Ta nêu một định nghĩa tương đương với Định nghĩa 1.1.5 về quan hệ tương đẳng để tiện cho việc phát biểu và chứng minh các kết quả của Chương 3. Định nghĩa 3.1.1. Một quan hệ tương đương ∼ trên một nửa vành R được gọi là tương đẳng nếu và chỉ nếu
x∼ y kéo theo a+x∼ a+y, ax∼ ay, xa ∼ ya với mọi x, y, a∈ R.
Nửa vành R được gọi là tương đẳng-đơn nếu và chỉ nếu quan hệ tương đẳng của nó chỉ là ∼= idR và∼=R×R. Một nửa vành tương đẳng-đơn thì viết tắt là nửa vành c-đơn.
Một phần tửα của một nửa vànhRđược gọi làcộng (nhân)-hút nếu α+r =
r+α =α (αr =rα= α) với mọir ∈R. Một phần tử vừa cộng-hút vừa nhân- hút thì được gọi là phần tử hút.
Cho một quan hệ tương đẳng ∼ trên nửa vành R. Ta xác định các phép toán (+) và (·) trên tập các lớp tương đương R/ ∼= {x/ ∼| x ∈ R} cho bởi
(x/ ∼) + (y/ ∼) := ((x+y)/ ∼) và (x/ ∼)· (y/ ∼) := (xy/ ∼) với x, y ∈ R.
Khi đó (R/∼,+,·) là một nửa vành và gọi là nửa vành thương.
Nhận xét 3.1.2. Nếu R là một vành thì có tương ứng một-một giữa các quan hệ tương đẳng với các iđêan bằng cách đồng nhất một quan hệ tương đẳng với
0-lớp của nó. Suy ra, một vành là c-đơn nếu và chỉ nếu nó đơn theo nghĩa chỉ có các iđêan tầm thường.
Cho đồng cấu bất kỳ γ : R −→ S và quan hệ tương đẳng ∼ xác định như trong Ví dụ 1.1.6. Một nửa vành R là c-đơn nếu và chỉ nếu đồng cấu khác không bất kỳ γ : R−→S là đơn cấu.
Ví dụ 3.1.3. Một vài ví dụ sau cho ta sự so sánh giữa nửa vành đơn theo nghĩa iđêan và đơn theo nghĩa tương đẳng.
1) Mọi nửa vành hai-phần tử vừa là c-đơn vừa là iđêan đơn và chỉ có 10 nửa vành hai-phần tử sai khác đẳng cấu, (xem [13, Bảng I]).
2) Q+ là một nửa vành iđêan-đơn nhưng không là c-đơn.
3) Xét (R, max,·) với x·y = y không có iđêan thực sự nào nhưng các lớp
{x≤ 0} và {x > 0} cho ta một quan hệ tương đẳng.
4) ({0,1,2}, max,·) với 0·x = 0,1·x = 1,2·x = 2, x ∈ {0,1,2} là c-đơn nhưng không là iđêan-đơn.
3.2 Về nửa vành c-đơn3.2.1 Nửa vành tự đồng cấu