Phƣơng pháp Bloor- Wilson PDE ban đầu đƣợc sử dụng nhƣ một công cụ
pha trộn và sau đó đƣợc mở rông sang một số lĩnh vực khác. Phƣơng pháp này là
một kỹ thuật tạo bề mặt thông qua việc khắc phục một số vấn đề trong các bề mặt đa thức. Ngoài ra nó còn là một sự lựa chọn rất tốt cho dạng bề mặt tự do vì nó chỉ yêu cầu đầu vào là các đƣờng cong biên đƣợc xác định một cách rất trực quan. Về nguyên tắc không có giới hạn về loại và bậc của phƣơng trình PDE đƣợc giải quyết. Tuy nhiên các phƣơng trình PDE elliptic đƣợc lựa chọn để phát triển kỹ thuật này bởi đây là loại phƣơng trình PDE đƣợc coi là một phƣơng pháp trung bình trên toàn bộ bề mặt. Bậc của phƣơng trình PDE xác định độ mịn của bề mặt bởi vì các điều kiện biên đƣợc yêu cầu để giải quyết PDE thƣờng đƣợc đƣa ra dựa vào các yêu cầu về vị trí và đạo hàm. Quá trình xây dựng phƣơng pháp PDE Bloor- Wilson bao gồm việc xây dựng một bề mặt tham số X(u,v) bằng cách tìm kiếm một lời giải cho phƣơng trình PDE dạng: 2 2 2 2 2 ( )r ( , ) 0 a X u v u v , (2.7)
trong đó u và v biểu diễn tham số tọa độ bề mặt đƣợc ánh xạ vào không gian vật lý nghĩa là (x(u,v),y(u,v),z(u,v)), a là một tham số cố định của phƣơng trình PDE thƣờng là a≥1, r xác định bậc của phƣơng trình PDE.
Phƣơng trình (2.7) là một phƣơng trình PDE có bậc là 2r. Tuy nhiên, hầu hết các tính toán có liên quan đến phƣơng trình này đều dựa trên phƣơng trình PDE bậc 4 tức là r = 2; Vì thế có 4 điều kiện biên đƣợc yêu cầu. Những điều kiện biên này đƣợc cho bởi một tập của 2 vị trí điều kiện biên và giá trị đầu tiên của đạo hàm tại các vị trí tƣơng tự. Lƣu ý rằng khi a = 1 và r = 2, phƣơng trình (2.7) đƣợc gọi là phƣơng trình song điều hòa mô tả một số hiện tƣợng xảy ra trong các lĩnh vực nhƣ cơ học chất lỏng và cơ học chất rắn.
Lời giải cho phƣơng trình (2.7) có thể đƣợc tìm thấy bằng cách sử dụng các cách tiếp cận khác nhau, khác nhau từ việc phân tích cho tới các phƣơng pháp số hoàn chỉnh. Tuy nhiên việc lựa chọn các phƣơng pháp phân tích đầy đủ lại gây ra
hạn chế về cấu trúc liên kết trên các đối tƣợng đƣợc biểu diễn bởi phƣơng pháp này.
Một ví dụ điển hình của của bề mặt PDE thu đƣợc từ việc sử dụng phƣơng pháp
PDE Bloor- Wilson đƣợc trình bày trong hình 2.1 và 2.2. Các đƣờng cong biên đƣợc chỉ ra trong hình 2.1. Đỉnh và đáy của đƣờng tròn biểu diễn các điều kiện biên trong khi các điểm bên trong đƣờng tròn đƣợc sử dụng để tính toán giá trị đạo hàm của các điều kiện biên. Kết quả bề mặt PDE thu đƣợc trong hình 2.2.
Hình 2.1. Các đƣờng cong biên Hình 2.2. Bề mặt PDE tƣơng ứng Kết quả trên cho thấy, để làm mịn bề mặt phƣơng pháp này chỉ yêu cầu một số các đƣờng cong biên. Tuy nhiên sự đơn giản của bề mặt trong ví dụ này không chỉ ra đƣợc ý tƣởng tạo ra bề mặt bằng cách sử dụng phƣơng pháp này.
Với mục đích này, ví dụ bổ sung các dạng hình học phức tạp đƣợc trình bày trong hình 2.3; 2.4 và 2.5; 2.6. Phƣơng trình PDE đại diện 2 đối tƣợng trên đƣợc mô tả về mặt toán học nhƣ trong hình 2.3 và 2.4. Trong đó một mặt PDE tƣơng ứng với một vỏ sò đƣợc chỉ ra trong hình 2.3 và một mặt tƣơng ứng với một chai Klein đƣợc nêu ra trong hình 2.4.
Hình 2.3: Mặt PDE tƣơng ứng với một vỏ sò
Hình 2.5 Mặt PDE tƣơng ứng với mặt Werner Boy
Các mặt PDE đại diện cho các dạng hình học phức tạp đƣợc chỉ ra trong hình 2.5 và 2.6. Một mặt PDE biểu diễn mặt Werner Boy đựơc thể hiện trong hình 2.5 và một bề mặt PDE liên quan bề mặt dạng hình ống đƣợc chỉ ra trong hình 2.6.
Đáng chú ý khi miền tham số bị giới hạn 0≤ u ≤1 và 0≤ v≤2ᴫ, thì lời giải cũng bị hạn chế trong việc sử dụng các điều kiên biên tuần hoàn. Lời giải cho phƣơng trình (2.7) sau đó có thể đƣợc thực hiện trong các giới hạn của một chuỗi Fourier. Chuỗi Fourier đƣợc kết hợp để giải phƣơng trình (2.7) nhìn chung là một chuỗi vô hạn và do đó lời giải là gần đúng với những đặc tính thỏa mãn chính xác các điều kiện biên thông qua việc bổ sung các thành phần dƣ. Tuy nhiên, lời giải là chính xác nếu tất cả các điều kiện biên có thể đƣợc thể hiện trong các giới hạn của một chuỗi Fourier hữu hạn. Nhƣ đối với trƣờng hợp khi miền giới hạn bao gồm các hình chữ nhật bị hạn chế bởi 0≤ u ≤1 và 0≤ v ≤1 thì một giải pháp giá trị riêng đã đƣợc đƣa ra. Lƣu ý rằng bản thân lời giải không bị giới hạn trong trƣờng hợp này bởi những kỹ thuật số đầy đủ chẳng hạn phƣơng pháp sai phân hữu hạn có thể đƣợc sử dụng cho việc tìm kiếm lời giải cho phƣơng trình (2.7). Hơn nữa, khả năng tƣơng thích giữa các bề mặt đƣợc tạo ra bởi phƣơng pháp PDE và các bề mặt đƣợc tạo ra bởi các kỹ thuật truyền thống chẳng hạn nhƣ B-splines và Bézier cũng đã đƣợc nghiên cứu kỹ lƣỡng.