Tiếp theo ta trình bày tổng quan một kết quả của Zumbr¨agel [23], thể hiện mối quan hệ của nửa vành c-đơn và một phép chứng minh tương đối đơn giản sau đây.
Định lý 3.3.1. Cho R là một nửa vành c-đơn. Khi đó, một trong hai điều sau đây thỏa mãn:
(i) R là một nửa vành cộng-lũy đẳng;
(ii) R là một vành.
Chứng minh. Với x∈ R bất kỳ và n∈N. Khi đó ta viết
nx:= x+· · ·+x
| {z }
n-lầnx
Gọi R+x := {y +x | y ∈ R}. Bây giờ với x, y ∈ R ta xác định một quan hệ ∼ trên R cho bởi:
x∼ y ⇐⇒ ∃m, n ∈N : mx∈ R+y, ny∈ R+x.
Khi đó ta kiểm tra được ∼ là một quan hệ tương đẳng.
Mặt khác, do R là một nửa vành c-đơn nên ∼= idR hay ∼=R×R. Trong trường hợp ∼= idR ta có x ∼ x+x. Vì vậy R là cộng-lũy đẳng. Còn trong trường hợp∼= R×Rvới mọi x ∈ Rta có x∼ 0, tức là ta đạt được0∈ R+x. Điều này chứng tỏ (R,+) là một nhóm hay R là một vành.
Định lý 3.3.2. Nếu R là một nửa vành c-đơn thì mọi R-nửa môđun trái đều có thể nhúng được vào trong một R-nửa môđun trái nội xạ.
Chứng minh. Áp dụng Định lý 3.3.1 ta có R là một vành hoặc một nửa vành cộng-lũy đẳng. Trong trường hợp thứ nhất, áp dụng [4, Proposition 18.6] ta có điều phải chứng minh. Còn trong trường hợp 2, áp dụng Định lý 2.2.16 ta có điều phải chứng minh.
Vì vậy ta có kết quả sau đây.
Hệ quả 3.3.3. Mọi nửa môđun trên một nửa vành c-đơn đều có một bao nội xạ.
KẾT LUẬN
Trong nội dung chính của luận văn với đề tài “Về nửa môđun nội xạ trên một số nửa vành đặc biệt”, chúng tôi trình bày các chứng minh chi tiết về tính nhúng được của các nửa môđun vào nửa môđun nội xạ trên các nửa vành “cộng-lũy đẳng” và nửa vành “c-đơn”, qua đó cũng sẽ chứng minh được sự tồn tại của bao nội xạ cho các nửa môđun trên các nửa vành này.
Các nội dung chính của luận văn được thể hiện cụ thể như sau:
1) Tổng quan được một số tính chất của nửa môđun nội xạ. Đặc biệt, chúng tôi đã nêu và chứng minh được hai Mệnh đề tương đương về định nghĩa nửa môđun nội xạ (Mệnh đề 1.2.2, 1.2.3) và một số tính chất nội xạ của nửa môđun thông qua hàm tử Hom (các Mệnh đề 1.2.11, 1.2.12 và Hệ quả 1.2.13).
2) Chúng tôi đã giải quyết trọn vẹn bài toán về nửa môđun nội xạ trên nửa vành cộng-lũy đẳng. Đạt được kết quả mong muốn là mọi nửa môđun trên một nửa vành cộng-lũy đẳng đều có bao nội xạ.
3) Trong Chương cuối của Luận văn chúng tôi đã phát hiện ra một lớp nửa vành c-đơn mà nửa môđun trên nó cũng có một bao nội xạ (Định lý 3.3.2 và Hệ quả 3.3.3). Đây là một lớp vành tương đối mới nên trong Luận văn chúng tôi cũng tìm thêm được một vài kết quả (Ví dụ 3.1.3, Bổ đề 3.2.6).
Để kết thúc Luận văn xin được nói thêm rằng, đây vẫn là một bài toán mở và việc đi tìm các lớp nửa vành để kết quả trên vẫn còn đúng đang được tiếp tục. Chúng tôi cũng đã dự đoán kết quả trên vẫn còn đúng cho lớp nửa vành giao hoán nửa đơn và hy vọng là chúng tôi có thể giải quyết trọn vẹn bài toán trong thời gian tới. Tất cả các kết quả chính của Luận văn thể hiện trong các bài báo gửi đăng: “Nguyễn Xuân Tuyến- Nguyễn Quốc Khánh, Nửa môđun nội xạ trên nửa vành c-đơn” và “Khanh N. Q- Tuyen N. X, Some characterizations on injective semimodules”.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. J. Ahsan, M. Shabir and H. J. Weinert (2003), “Characterization of semir- ings by p-injective and projective semimodules”,Comm. Algebra, (26), pp. 2199-2209.
2. H. M. J. Al-Thani (2002), “Characterization of projective and k-projective semimodules”, Hindawi Publishing Corp, 32(7), pp. 439-448.
3. H. M. J. Al-Thani (2003), Lectures on injective semimodules, Department of Environmental and Mathemmatics East London University.
4. F.W. Anderson and K.R. Fuller (1992), Rings and categries of modules, Spriner-Verlag New York, Heidelberg-Berlin, 2nd Ed.
5. G. Bruns and H. Larser (1970), “Injective hulls of semilattices”, Bulletin, 13(1), pp. 115-118.
6. R. El Barhir and T. Kepka (2005), “Congruence-simple semirings”,Journal of Algebra, pp. 1-16.
7. R. El Barhir, J. Hurt, A. Janˇcaˇr´ek and T. Kepka (2001), “Simple commu- tative semirings”, Journal of Algebra, pp. 277-306.
8. J. S. Golan (1999), Semirings and their Applications, Dordrecht-Boston- London, Kluwer Academic Pulisher.
9. J. S. Golan (2005), “Some recent applications of semirings theory”, Inter- national Conference on Algebra in Memory of Kostia Beidar, pp. 1-18. 10. M. Hall and S. Pianskool (1996), “Injectivity for cancellative semimodules”,
11. U. Hebisch and H. J. Weinert (1996), Semirings and semifields, Handbook of Algebra, Amsterdam-Holland, vol (1), 425-462.
12. Y. Katsov (1997), “Tensor product and injective envelopes of semimodules over additively-regular semirings”, Algebra collog, (9), pp. 121-131.
13. C. Monico (2004), “On finite congruence-simple semirings”, J. Algebra, 271(2), pp. 846-854.
14. O. Sokratova (2002), “On semimodules over commutative, additively- regular semirings”, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, pp. 123- 134.
15. M. Takahashi (1984), “On semimodule I”, Kobe J. Math., (1), pp. 67-97. 16. M. Takahashi (1984), “On semimodule II”,Kobe J. Math., (1), pp. 177-190. 17. M. Takahashi (1985), “On semimodule III”, Kobe J. Math., (2), pp. 131-
141.
18. M. Takahashi (1982), “On the Bordism Categories III, Functors Hom and for semimodules”, Math. Sem. Notes (Kobe), Vol.(10), pp. 211-236.
19. M. Takahashi (1987), “Structures of semimodules”,Kobe J. Math., (4), pp. 79-101.
20. M. Takahashi and H. Wang (1993), “Injective semimodules over a 2- semiring”, Kobe J. Math., (10), pp. 59-70.
21. N. X. Tuyen (2006), Lecture notes on the theory of semirings and semi- modules, Huế University.
22. H. Wang (1994), “Injective hulls of semimodules over additively- idempotent semiring”, Semigroup Forum, vol.(48), pp. 337-379.
23. J. Zumbr¨agel (2007), “Classification of finite congruence-simple semirings with zero”, eprint arXiv: math/0702416, pp. 1-16.