R là một nửa vành cộng-lũy đẳng vàA là một R-nửa môđun trái. P(A)tập tất cả các tập con củaA. Khi đó, P(A)là mộtB-nửa môđun trái với phép toán cộng là phép giao tập hợp thông thường và phần tử không là tập A. Nó là một dàn đầy đủ thỏa mãn điều kiện (2.1).
Xác định tập I(A) = HomB(R, P(A)) cùng các phép toán cộng và phép nhân với vô hướng cho bởi:
(f +g)(r) = f(r)∩g(r); (sf)(r) = f(rs)
với f, g ∈ I(A) và r, s∈ R là một R-nửa môđun trái với đơn vị A cho bởi một ánh xạ hằng r 7−→A với mọi r ∈ R.
Mệnh đề 2.2.5. Nếu R là một nửa vành cộng-lũy đẳng và A là một R-nửa môđun trái thì I(A) là một dàn đầy đủ thỏa mãn:
(^M)(r) = \{f(r)| f ∈ M} (2.5) với mọi tập con M của I(A) và mọi r∈ R.
Chứng minh. Trước hết ta chứng minh đẳng thức (2.5) thỏa mãn với tập con khác rỗng bất kỳ M của I(A) và r ∈ R. Ta xác định f : R −→ P(A) cho bởi
f(r) = T {f(r)| f ∈ M} với r∈ R. Khi đó, f(0R) = \{f(0R)| f ∈M} = \{A} = A ∈P(A); f(r1+r2) =\{f(r1+r2)| f ∈M} =\{f(r1)∩f(r2)| f ∈ M} =\{f(r1)| f ∈ M} ∩\{f(r2)| f ∈M} =f(r1)∩f(r2).
Suy raf là mộtB-đồng cấu, tức làf ∈ I(A). Do cách xác định trên,f(r)≤ f(r)
với mọi r ∈ R hay f ≤ f với mọi f ∈ M. Vậy f là cận trên của M.
Bây giờ giả sử ulà một cận dưới củaM. Khi đóu ≤ f với mọif ∈M, nghĩa là u(r)≤ f(r) với mọi r ∈R. Do đó u(r)là một cận dưới của {f(r)| f ∈ M}. Mặt khác, f(r) là cận dưới lớn nhất của {f(r) | f ∈ M} nên u(r) ≤ f(r) với mọi r ∈ R. Suy ra u ≤ f, tức là f = V
M. Như vậy tồn tại V
M trong I(A)
với tập con khác rỗng bất kỳ M của I(A). Hơn nữa, A là phần tử lớn nhất của I(A) nên I(A) là một dàn đầy đủ.
Mệnh đề 2.2.6. Mọi R-nửa môđun trái trên nửa vành cộng-lũy đẳng R luôn có thể nhúng được vào trong một R-nửa môđun trái đầy đủ.
Chứng minh. Cho A là một R-nửa môđun trái bất kỳ. Ta xác định ánh xạ θ : A −→I(A) cho bởi:
θ(a)(r) = (ra] với mọi r∈ R và a ∈ A,
trong đó (a] = {a0 | a0 ≤ a} là kí hiệu của iđêan chính sinh bởi a ∈ P(A). Khi đó,
θ(a)(r1+r2) = ((r1+r2)a] = (r1a+r2a] = (r1a]∩(r2a]
=θ(a)(r1)∩θ(a)(r2).
Vì vậy, θ(a) : R−→P(A) là một B-đồng cấu và θ(a)∈ I(A).
Mặt khác, giả sử θ(a) = θ(b)suy ra (ra] = (rb] với mọi r ∈ R. Trong trường hợp đặc biệt, (a] = (b] kéo theo a= b. Như vậy θ là một đơn ánh.
Cuối cùng ta phải chứng minh θ là một R-đồng cấu. Thật vậy,
θ(0A)(r) = (0A] = A =A(r);
θ(ra)(s) = (sra] = θ(a)(sr) = (rθ(a))(s) với mọi r, s∈ R,
=⇒ θ(ra) = rθ(a);
θ(a1+a2)(r) = (r(a1+a2)] = (ra1+ra2]
= (ra1]∩(ra2] =θ(a1)(r)∩θ(a2)(r) = (θ(a1) +θ(a2))(r) với mọi r ∈R,
=⇒ θ(a1+a2) = θ(a1) +θ(a2).
Như vậy ta có thể nhúng A vào trong I(A) đầy đủ.
Trong mọi nửa vành cộng-lũy đẳng R ta luôn xét thứ tự bộ phận của Rxác định bởi: r ≤s nếu và chỉ nếu r+s= s.
Một nửa vành cộng-lũy đẳng là một dây chuyền nếu thứ tự bộ phận ≤ là một thứ tự toàn phần. Nếu R đầy đủ như R-nửa môđun thì ta cũng gọi R là đầy đủ.
Mệnh đề 2.2.7. Nếu R là một dây chuyền nửa vành cộng-lũy đẳng và A là một R-nửa môđun trái thì I(A) là một khung.
Chứng minh. Trước hết ta chứng minh phương trình sau đây thỏa mãn
_
Ta xác định ánh xạ
g : R−→ P(A)
r7−→ [{g(r)| g ∈M}.
Khi đó,
g(0R) = [{g(0R)| g ∈ M}=[{A}=A ∈ P(A).
Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng:g(r1+r2) = g(r1)∩g(r2) với r1, r2 ∈ R.Thật vậy, do Rlà một dây chuyền nên ta có thể giả sử rằng r1 ≤ r2. Khi đó g(r1)≤ g(r2)
với mọi g ∈ M. Suy ra g(r1) =g(r1)∩g(r2). Hơn nữa,
g(r1+r2) = [{g(r1+r2)| g ∈ M}
= [{g(r1)∩g(r2)| g ∈ M}
= [{g(r1)| g ∈ M}
= g(r1).
Mặt khác, đẳng thức (2.1) thỏa mãn trong P(A) nên ta có
g(r1)∩g(r2) =g(r1)∩[{g(r2)| g ∈M} (2.1) = [{g(r1)∩g(r2)| g ∈ M} =[{[{g(r1)| g ∈ M} ∩g(r2)| g ∈M} (2.1) = [{[{g(r1) +g(r2)| g ∈M} |g ∈ M} =[{g(r1) +g(r2)| g ∈M} =[{g(r1)| g ∈ M}= g(r1). Suy ra, g(r1+r2) =g(r1)∩g(r2) và g(0) = A ∈P(A) tức là g ∈ I(A).
Tiếp theo ta sẽ chứng minh W
M(r) = g(r). Thật vậy, do g(r) = S
{g(r) |
g ∈ M} nên g(r) ≤ g(r) với mọi r ∈ R. Suy ra g ≤ g với mọi g ∈ M hay
g là một cận trên của M. Giả sử u là một cận trên của M, tức là g ≤ u với mọi g ∈ M, (do g(r) ≤ u(r) với mọi r ∈ R). Vì g(r) là cận trên bé nhất của
{g(r) | g ∈M} cho nên g(r)≤ u(r) với mọi r ∈ R. Điều đó có nghĩa g là một cận trên bé nhất của M.
Cuối cùng ta phải chứng minh rằng
f +_M = _{f +g | g ∈M} với f ∈I(A) và M ⊆I(A). Thật vậy, (f +_M)(r) = (f +g)(r) = f(r)∩[{g(r)| g ∈M} = [{f(r)∩g(r)| g ∈M} = [{(f +g)(r)| g ∈ M} (2.6) = _{f +g | g ∈ M}(r). Tóm lại, I(A) là một khung.