 3.3.3. Mọi nửa môđun trên một nửa vành c-đơn đều có một bao nội xạ.
KẾT LUẬN
Trong nội dung chính của luận văn với đề tài “Về nửa môđun nội xạ trên một số nửa vành đặc biệt”, chúng tôi trình bày các chứng minh chi tiết về tính nhúng được của các nửa môđun vào nửa môđun nội xạ trên các nửa vành “cộng-lũy đẳng” và nửa vành “c-đơn”, qua đó cũng sẽ chứng minh được sự tồn tại của bao nội xạ cho các nửa môđun trên các nửa vành này.
Các nội dung chính của luận văn được thể hiện cụ thể như sau:
1) Tổng quan được một số tính chất của nửa môđun nội xạ. Đặc biệt, chúng tôi đã nêu và chứng minh được hai Mệnh đề tương đương về định nghĩa nửa môđun nội xạ (Mệnh đề 1.2.2, 1.2.3) và một số tính chất nội xạ của nửa môđun thông qua hàm tử Hom (các Mệnh đề 1.2.11, 1.2.12 và Hệ quả 1.2.13).
2) Chúng tôi đã giải quyết trọn vẹn bài toán về nửa môđun nội xạ trên nửa vành cộng-lũy đẳng. Đạt được kết quả mong muốn là mọi nửa môđun trên một nửa vành cộng-lũy đẳng đều có bao nội xạ.
3) Trong Chương cuối của Luận văn chúng tôi đã phát hiện ra một lớp nửa vành c-đơn mà nửa môđun trên nó cũng có một bao nội xạ (Định lý 3.3.2 và Hệ quả 3.3.3). Đây là một lớp vành tương đối mới nên trong Luận văn chúng tôi cũng tìm thêm được một vài kết quả (Ví dụ 3.1.3, Bổ đề 3.2.6).
Để kết thúc Luận văn xin được nói thêm rằng, đây vẫn là một bài toán mở và việc đi tìm các lớp nửa vành để kết quả trên vẫn còn đúng đang được tiếp tục. Chúng tôi cũng đã dự đoán kết quả trên vẫn còn đúng cho lớp nửa vành giao hoán nửa đơn và hy vọng là chúng tôi có thể giải quyết trọn vẹn bài toán trong thời gian tới. Tất cả các kết quả chính của Luận văn thể hiện trong các bài báo gửi đăng: “Nguyễn Xuân Tuyến- Nguyễn Quốc Khánh, Nửa môđun nội xạ trên nửa vành c-đơn” và “Khanh N. Q- Tuyen N. X, Some characterizations on injective semimodules”.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. J. Ahsan, M. Shabir and H. J. Weinert (2003), “Characterization of semir- ings by p-injective and projective semimodules”,Comm. Algebra, (26), pp. 2199-2209.
2. H. M. J. Al-Thani (2002), “Characterization of projective and k-projective semimodules”, Hindawi Publishing Corp, 32(7), pp. 439-448.
3. H. M. J. Al-Thani (2003), Lectures on injective semimodules, Department of Environmental and Mathemmatics East London University.
4. F.W. Anderson and K.R. Fuller (1992), Rings and categries of modules, Spriner-Verlag New York, Heidelberg-Berlin, 2nd Ed.
5. G. Bruns and H. Larser (1970), “Injective hulls of semilattices”, Bulletin, 13(1), pp. 115-118.
6. R. El Barhir and T. Kepka (2005), “Congruence-simple semirings”,Journal of Algebra, pp. 1-16.
7. R. El Barhir, J. Hurt, A. Janˇcaˇr´ek and T. Kepka (2001), “Simple commu- tative semirings”, Journal of Algebra, pp. 277-306.
8. J. S. Golan (1999), Semirings and their Applications, Dordrecht-Boston- London, Kluwer Academic Pulisher.
9. J. S. Golan (2005), “Some recent applications of semirings theory”, Inter- national Conference on Algebra in Memory of Kostia Beidar, pp. 1-18. 10. M. Hall and S. Pianskool (1996), “Injectivity for cancellative semimodules”,
11. U. Hebisch and H. J. Weinert (1996), Semirings and semifields, Handbook of Algebra, Amsterdam-Holland, vol (1), 425-462.
12. Y. Katsov (1997), “Tensor product and injective envelopes of semimodules over additively-regular semirings”, Algebra collog, (9), pp. 121-131.
13. C. Monico (2004), “On finite congruence-simple semirings”, J. Algebra, 271(2), pp. 846-854.
14. O. Sokratova (2002), “On semimodules over commutative, additively- regular semirings”, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, pp. 123- 134.
15. M. Takahashi (1984), “On semimodule I”, Kobe J. Math., (1), pp. 67-97. 16. M. Takahashi (1984), “On semimodule II”,Kobe J. Math., (1), pp. 177-190. 17. M. Takahashi (1985), “On semimodule III”, Kobe J. Math., (2), pp. 131-
141.
18. M. Takahashi (1982), “On the Bordism Categories III, Functors Hom and for semimodules”, Math. Sem. Notes (Kobe), Vol.(10), pp. 211-236.
19. M. Takahashi (1987), “Structures of semimodules”,Kobe J. Math., (4), pp. 79-101.
20. M. Takahashi and H. Wang (1993), “Injective semimodules over a 2- semiring”, Kobe J. Math., (10), pp. 59-70.
21. N. X. Tuyen (2006), Lecture notes on the theory of semirings and semi- modules, Huế University.
22. H. Wang (1994), “Injective hulls of semimodules over additively- idempotent semiring”, Semigroup Forum, vol.(48), pp. 337-379.
23. J. Zumbr¨agel (2007), “Classification of finite congruence-simple semirings with zero”, eprint arXiv: math/0702416, pp. 1-16.