Các bề mặt PDE dạng ẩn là kết quả thu đƣợc từ việc giải phƣơng trình PDE với miền ban đầu là một bề mặt đƣợc xác định trƣớc. Có nghĩa là các mặt này thƣờng đƣợc xem nhƣ một tập các điểm P thỏa mãn một đƣờng hình học cho trƣớc. Biểu diễn tổng quát của đƣờng hình học đƣợc xác định bởi: p
t
=V(p,t), (2.5)
trong đó V(p,t) là một trƣờng tốc độ tùy ý.
Điều quan trọng cần nhấn mạnh rằng các bề mặt ban đầu đối với đƣờng hình học đƣợc áp dụng phải là các bề mặt đóng và đƣợc định hƣớng. Vì vậy phƣơng trình (2.5) cho ta một họ các bề mặt đóng và có thể định hƣớng S(t) đƣợc xác định bởi: p
t
=N( (p, t)) Vn (k1, k2, p), (2.6) trong đó p(t) là một điểm trong S(t), Vn(k1, k2, p) và N(p) biểu diễn tốc độ thông
thƣờng và vector của bề mặt tại p tƣơng ứng; k1, k2 là độ cong chính của S(t).
Một số trƣờng vận tốc đã đƣợc thực hiện để nghiên cứu các vấn đề khác nhau trong thiết kế hình học với sự hỗ trợ của máy tính nhƣ pha trộn bề mặt, xây dựng bề mặt dạng tự do, giảm nhiễu, v.v…
Một số các trƣờng vận tốc phổ biến thƣờng đƣợc sử dụng trong mô hình hóa hình học:
Dòng độ cong trung bình (Mean curvature flow): Vn= -1
2(k1+k2)
Trung bình dòng độ cong trung bình(Averaged mean curvature flow):
Vn= 1 2 (k1+k2) + h(t) trong đó: h(t)= 1 2 ( ) ( ) 1 ( ) 2 S t S t k k d d
Vn=∇21
2 (k1+k2) trong đó ∇2
là toán tử Laplace
Các dòng hình học bậc cao hơn (Higher-order geometric flows): Dạng tổng quát của các dòng này là:
Vn=(-1)k+1∇2k1
2 (k1+k2) trong đó k ≥2 Dòng nhiệt (Heat flow):
Vn=(-1)k+1∇2kp (t) trong đó k >0 và p(t) là một điểm thuộc S(t) Dòng Willmore (Willmore flow):
Vn=∇2(k1+k2) +2(k1+k2)((k1+k2)2-K) trong đó K là độ cong Gaussian Cách tiếp cận thông thƣờng để giải quyết các bề mặt PDE liên quan đến các vấn đề trong thiết kế hình học với sự hỗ trợ của máy tính bao gồm việc sử dụng các sai phân hữu hạn. Nhìn chung, các trƣờng vận tốc là hình học nội tại nghĩa là chúng có thể đƣợc áp dụng với các bề mặt có cấu trúc liên kết tuỳ ý. Ngoài ra, các trƣờng vận tốc này có giá trị đƣợc duy trì và trong phần lớn các trƣờng hợp chúng có giá trị giảm. Tuy nhiên giá trị của chúng đƣợc duy trì nếu và chỉ nếu bề mặt của chúng đƣợc áp dụng là các bề mặt đóng. Vì vậy trong trƣờng hợp áp dụng chúng vào một bề mặt mở với một đƣờng biên cố định thì giá trị duy trì không nhất thiết phải đƣợc xác định trạng thái trƣớc.