- Nếu Ỵ.y trong ưường hợp này vât nổi lưng chừng trong nước Nếu ỵ < ỵ trường hợp này vật có một phần nổi lên tròn mật
CỦA CHẤT LỎNG KHÔNG NÉN Được
4.1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CỦA HÀM BIỂN PHỨC• ■
4.1.1. M ặt phảng phức
Ta biết số phức là biểu thức hình thức có dạng z=x+iy, với -V,)'
là hai số thực còn i gọi là đom vị phức và ký hiệu quy ước i 2 =-/ .
Cùng với các phép toán đại số trên nó tập hợp các số phức lâp thành
một trường gọi là trường phức ký hiộu là c mà nó bao hàm tniờiig thực R . Mặt khác ta có tương úmg: 2 e C vói ( x , y ) e R* vì thế có thể biểu diễn h ìn h h ọ c trường số phức c trên mặt phẳng g ọ i là mặt phẳng phức (z ) (Hình 6).
Mỗi số phức z - x + i y được gọi là một điểm M ( x , y ) trên mặt phẳng phức(z).
Số thực r = Ịz| = Ị 7 7 ? được gọi là mỏđun của sò phức 2,
còn g ó c < 2 ĩ t hợp giữa irục thực X và tia O M được gọi là
y
acgum en của z và ký hiêu là argz. Vây a r g z = a i r tg — . Các số thực
X
X ,y được gọi là phần thực và phần ảo của z và đươc ký hiệu là:
x= Rez, y - l m z . Với các ký hiệu trên, số phức 2 còn biểu diễn dưới
dạng:
Hình 6
4.1.2. Hàm biến phức
Cho tập D e c và một ánh xạ f : D —*C được gọi là hàm số biến
số phức.
Ký hiêu w=fịz). Nếu biểu diẻn z=x + iy vầffz)=u(z)+iv(z) ta có:
f(z)= u(x,y)+ iv(x,y).
Như vặy hàm biến phức hoàn toàn được xác định bởi hai hàm hai biến thực n(x,y) và v(x,y) hay hàm biến phức có thể xem là hàm vectơ hai biến thực X và y. Vì vậy các khái niộm như sự liên tục, khả vi cũng được xét như hàm các biến thực đã biết. Hàm biến phức f(z)
có đạo hàm tại điểm z được gọi là c - khả vi tại 2.
Hàm f(z) =u(x,yi + iv(x,y) được gọi là R2 khả vi tại z—.x+iy nếu các hàm hai biến thực u(.\-,y) và v(x,v) là khả vi tại ịx.y).
Định lý Cauchy - Riemann:
Đế hàm /( z J là c - khả vi tại z điểu kiện cần và đủ là: f(z), R2
khà vi tại z và thoả mãn điểu kiện Cauchy - Riemann:
4.1.3. Phép biến hình báo gỉác
Hàm w = f(z) = u+ iv biểu diễn m ột ánh xạ từ mặt pliiing phức
:=\+iy sang mặt phặt phắng phức w =/i+ỉY. Thông thường cAc trục
V.V trong mặt phức (z) và các trục n.v trong mật phảng phức (Vi’) được chọn đồng phương với nhau. Hàm M'=f(z) là C- khá vi tại z
còn được goị là chỉnh hình tại
Trong mặt phẳng phức (z) xét một đường cong / đi qua diếtn *, qua phép biến hình M'~f(z) dường cong / biến thành L trong mặt phảng (w). Giả thiết f(z) chinh hình tại z„ đổng thời f'{ zn) * 0. Gọi
ỳ là góc giữa tiếp tuyến của / tại z0 với trục thực .V vù ẹ là góc giữa
tiếp tuyến L tại điểm H'„ - f ị z j với trục thực u, ta có:
lim urg{z - zfí) = lim ơrg Az = <Ị>
Um arg( / ( r ) - / ( :„ ) ) = lim urg Ạ f = <p
:->z„
Gọi a = q>-ệ ,một cách hình thức đó là góc quay cùa dường c o n g / tại đ i ể m zn q u a p h é p b iế n h ìn h w = f ( z ) ,ta có:
ọ - ộ = lim (arg ậ f - arg Ar) = lim = arỵ f '{ z 0 ).
Từ đó nếu v iế t: f'{z0)= \f'{:0)\e,a
thì <p-ệ = a ~ arg f ' { z„ ) là góc quay của tiếp tuyến cùa / tại z„ qua ánh xạ w = f(z).
Giả sử I/.Ịị là hai đường cong trơn qua z„ và L/tL? là ảnh cùa chúng qua ánh x ạf(z). Kí hiệu ệ v ộì,<p\*ọ>i là các góc tương tự như đối với / và L. Góc hình học giữa ỉ, và Ị2 tại z0 là - ỷ 2 và góc giira
Lị và Lị là tp\ ~(p2- Như vậy :
=q>2 - < b = " ^ / ' ( z f > ) = ot
tức là góc giữa hai đường cong trơn qua zfì được bảo toàn qua phép biến hình w=f(z). Phép biến hình như vậy được gọi là phép biến
Cho hàm f(z )-u ( x ,y ) + i\(x ,y ) xác dịnh và liên tục trên đường cong trơn hoặc trơn từng khúc C.Ta định nghĩa :