Phần này trình bày các ký hiệu đƣợc sử dụng, độ cong và một số các toán tử của hình học vi phân bao gồm cả toán tử Laplace- Beltrami và toán tử Giaquinta- Hildebrandt, v.v..
Cho S= {x(u,v)∈ℝ3
; (u,v)∈ ⊂ℝ2
} là một mặt tham số đủ mịn và chính tắc. Để đơn giản ta kí hiệu: w=(u,v)=(u1, u2). Đặt gαβ= xuα, xuβ và bαβ= n, xuαuβ là hệ số đầu tiên và dạng cơ bản thứ 2 của S với: xuα= x
u ; xuα uβ= 2 x u u (α, β=1,2, n=(xu×xv)/∥xu×xv∥).
Trong đó . , . và × là các ký hiệu tích thông thƣờng và tích chéo của hai vector tƣơng ứng trong không gian Euclidean ℝ3. Đặt g=det[gαβ], [gαβ]=[ gαβ]-1, b=det[bαβ], [bαβ]=[ bαβ]-1
Độ cong: Để định nghĩa độ cong trung bình và độ cong Gaussian, trƣớc tiên ta tìm hiểu các khái niệm về bản đồ Weingarten hay còn gọi là toán tử hình dạng. Toán tử hình dạng của một mặt S là một bản đồ tuyến tính tự liên hợp trên không gian tiếp xúc TxS :=span{xu, xv} đƣợc định nghĩa bởi:
W: TxS→ TxS sao cho W(xu)=-nu, W(xv)=-nv
Ta có thể biểu diễn bản đồ tuyến tính này bởi một ma trận cấp 2x2 S=[bαβ][gαβ]. Đặc biệt [nu , nv]=- [xu , xv]ST. Độ cong trung bình H= 1 2 2 k k = ( ) 2 tr S
Độ cong Gaussian K=k k1 2=det(S).
Toán tử tiếp tuyến Gradient: Cho f là một hàm độ mịn C1 trên S. Toán tử tiếp tuyến gradient ∇ trên f đƣợc cho bởi:
∇f =[xu , xv] [gαβ][ f u , f v]T∈ℝ3 trong đó f u , f v là các đạo hàm riêng cấp 1 của f với các tham số u, v tƣơng ứng.
f uαuβlà đạo hàm riêng cấp 2 của f . Đối với một hàm giá trị vector f =[ f 1
,…, f k]T∈C1(S)kta định nghĩa toán tử tiếp tuyến gradient của nó nhƣ sau: ∇ f =[∇ f 1 , . . . , ∇ f k] ∈ℝ3xk
Dễ dàng thấy rằng: ∇x =[xu , xv] [gαβ][xu , xv]T
Cả ∇x và ∇n đều là các ma trận cấp 3x3.
Toán tử tiếp tuyến thứ hai: Cho f là một hàm độ mịn C1 trên S. Toán tử tiếp tuyến thứ 2 trên f đƣợc cho bởi:
f =[xu , xv] [hαβ][ f u , f v]T∈ℝ3, trong đó: hαβ= 22 12 12 11 1 b b b b g Đặt g là một hàm độ mịn C1 khác trên S, ta có: ( f )T∇g=(∇ f )Tg.
Toán tử tiếp tuyến thứ ba: Cho f là một hàm độ mịn C1 trên S. Toán tử tiếp tuyến thứ 3 ⊘ trên f đƣợc cho bởi:
⊘ f =[xu , xv] [gαβ]S[ f u , f v]T∈ℝ3.
Cả ba toán tử tiếp tuyến trên đều thuộc không gian tiếp xúc TxS và chúng đều là các toán tử phụ thuộc tuyến tính. Ta có các bổ đề sau:
Bổ đề 3.1: Đối với một hàm f ∈C1(S) bất kỳ ta có: 2H∇ f =⊘ f + f (3.2)
Chứng minh: Từ các định nghĩa của 3 toán tử tuyến tính ta biết rằng nếu đẳng thức
2H[gαβ] = [gαβ]S +[hαβ] (3.3) thỏa mãn thì (3.2) hiển nhiên đúng. Từ sự tính toán trực tiếp (3.3) dễ dàng đƣợc suy ra, do đó bổ đề đƣợc chứng minh.
Toán tử phân kỳ: Cho v là một trƣờng vector độ mịn C1
trên S. Sự phân kỳ của v đƣợc định nghĩa bởi:
Div(v)= 1 , g u v g [g αβ] ][xu , xv]Tv .
Lƣu ý rằng nếu v là một trƣờng vector thông thƣờng của S, div(v)=0. Đối với một hàm ma trận giá trị V=[v1, . . . , vk]∈C1(S)3xk, ta định nghĩa:
div (V)=[div(v1), . . . , div(vk)]T∈ℝk
Toán tử Laplace – Beltrami: Cho f là một hàm độ mịn C2 trên S. ∇ f là một trƣờng vector độ mịn trên S. Toán tửLaplace – Beltrami (LBO) ∆ áp dụng cho f đƣợc định nghĩa bởi:
∆ f =div(∇ f ).
Toán tử Giaquinta-Hildebrant: Cho f là một hàm độ mịn C2
trên S. Toán tử Giaquinta- Hildebrant trên f đƣợc cho bởi:
f =div( f ).
Đối với một hàm giá trị vector f =[ f 1, . . . , f k]∈C1(S)k ta định nghĩa: ∆ f =div(∇ f ). f =div( f ). Định lý 3.1: Cho x∈S, ta có: ∆x=2Hn (3.4) ∆n=-2∇H-2H∆x + x. (3.5) Định lý 3.2: Cho x∈S, ta có: x=2Kn (3.6) n=-∇K-K∆x = -∇K-Hx (3.7)
Bổ đề 3.2(Định lý phân kỳ): Cho v là một trƣờng vector độ mịn C1
trên bề
mặt S với sự hỗ trợ compact thì ( ) 0
S
div v dA
(3.8) Trong (3.8) coi v nhƣ f v đối với hàm độ mịn f , và sử dụng mối liên hệ div( f v)= f div(v) + v, ∇ f
Định lý 3.3 (Công thức Green): Cho v là một trƣờng vector độ mịn 3 chiều
trên S và f ∈C1(S) với sự hỗ trợ compact thì , div(v)dA
S S
v f dA f
(3.9)
Định lý 3.4 (Công thức Green đối với toán tử LB): Cho h∈C2(S),
f ∈C1(S), và ít nhất một trong số chúng đƣợc hỗ trợ compact thì
( , ) 0
S
f h h f dA
(3.10)
Nếu tiếp tục giả sử rằng f ∈C2 thì ( ) 0
S
h f f h dA
(3.11)
Chứng minh: Trong (3.9) lấy v=h đối với hàm h trong C2
(S), ta thu đƣợc phƣơng trình (3.10). Giả sử f ∈C2(S) thì tƣơng tự với (3.10) ta có:
( , ) 0
S
h f h f dA
. Sử dụng mối liên hệ này và phƣơng trình (3.10) ta thu đƣợc
(3.11). Vậy định lý đƣợc chứng minh.
Định lý 3.5 (Công thức Green đối với toán tử GH): Cho f ∈C2(S),
h∈C1(S), với ít nhất một trong số chúng đƣợc hỗ trợ compact thì:
( , ) 0 S h f f h dA . Nếu giả sử rằng h∈C2 thì ( ) 0 S h f f h dA (3.12)
Việc chứng minh định lý 3.5 cũng tƣơng tự nhƣ chứng minh định lý 3.4 ở
trên.
3.2. Cấu trúc của GPDE 3.2.1 Xây dựng GPDE