lũy đẳng
Cho A là một nửa môđun con của R-nửa môđun trái C và k : A −→ C
là một ánh xạ bao hàm. A là một co rút (tương ứng B-co rút) của C nếu và chỉ nếu tồn tại một R-đồng cấu (tương ứng B-đồng cấu) ϕ: C −→ A sao cho
ϕ◦k = idA. MộtR-đồng cấu (tương ứng B-đồng cấu) ϕvới tính chất trên được gọi là một đồng cấu co rút (B-đồng cấu co rút).
Bổ đề 2.2.8. Cho R là một nửa vành cộng-lũy đẳng và A là một B-co rút của một R-nửa môđun trái C. Khi đó:
(i) Nếu C đầy đủ thì A đầy đủ;
(ii) Nếu C là một khung thì A là một khung.
Chứng minh. Cho A là một nửa môđun con của R-nửa môđun trái C và gọi
ϕ : C −→ A là một B-đồng cấu co rút. Cho M là một tập con khác rỗng bất kỳ của A. Kí hiệu V
AM và V
CM lần lượt là các cận dưới lớn nhất của M
(i) Do C đầy đủ nên tồn tại V
CM trong C, tức là V
CM ≤ x với mọi
x ∈ M. Suy ra ϕ(V
CM) ≤ ϕ(x) = x với mọi x ∈ M. Vậy ϕ(V
CM) là một cận dưới của M trong A. Bây giờ giả sử u là một cận dưới bất kỳ của M
trong A, nghĩa là u ≤ x với mọi x ∈ M. Bởi vì M ⊆ A ⊆ C, u ≤ V
CM nên
u = ϕ(u) ≤ ϕ(V
CM). Điều này có nghĩa là ϕ(V
CM) = V AM. Hơn nữa, do (A,≤) có phần tử lớn nhất 0A nên A đầy đủ. (ii) Ta chứng minh A thỏa mãn đẳng thức a+_ AM = _ A{a+x| x ∈M} với mọi a∈ A và M ⊆ A. (2.7) Thật vậy, dox ≤ W
AM với mọi x∈ M nên a+x≤ a+W
AM với mọi x∈ M. Vậy a+W
AM là một cận trên của {a+x | x ∈ M}. Mặt khác, nếu u ∈ A là một cận trên bất kỳ của {a+x| x ∈ M} thì u= ϕ(u)≥ ϕ(_ C{a+x | x∈ M}) (2.1) = ϕ(a+_ CM) = ϕ(a) +ϕ(_ CM) = a+ϕ(_ CM). Mặt khác, do x ≤ W
CM với mọi x ∈ M nên x = ϕ(x) ≤ ϕ(W
CM), suy ra
ϕ(W
CM)là một cận trên của M trong A. Vì vậy u≥ a+W
AM, tức a+W
AM
là một cận trên bé nhất trong A của {a+x |x ∈ M}.
Định lý 2.2.9. Cho R là một nửa vành cộng-lũy đẳng và C là một R-nửa môđun trái. Khi đó:
(i) Nếu C là một B-nội xạ thì C đầy đủ;
(ii) Nếu R là nửa thể cộng-lũy đẳng và C là một khung thì C nội xạ;
(iii) Nếu R là một dây chuyền nửa vành cộng-lũy đẳng và C nội xạ thì C
là một khung;
(iv) Cho một dây chuyền nửa thể cộng-lũy đẳng R. Khi đó, C nội xạ nếu và chỉ nếu C là một khung.
Chứng minh.
(i) Cho C là một B-nội xạ. Theo Mệnh đề 2.2.5, I(C) là một dàn đầy đủ. Hơn nữa,C là một B-co rút củaI(C)(doC là mộtB-nội xạ). Theo Bổ đề 2.2.8
(i), C đầy đủ.
(ii) Theo Mệnh đề 2.2.4.
(iii) Cho C nội xạ. Theo Mệnh đề 2.2.7, I(C) là một khung. Do C nội xạ nên C là B-co rút của I(C). Theo Bổ đề 2.2.8 (ii), C là một khung.
(iv) Suy từ các khẳng định (ii) và (iii).
Hệ quả 2.2.10. Cho R là một nửa thể cộng-lũy đẳng và C là một dây chuyền
R-nửa môđun trái. Khi đó, C nội xạ khi và chỉ khi nó đầy đủ.
Đặc biệt, với dây chuyền nửa thể cộng-lũy đẳng R, R nội xạ như R-nửa môđun trái nếu và chỉ nếu R đầy đủ.
Chứng minh. Sử dụng kết quả về mọi dây chuyền đầy đủ C thỏa mãn đẳng thức (2.1), C là một khung.
Hệ quả 2.2.11. Nếu R là một dây chuyền nửa thể cộng-lũy đẳng thì mọi R- nửa môđun trái A có thể nhúng vào được trong một R-nửa môđun trái nội xạ. Từ đó, nếu R là một dây chuyền nửa thể cộng-lũy đẳng thì mọi R-nửa môđun trái đều có một bao nội xạ.
Chứng minh. Theo Mệnh đề 2.2.7,I(A)là khung. Theo Định lý 2.2.9(iv),I(A)
nội xạ. Qua ánh xạ xây dựng ở Mệnh đề 2.2.5, ta có điều phải chứng minh.
2.2.4 Bao nội xạ của nửa môđun trên nửa vành cộng-lũy đẳng Bây giờ ta xét B-nửa môđun trái P(A) với phép toán cộng là phép hợp tập hợp thông thường và phần tử không là tập ∅. I(A) là một R-nửa môđun trái với các phép toán cộng và nhân với vô hướng xác định bởi:
(rf)(s) =f(sr) với mọi f, g ∈ I(A) và mọi r, s ∈R.
Khi đó các kết quả về tính nội xạ của nửa môđun trên nửa vành cộng-lũy đẳng được trình bày cụ thể qua Định lý 2.2.16 sau đây.
Ví dụ 2.2.12. Một B-nửa môđun trái B là nội xạ.
Chứng minh. Cho A là một nửa môđun con của một B-nửa môđun trái B và gọi ϕ : A −→ B là một B-đồng cấu. Xác định một ánh xạ ψ : B −→ B cho
bởi ψ(b0) = 0 nếu tồn tại một phần tử b ∈ B thỏa mãn ϕ(b + b0) = 0 và
ψ(b0) = 1 nếu ngược lại. Ta sẽ chứng minh ψ là một B-đồng cấu. Thật vậy,
giả sử b01, b02 ∈ B nếu ψ(b01 + b02) = 0 thì tồn tại một phần tử b ∈ B sao cho
ψ(b+b01+b02) = 0, tức là tồn tại một phần tử b∈ B sao cho
ϕ(b01+ [b02+b]) = ϕ(b02+ [b01+b]) = 0
và đồng thời thỏa mãn ψ(b01) = 0, ψ(b02) = 0. Suy ra,
ψ(b01+b02) = ψ(b01) +ψ(b02).
Ta xét trường hợp ψ(b01+b02) = 1 thì ta phải có ψ(b01) = 1 hoặc ψ(b02) = 1, vì nếu cả hai bằng 0thì tồn tại b1, b2 ∈B thỏa mãnϕ(b10 +b1) = 0 =ϕ(b02+b2)và
ϕ(b01+b02+b1+b2) = 0 (doϕ là đồng cấu). Suy raψ(b01+b02) = 0 (mâu thuẫn). Như vậy trong trường hợp này ta cũng có ψ(b01+b02) =ψ(b01) +ψ(b02).
Ví dụ 2.2.13. Với một tập bất kỳ A, P(A) là một B-nửa môđun trái nội xạ. Chứng minh. Chứng minh tương tự như Ví dụ 2.2.12, trong đó ψ : B −→ BA được xác định bởi ψ(b0)(a) = 0 nếu tồn tại một phần tử b ∈ B thỏa mãn
ψ(b+a) = 0 và ψ(b0)(a) = 1 nếu ngược lại.
Nếu f : S −→ R là một đồng cấu nửa vành thì R trở thành một S-nửa môđun trái với phép nhân với vô hướng được cho bởi
Cho M là một S-nửa môđun trái thì M∗ = HomS(R, M) là một S-nửa môđun trái với phép cộng và nhân với vô hướng được xác định bởi:
(f +g)(r) =f(r) +g(r); (rf)(r0) = f(r0r)
với mọi f, g ∈ M∗ và mọi r, r0 ∈ R.
Bổ đề 2.2.14. Cho f : S −→ R là một đồng cấu nửa vành. Nếu M là một
S-nửa môđun trái nội xạ thì M∗ cũng là một R-nửa môđun trái nội xạ.
Chứng minh. Cho A là một nửa môđun con của một R-nửa môđun trái B và một R-đồng cấu β : A −→ M∗. Xác định một ánh xạ ϕ : A −→ M cho bởi
ϕ(a) = β(a)(1). Ta chứng minh ϕ là một S-đồng cấu. Thật vậy,
ϕ(a1+a2) =β(a1+a2)(1) = [β(a1) +β(a2)](1) =β(a1)(1) +β(a2)(1) =ϕ(a1) +ϕ(a2) với a1, a2 ∈ A; ϕ(sa) =ϕ(f(s)a) = β(f(s)a)(1) = (f(s)β(a))(1) = β(a)(1·f(s)) =β(a)(f(s)·1) =f(s)(β(a)(1)) =sϕ(a) với a∈ A, s ∈S.
DoM là mộtS-nửa môđun trái nội xạ nên tồn tại mộtS-đồng cấuθ : B −→M
là mở rộng của ϕ. Xác định một ánh xạ β0 : B −→ M∗ cho bởi β0(b) : r 7−→
θ(rb). Ta chứng minh β0 là một R-đồng cấu. Thật vậy, với mọi b1, b2, b ∈
B, r, r0 ∈ R
β0(b1+b2)(r) = θ(r[b1+b2]) = θ(rb1+rb2)
= θ(rb1) +θ(rb2) = β0(b1)(r) +β0(b2)(r) = [β0(b1+b2)](r);
β0(r0b)(r) =θ(r(r0b)) =θ((rr0)b) = β0(b)(rr0) = (r0(β0(b)))(r).
Hơn nữa, β0 là mở rộng của β do
β0(a)(r) = θ(ra) =ϕ(ra) =β(ra)(1) = (rβ(a))(1) = β(a)(r)
với mọi a ∈ A, r ∈R. Như vậy ta có điều phải chứng minh.
Hệ quả 2.2.15. Nếu R là một nửa vành cộng-lũy đẳng và A là một R-nửa môđun trái thì I(A) =HomB(R, P(A)) là một R-nửa môđun trái nội xạ. Chứng minh. Theo Ví dụ 2.2.13, P(A) là B-nửa môđun trái nội xạ và theo Bổ đề 2.2.14, I(A) là một R-nửa môđun trái nội xạ.
Định lý 2.2.16. Nếu R là một nửa vành cộng-lũy đẳng thì mọi R-nửa môđun trái đều có thể nhúng được vào trong một R-nửa môđun trái nội xạ.
Chứng minh. Cho A là một R-nửa môđun trái. Nếu a ∈ A đặt [a) = {a0 ∈A |
a0 ≥ a} và nếuB ⊆ A đặt Bc =A\B. Ta xác định một ánh xạθ : A −→I(A)
cho bởi θ(a)(r) = [ra)c với a ∈A và r ∈ R. Khi đó,
θ(a)(0R) = [0Ra)c = [0A)c = ∅ ∈ P(A);
θ(a)(r1+r2) = [(r1+r2)(a))c
= [r1a+r2a)c = ([r1a)∩[r2a))c
= [r1a)c∪[r2a)c = θ(a)(r1)∪θ(a)(r2) với mọi r1, r2 ∈R.
Vì vậy, θ(a) : R−→P(A) là một B-đồng cấu nên θ(a)∈ I(A).
Bây giờ giả sử rằng θ(a) = θ(b). Khi đó [ra)c = [rb)c với mọi r ∈ R. Trong trường hợp đặc biệt, nếu [a)c = [b)c. Do a /∈ [a)c nên a /∈ [b)c. Vì vậy tồn tại một phần tử x∈ A thỏa mãn a = b+x. Tương tự tồn tại một phần tử y ∈A
thỏa mãn b= a+y. Do A là cộng-lũy đẳng nên ta có
a =a+a =a+b+x= a+b+b+x= a+a+y+b+x= a+b+x+y.
Cuối cùng ta chứng minh θ là một R-đồng cấu. Thật vậy, với mọi r, r0 ∈ R và a1, a2 ∈A ta có θ(0)(r) = [0r)c = Ac = ∅; θ(a1+a2)(r) = [r(a1+a2))c = [ra1+ra2)c = ([ra1)∩[ra2))c = [ra1)c∪[ra2)c = θ(a1)(r)∪θ(a2)(r) = (θ(a1) +θ(a2))(r); θ(ra)(r0) = [r0ar)c = θ(a)(r0r) = (rθ(a))(r0).
Vậy ta có điều phải chứng minh. Vì vậy ta có kết quả sau đây.
Hệ quả 2.2.17. Mọi nửa môđun trên một nửa vành cộng-lũy đẳng đều có một bao nội xạ.
Chương 3
NỬA MÔĐUN NỘI XẠ TRÊN NỬA VÀNH C-ĐƠN
Trong chương này, chúng tôi trình bày về tính nhúng được của nửa môđun vào một nửa môđun nội xạ trên nửa vành c-đơn, qua đó chứng minh được sự tồn tại của bao nội xạ cho các nửa môđun trên các nửa vành này. Trong phần đầu của chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và một số kết quả đặc trưng để có thể hiểu rõ hơn về lớp nửa vành này.
Các kiến thức ở chương này chúng tôi tham khảo trong các tài liệu Barhir- Kepka [6], Monico [13] và Zumbr¨agel [23].