Phƣơng pháp phần tử hữu hạn đƣợc đề xuất bởi Alexander Hrennikoff (1941) và Richard Courant (1943). Phƣơng pháp này đƣợc áp dụng mạnh mẽ vào cuối những năm 1950 trong việc phân tích kết cấu khung máy bay và các công trình xây dựng. Ƣu điểm của phƣơng pháp này là dễ dàng thực hiện trên miền hình học phức tạp.
Để giải một bài toán biên trong miền W, bằng phép tam giác phân, ta chia thành một số hữu hạn các miền con Wj (j = 1,..., n) sao cho hai miền con bất kì không giao nhau và chỉ có thể chung nhau đỉnh hoặc các cạnh.
Mỗi miền con Wj đƣợc gọi là một phần tử hữu hạn. Ta tìm nghiệm xấp xỉ
của bài toán biên ban đầu trong một không gian hữu hạn chiều các hàm số thoả mãn điều kiện khả vi nhất định trên toàn miền W và hạn chế của chúng trên từng phần tử hữu hạn Wj là các đa thức. Có thể chọn cơ sở của không gian này gồm các hàm số ψ1(x),..., ψn(x) có giá trị trong một số hữu hạn phần tử hữu hạn Wj ở gần nhau. Nghiệm xấp xỉ của bài toán ban đầu đƣợc tìm dƣới dạng:
c1ψ1(x) + ... + cnψn(x)
trong đó các ck là các số cần tìm. Thông thƣờng ngƣời ta đƣa việc tìm các ck
về việc giải một phƣơng trình đại số với ma trận thƣa (chỉ có các phần tử trên đƣờng chéo chính và trên một số đƣờng song song sát với đƣờng chéo chính là khác không) nên dễ giải. Có thể lấy cạnh của các phần tử hữu hạn là đƣờng thẳng hoặc đƣờng cong để xấp xỉ các miền có dạng hình học phức tạp.
Phƣơng pháp phần tử hữu hạn có thể dùng để giải gần đúng các bài toán biên tuyến tính, phi tuyến và các bất phƣơng trình.
Để thực hiện đƣợc phƣơng pháp này ta phải giải quyết đƣợc 2 vấn đề mấu chốt: + Xây dựng các không gian hàm của các phần tử hữu hạn.
+ Giải quyết vấn đề điều kiện biên.