Trước hết chúng tôi trình bày tổng quan một số tính chất cho nửa vành
c-đơn hữu hạn và từ những lập luận hoàn toàn tương tự ta có kết quả cho nửa vành c-đơn bất kỳ.
Nhận xét 3.2.6. Cho R là một nửa vành c-đơn hữu hạn. Nếu bảng nhân của
R có hai dòng (cột) giống nhau thì một trong hai điều sau đây thỏa mãn:
(i) Tồn tại c∈ R sao cho xy = c với mọi x, y ∈ R;
(ii) |R| = 2.
Chứng minh. Xét quan hệ ∼ trên R được xác định bởi:
x∼ y nếu xz = yz với mọi z ∈ R
là một quan hệ tương đẳng. Giả sử ∼6= idR, tức là tồn tại r1 6= r2 sao cho
r1z =r2z với mọi z ∈R, đồng thời ∼= R×R. Vì vậy,
xz = yz với mọi x, y, z ∈R. (3.1) Giả sử (R,·) không giản ước trái. Khi đó tồn tại a, b, c, d ∈ R sao cho
da = db = c và a 6= b. Nhưng xa = ya, xb = yb với mọi x, y ∈ R. Suy ra
da= ya, db =yb và đồng thời ya =yb = c với mọi y ∈ R. Bây giờ xét quan hệ tương đẳng ≈ xác định bởi:
x ≈y nếu zx =zy với mọi z ∈R. (3.2) Do a 6= b và a ≈ b suy ra ≈= R×R. Vì vậy zx = zy với mọi x, y, z ∈ R. Khi đó với mọi x, y ∈R ta có xy (3=.2) xa (3=.1) da= c.
Tiếp theo giả sử (R,·) giản ước nhân trái. Cố định x ∈ R và đặt z = x2. Khi đó xz = zx. Nhưng yz = xz và yx = zx với mọi y ∈ R nên yz = yx. Do tính giản ước trái nên x2 = z = x, tức (R,·) là lũy đẳng. Hơn nữa, với mọi
x ∈ R, x+x = x2+x2 = (x+x)x (3=.1) x2 = x, tức (R,+) là lũy đẳng. Ta sẽ chứng minh rằng |R| ≤ 2. Thật vậy, giả sử |R| = n >2. Với mỗi tập con khác rỗng A ⊆ R gọi
σA = X
x∈A
x và σ =σR.
Giả sử rằng A ⊂ R với |A| = n−1. Ta xét quan hệ cho bởi
Ta kiểm tra được∼ là một quan hệ tương đương. Do(R,·)lũy đẳng và phương trình (3.1) nên với mỗi c ∈ R ta có
cσA = σAσA = σA và cσ =σσ =σ.
Vì vậy cσA ∼ cσ. Tương tự,
σAc =c2 =c và σc= c2 = c.
nên σAc ∼ σc. Mặt khác, (R,+) là lũy đẳng nên σ+c = σ và
σA +c = σA nếu c ∈A, σ trường hợp khác .
Tóm lại, ∼ là một quan hệ tương đẳng. Mà |R| > 2 nên ∼= idR, đồng thời
σA = σ với mọi tập con thực sự A ⊂ R với |A| = n−1.
Bằng cách qui nạp, chúng ta sẽ chứng minh được rằng σA = σ với bất kỳ tập con khác rỗng A ⊆ R. Cho A ⊂ R với |A| = k−1 và xét lại quan hệ cho bởi:
∼= idR ∪ {(σA, σ),(σ, σA)}.
Như chứng minh trên ∼ là một quan hệ tương đương nhân. Hơn nữa,
σA+c = σA nếu c ∈A σA∪{c} trường hợp khác .
Nhưng c /∈ A suy ra |A∪ {c}|= k, tức là σA∪{c} = σ (do giả thiết qui nạp). Vì vậy∼là một quan hệ tương đẳng. Do∼6= R×Rnên∼=idR, đồng thờiσA = σ. Nhưng trong trường hợp đặc biệt, điều đó cho thấy với mỗix ∈R, x = σ{x} =σ
(mâu thuẫn). Vì vậy |R| = 2.
Trường hợp thay thế dòng bởi cột. Nếu R có hai cột giống nhau thì ta xét nửa vành (R0,+,∗) xác định bởi (R0,+) = (R,+) và x∗y = yx và áp dụng lý luận tương tự như trên.
Bổ đề 3.2.7. Cho R là một nửa vành c-đơn hữu hạn. Khi đó, một trong các điều sau đây thỏa mãn:
(i) (R,+) là một nhóm;
(ii) R có một phần tử cộng-hút α.
Chứng minh. Xét quan hệ ∼ trên R được xác định bởi:
x ∼ y nếu tồn tại t∈ R: x+t =y +t.
Ta kiểm tra được∼ là một quan hệ tương đẳng. Nếu∼=idR thì(R,+)là giản ước. Suy ra (R,+) là một nhóm.
Mặt khác, giả sử ∼= R×R. Khi đó, với mọi x, y ∈ R tồn tại tx,y ∈ R sao cho x+tx,y =y +tx,y. Đặt
σ = X
x∈R
x và α = σ+σ.
Với x, y ∈ R tồn tại σ0 ∈ R sao cho σ =tx,y +σ0. Khi đó,
x+σ = x+tx,y +σ0 =y +tx,y +σ0 = y+σ.
Trong trường hợp đặc biệt, x+σ = σ+σ với mọi x∈ R. Vậy với mọi x∈ R x+α = x+σ +σ = (σ+σ) +σ =σ+σ =α.
Điều này chứng tỏ α là một phần tử cộng-hút.
Mệnh đề 3.2.8. Cho R là một nửa vành c-đơn hữu hạn. Khi đó, một trong các điều sau đây thỏa mãn:
(i) (R,+,·) là một vành;
(ii) R có một phần tử hút;
(iii) R là cộng-lũy đẳng.
Chứng minh. Theo Bổ đề 3.2.7, chúng ta có thể giả sử rằng R có một phần tử cộng-hút α. Ta xét quan hệ ∼ trên R xác định bởi:
Khi đó ∼ là một quan hệ tương đẳng. Do đó ∼=idR hay ∼=R×R.
Trường hợp 1: Giả sử ∼=R×R. Khi đó với mọix ∈R, x+x =α+α =α.
Vì vậy xα = x(α+α) = xα+xα = α. Hoàn toàn tương tự, αx = α. Tóm lại,
α là một phần tử hút.
Trường hợp 2: Giả sử∼=idR. Ta xét quan hệ ≈ trên R được xác định bởi:
x≈ y nếu tồn tại u, v ∈R và i≥ 0 sao cho
2ix =y +u và 2iy =x+v.
Khi đó, 2(2x) = (x) + 3x và2(x) = (2x) + 0 suy ra x ≈2x với mọi x∈ R. Nếu
≈= idR thì x = 2x với mọi x∈ R. Do đó R là cộng-lũy đẳng.
Bây giờ giả sử rằng ≈= R×R và cho x ∈R. Khi đó xα≈ α, tức là tồn tại
v ∈ R và i ≥0 sao cho
2ixα = α+v = α.
Do đó,
xα =x(2iα) = 2ixα =α.
Tương tự, αx =α. Tóm lại, α là một phần tử hút.